4.1整式

一、選擇題

1.單項式一4a2b3的次數(shù)是（）

A.-4B.3C.5D.6

2.如果一3（。+2）丫必7+3是關(guān)于'的三次多項式，那么a的值為（）

A.-3B.3C.-2D.2

3.多項式3m3+4加2幾2一1的次數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.7

4.下列圖形都是由同樣大小的基本圖形按?定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中?共有5個基本圖形,

第②個圖形中一共有8個基本圖形，第③個圖形中一共有11個基本圖形，第④個圖形中一共有14個

基本圖形，…，按此規(guī)律排列，則第n個圖形中基本圖形的個數(shù)為（）

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①②③④。

A.1+4nB.2+4nC.2+3nD.3+3n

5.下列說法正確的是（）

A.多項式M+2x2y+1是二次三項式B.單項式2/y的次數(shù)是2

C.0是單項式D.單項式-3以2y的系數(shù)是-3

二、填空題

1.多項式4a2b2-3a2b+1的次數(shù)是

2.依照以下圖形變化的規(guī)律，則第135個圖形中黑色正方形的數(shù)晟是

□□□一

口■0□I■口=

3.數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,

通過“以形助數(shù)''或"以數(shù)解形〃使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.在

數(shù)學(xué)活動中，老師提出一個數(shù)學(xué)問題：2+4+6+8+-+2n=(n為正整數(shù)).奮進

小組進行了如下分析.如圖2,可以把求2+4+6的和轉(zhuǎn)化為求陰影方格的個數(shù)，它們把陰影方格的

個數(shù)擴大一倍拼成一個大長方形，而大長方形中小方格數(shù)的一半就是陰影方格的個數(shù).請你探究完成

老師提出的問題.

圖1圖2圖3

三、解答題

1.已知多項式27n2〃4—3nm—2的次數(shù)為原項數(shù)為b,常數(shù)項為c.如圖，在數(shù)軸上4點表示數(shù)a,B點

表示數(shù)b,C點表示數(shù)c,P點表示數(shù)％(工工3).

_______CI______________BI________AI____

(l)a=__,b=__,c=

(2)若將數(shù)軸對折，使得對折后力點與C點重合，此時點B與點P也重合，求點P所表示的數(shù)無；

(3)若將數(shù)軸從點P處對折，使得對折后P8=24C,求點P所表示的數(shù)”.

2.問題解決策略：歸納

活動一：在城市規(guī)劃中，街道的設(shè)計需要考慮到交通流量和交匯點的管理.每條街道可以看作平面上

的一條直線，街道的交匯點即直線與直線的交點.通過計算交匯點數(shù)量的最大值，可以幫助優(yōu)化交通

網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計，提高交通效率.探究小組設(shè)計了一個數(shù)學(xué)活動，模擬了某個城市街道交匯點數(shù)量的最大

值的問題.

【特例研究】如圖1,若長方形內(nèi)有2條直線，則最多可以得到1個交點.

如圖2,若長方形內(nèi)有3條直線，根據(jù)交點個數(shù)的不同，有如圖四種情況，請在圖2-4中作出第四種

情況.

【類比發(fā)現(xiàn)】

請類比上面的分析過程，將你得到的數(shù)據(jù)填入下表中.

長方形內(nèi)直線的條數(shù)2345???

最多的交點個數(shù)1???

【猜想分析】若該城市某片區(qū)有10條街道，假設(shè)10條街道為10條直線，則這10條直線最多有

個交匯點；

活動二：

(1)探究小組用歸納分析的方法研究課本95頁的第12題，題匚如下；對于3x9=27,可以用10個于

指直觀地展示出來：如圖3,將兩手平伸，手心向上，從左邊開始數(shù)至第3個手指，將它彎起，此時它

的左邊有2個手指，右邊有7個手指，“27〃正是“3X9〃的結(jié)果.類似地，1x9=9,2x9=18,4x9=

36,…，9x9=81也可以用手指直觀的展示出來.用數(shù)學(xué)語言揭示原理：從左數(shù)起，設(shè)彎下的手指

為第九根手指，便可以用一個含n的等式來表示這個規(guī)律，請?zhí)顚戇@個等式：9n=10-()+

(_____)；

(2)探究小組還發(fā)現(xiàn)，用9根小木棒也能展示從1x8=8,2x8=16,3x8=24,8x8=64的

乘法運算.如圖4,往下移動第3根木棒，則左邊的兩根木棒可表示2個9,右邊的6根表示6個1,則3X

8=2x9+6=24.類似地，請用一個含未知數(shù)的等式來揭示原理，過程如下：設(shè)，則表示

這個規(guī)律的等式為.

3.請把下列各式的序號填入相應(yīng)的集合中.

①-3,②-5加③等，④/，⑤-齊+2y,⑥《+⑦學(xué)

整式集合：｛…卜

單項式集合：｛…卜

多項式集合：｛…｝.

規(guī)律型：圖形的變化類

【解析】

本題考查了圖形變化的規(guī)律探索，找出圖中哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的是本題的解

題關(guān)鍵.

由前四幅圖可知，后面--幅圖的。數(shù)量比前面一-幅圖多3個，據(jù)此進行解答.

【解答】

解：第①個圖形中共有5個基本圖形，而5=2+3=2+3xl；

第②個圖形中共有8個基本圖形，而8=2+3+3=2+3x2；

第③個圖形中共有11個基本圖形，而11=24-3+3+3=2+3x3；

第④個圖形中共有14個基本圖形，而14=24-3+3+3+3=2+3x4；

第71個圖形中共有(2+3n)個基本圖形.

故選：C.

5.

【答案】

C

【考點】

多項式的概念的應(yīng)用

單項式的系數(shù)與次數(shù)

【解析】

根據(jù)多項式、單項式、系數(shù)、常數(shù)項的定義分別進行判斷，即可求出答案.

【解答】

人多項式/+2/y+l是三次三項式，此選項錯誤；

B.單項式2/v的次數(shù)是3,此選項錯誤；

C.0是單項式，此選項正確；

D.單項式-3m2y的系數(shù)是一3兀，此選項錯誤；,

故選C.

二、填空題

1.

【答案】

4

【考點】

多項式的項與次數(shù)

【解析】

本題考杳了多項式的次數(shù)”次數(shù)最高的項的次數(shù)即為該多項式的次數(shù)”，熟記定義是解題關(guān)健.根據(jù)多

項式的次數(shù)的定義求解即可得.

【解答】

解：???在多項式4a2b2-3Mb+1中，項4a2b2的次數(shù)是2+2=%項一3a2匕的次數(shù)是2+1=3,項1

的次數(shù)是0,

二多項式4Q2b2-3a2b+1的次數(shù)是4,

故答案為：

2.

【答案】

203

【考點】

規(guī)律型：圖形的變化類

【解析】

本題考查圖形類規(guī)律探究，觀察可知，當〃為偶數(shù)時，第九個圖形有■+；）個黑色正方形，當〃為奇數(shù)

時，第〃個圖形有（九+等）個黑色正方形，據(jù)此講行求解即可.

【解答】

解:觀察可知，當n為偶數(shù)時，第n個圖形有（n+以個黑色正方形，當n為奇數(shù)時,，第n個圖形有（幾十等）

個黑色正方形，

.?.第135個圖形中黑色正方形的數(shù)量是135+等=203；

故答案為：

3.

【答案】

n2+n

【考點】

規(guī)律型：圖形的變化類

【解析】

該題主要考查了圖形規(guī)律類題目，解題的關(guān)鍵是找到題中規(guī)律.

根據(jù)題中規(guī)律即可解答.

【解答】

解：根據(jù)題意可得：2+4=如詈=6,

2+4+6=如皿=12,

2

2+44-6+8=（2+8）x4=20,

2

2+4+6+8+10==50,

、+2瞥

???,

2+4+6+8H---F2n=（2+2：）xn_n2_|_n>

故答案為：n24-n.

三、解答題

1.

【答案】

6,3,—29.

10

T3或丁或19.

【考點】

多項式

數(shù)軸

【解析】

此題考查多項式定義，數(shù)軸點坐標表示，相反數(shù)定義，代數(shù)式表示線段長.

(1)根據(jù)多項式定義即可得到此題答案；

(2)根據(jù)中點坐標公式即可得到此題答案；

(3)根據(jù)題意先計算出4c=8,再根據(jù)P8=16分情況討論點夕所在的位置即可得到此題答案.

【解答】

⑴解：?.?多項式2川〃4-3加-2的次數(shù)為環(huán)項數(shù)為生常數(shù)項為c,

???多項式的次數(shù)及單項式次數(shù)最大項的次數(shù)即為多項式次數(shù)，

...。=2+4=6,

???共計三項,分別是2m3,3〃孫-2,

：.b=3,

.。-2,

綜上所述/=6力=3,c=-2；

(2)解：力點表示數(shù)見B點表示數(shù)b,C點表示數(shù)c,『點表示數(shù)x,

由⑴得a=6,6=3,c=-2,

???將數(shù)軸對折，使得對折后4點與0點重合，

6+(-2),

???中點表示的數(shù)為2,

???點8與點〃也重合，

3+x?

???—=2>

???X=1；

(3)解：???將數(shù)軸從點P處對折，使得對折后P8=24C,

二對點P的位置分情況討論：

①當點P在力右側(cè)時，

對折后，AC=6+|-2|=8,

:.P8=16=%—3,解得無=19,

②當點P在4?線段中點時，

對折后，AC=5,

P/?=10=x-3,解得％=13,不符合題意舍去，

③當點P在力B線段上時，

對折后，力C=2%—6+2=2x—4,

?.PB=4x-8=x+2,解得x=y,

④當點P在BC線段上時，

對折后，AC=2-（2%-6）=8-2x,

:.PB=2（8-2x）=16-4x,

vPF=3-x,

16-4x=3-x,解得％=不符合題意舍去，

⑤當點P在4C線段中點時，

對折后，AC=0,

PB=0,即，x-3=0,x=3,

?:x豐3,故不符合題意舍去，

⑥當點P在C點左側(cè)時，

對折后，AC=8,

???PB=16,即3-％=16,解得％=—13,

二綜上所述，點P所表示的數(shù)為-13或弓或19.

2.

【答案】

活動一：特例研究：見解析；類比發(fā)現(xiàn)：見解析；猜想分析：45：活動二：（1）〃-1,10-九；（2）從

左數(shù)起，往下移動的為第乃根小棒；8x=9（x-l）+9-x.

【考點】

規(guī)律型：圖形的變化類

【解析】

特例研究：根據(jù)題意可知第四種情況為三條直線兩兩相交，有3個交點，據(jù)此畫圖即可；

類比發(fā)現(xiàn)：根據(jù)分析可知n條直線最多有n條直線最多有1+2+3+…幾-1個交點，運用結(jié)論求解即

可：

猜想分析：根據(jù)類比發(fā)現(xiàn)的結(jié)論求解即可;

活動二：

(1)根據(jù)材料觀察分析可知當彎下的手指為第九根手指，左邊剩(71-1)根手指，右邊還剩(10-九)根手

指，進而得解：

(2)同(1)思路求解即可.

本題主要考查了規(guī)律的圖形變化、有理數(shù)的運算等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解?：特例研究：第四種情況如圖所示：

類比發(fā)現(xiàn)：

由題意得，2條直線最多只有1個交點,

3條直線最多有1+2=3個交點，

4條直線最多有1+2+3=6個交點，

以此類推可知，5條直線最多有1+2+3+4=10個交點,

補全表格如圖，

長方形內(nèi)直線的條數(shù)2345???

最多的交點個數(shù)13610???

猜想分析:

由