2025～2026學(xué)年度高三第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。

3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡

上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上

各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作

答無效。

4.本卷命題范圍：高考范圍。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.已知集合A={x|x是不大于10的整數(shù)},B={x|x2=x},則A∩B為()

A.{0,1,2}B.{1,2}

C.{0,1}D.{1}

2.復(fù)的共軛復(fù)數(shù)為()

A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1—2i

3.已知向量a=(3,3),b=(2,0),則b在a上的投影向量為()

A.(2,2)B.(1,1)C.(3,0)D.(√2,√2)

4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則該橢圓的離心率為()

B

D

5.已知函數(shù)f(x)=x|x|+x3,滿足f(1—a)+f(a2—3)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-2,十∞)B.(0,十∞)C.(-1,2)D.(2,十∞)

6.已知函數(shù),且f(x)在(0,π)上有且只有一

個(gè)零點(diǎn)，則()

A.0BD

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)】26—X—081C

7.已知曲線y=e?1在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線(a>0)!只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a=()

A.e2B.2eC.√eD.1

8.如圖，正四面體容器ABCD的容積為V,里面裝了體積為的水，固定容器底面一邊CD將

容器傾斜，當(dāng)水面所在平面恰好過點(diǎn)B且與棱AC,AD分別交于點(diǎn)M,N,則平面BMN與平

面BCD的夾角的余弦值為()

B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某人收集了某城市居民年收入(即所有居民在一年內(nèi)收入的總和)與A商品銷售額的10年

數(shù)據(jù)，如表所示.下列結(jié)論中說法正確的是()

第n年12345678910

居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

A.居民年收入的第75百分位數(shù)是43.0億元

B.A商品銷售額的平均數(shù)是40.1萬元

C.居民年收入介于35到40億元占比40%

D.A商品銷售額與居民年收入成正線性相關(guān)

10.如圖，直二面角A-CD-F中，O∈CD,動(dòng)平面MNO分別交平面ABCD

和平面CDEF于直線OM、直線ON,,則下列命題正確

的是()

A.平面CDEF內(nèi)不存在與平面MNO平行的直線

B.平面ABCD內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面MNO垂直

C.當(dāng)平面MNO、平面ABCD、平面CDEF兩兩垂直時(shí)，它們的交線也兩兩垂直

D.直線OM、直線ON中至少有一條與直線CD垂直

11.已知函數(shù)f(x)=alnx—bx(b>0)有大于0的極值，e為自然對數(shù)的底，則下列說法正確

的是()

A.a<0B.a—be>0

C.f(1)<f(e)D.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)且其乘積大于e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a?=1,S?=7,則a?=

14.一個(gè)箱子中有大小質(zhì)地完全相同的小球共5個(gè)，其中紅球2個(gè)，藍(lán)球3個(gè).現(xiàn)依次不放回地從

箱子中取球，直到取完所有紅球?yàn)橹?設(shè)取球次數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望

X,XE(X)=·

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)】26—X—081C

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

在△ABC中，角A滿足sinA+√3cosA=√3.

(1)求A;

(2),∠CAB的角平分線交線段BC于點(diǎn)D,AD=2,求△ABC的面積.

16.(本小題滿分15分)

已知等差數(shù)列{an}的公差d>0,前n項(xiàng)和為S,若a?a?=a10,a?a?=a13·

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{bn}滿足log?b=-an(n∈N*),求數(shù)列{abn}的前n項(xiàng)和T,.

17.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD//BC,,PA=PB=PC=PD=√5.

(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD;

(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得平面MAB與平面ABCD的夾

角的正切值若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明

理由.

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)】26—X—081C

18.(本小題滿分17分)

已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離為4,點(diǎn)M到x軸的距離為√3p.

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)P為C的準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與C交于另一點(diǎn)A,過點(diǎn)P作y軸

的垂線與C交于點(diǎn)B.

①求證：直線AB過定點(diǎn)；

,求△AOB的面積.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)f(x)=e—e2+alnx+b(a,b∈R).

(1)x=√2是否可以為f(x)的極值點(diǎn)?請說明理由；

(2)證明：若f(x)在(0,2)上單調(diào)，則f(x)在(0,十∞)上單調(diào)；

(3)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)x?,x2,x?,證明：x?+x?+x?>4.

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)】26—X—081C

2025～2026學(xué)年度高三第一學(xué)期期中考試·數(shù)學(xué)試題

參考答案、提示及評分細(xì)則

1.C2.A3.B4.B5.C6.A7.B

8.D當(dāng)水平面剛好是一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)B的三角形時(shí)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)剛好是AC,AD的中

點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)E,連接AE交MN于點(diǎn)F,連接BF,易證∠EBF為平面BMN與平

面BCD的夾角，設(shè)該正面體的棱長為2,易求得.由余弦B≤

定理解得,故水平面與平面BCD的夾角的余弦值

故選D.

9.ACD對于選項(xiàng)A:居民年收入的第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)即43.0,故A正確；對于選項(xiàng)B:A商品銷售額

的平均數(shù)是39.1萬元，故B不正確；對于選項(xiàng)C:居民年收入介于35到40億元的有4個(gè)數(shù)，占比40%,故

C正確；對于選項(xiàng)D:根據(jù)散點(diǎn)圖得A商品銷售額與居民年收入成正線性相關(guān)，故D正確.故選ACD.

10.CD

11.BCD因?yàn)?當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)<0沒有極值，所以a>0,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=

)得到,所以,選項(xiàng)B正確；由于

f(1)=-b<0,又f(e)=a-be>0,所以f(1)<f(e),選項(xiàng)C正確；當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí)，

f(x)→-∞,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x?,x2且x?<x?,則一定有1<x?<e<x?,所以e<x?x?,選項(xiàng)D

正確.故選BCD.

12.1613.14.4

15.解：(1)因?yàn)閟inA+√3cosA=√3,

,………1分

于是,……………3分

因?yàn)锳∈(0,π),

所以,得到……………5分

,………7分

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題參考答案第1頁(共6頁)】26-X—081C

在△ACD中，由正弦定理

在△ABD中,所以AB=AD=2………11分

所以△ABC的面積……13分

16.解：(1)因?yàn)閍?a?=a10,a?a4=a13,

所以a?(a?+2d)=a?+9d,a?(a?+3d)=a+12d……………2分

又d>0,所以a?=3,d=2………………………4分

所以a=3+2(n—1)=2n+1,n∈N’…………6分

(2)由題意得

所以

所以

,②…9分

①一②,………11分

……13分

所以(n∈N*).……………………15分

17.(1)證明：取AD的中點(diǎn)O,連接PO,OB,則OA=OD=2…………1分

因?yàn)镻A=PD=√5,所以POLOD,PO=1…………2分

又BC=2,OD=2,所以BC=OD.

而BC//OD,所以四邊形OBCD為平行四邊形，所以O(shè)B=CD=2………………4分

又PB=√5,所以PO+OB2=PB2,所以PO⊥OB.…………5分

又OB,ODC平面ABCD,且OB∩OD=O,所以PO⊥平面ABCD,

由于POC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.………7分

(2)解：方法一：取AB的中點(diǎn)E,連接OE,

因?yàn)锳O=OB=AB=2,所以O(shè)E⊥AB,OE=√3…………………8分

假設(shè)在線段PD上存在一點(diǎn)M,使得平面MAB與平面ABCD的夾角的正切值

作MN//PO交AD于N,作NF//OE交AB于F,連接MF,則AB⊥NF,MN⊥平面ABCD,

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題參考答案第2頁(共6頁)】26-X一081C

又ABC平面ABCD,所以AB⊥MN,因?yàn)镹F,MNC平面MNF,且NF∩MN=N,所以AB⊥平面MNF,

………………10分

又MFC平面MNF,所以AB⊥MF,

所以∠MFN為平面MAB與平面ABCD的夾角.因?yàn)?故可設(shè)MN=√3x,NF=9x,

因?yàn)椤鱉ND△POD,所以,即,DN=2√3x,…………………12分

又△AEO△AFN,所,DN=2√3x,解得,………14分

因?yàn)?所以M為PD的中點(diǎn).…………15分

方法二：取BC的中點(diǎn)S,連接OS,由(1)知PO⊥OS,POLOD,OSLOD,以O(shè)

為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OS,OD,OP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直A

角坐標(biāo)系，則P(0,0,1),D(0,2,0),A(0,-2,0),B(√3,-1,0),所以PD=(0,

2,—1),AB=(√3,1,0),AP=(0,2,1),

令PM=λPD=(0,2λ,一λ)(O≤A≤1),

則AM=AP+PM=(0,2+2λ,1一λ),…………………10分

設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量m=(x,y,z),

令y=√3(λ-1),則x=1一λ,z=2√3(λ+1),所以m=(1-λ,√3(λ-1),2√3(λ+1)),11分

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),

記平面MAB與平面ABCD的夾角為θ,因?yàn)?所以

所以……………13分

解得,所以M為PD的中點(diǎn).………………………15分

18.解法一：(1)解：設(shè)M(x?,yo),由題意得

所以C的方程為y2=4x.…………………4分

(2)①證明：設(shè)P(-1,yo)其中yo≠0,由P,A,O三點(diǎn)共線得

易得

,即yo≠±2時(shí),…………7分

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題參考答案第3頁(共6頁)】26-X—081C

所以直線AB的方程為

化簡，得,此時(shí)直線AB過定點(diǎn)(1,0);………8分

當(dāng)yo=2時(shí)，A(1,—2),B(1,2),當(dāng)yo=-2時(shí)，A(1,2),B(1,—2),此時(shí)直線AB也過點(diǎn)(1,0).……9分

綜上所述，直線AB過定點(diǎn)(1,0).…………·10分

②解：由①知AB過點(diǎn)(1,0),設(shè)AB的方程為x=ty+1,A(x?,y?),B(x2,y2),

得y2—4ty-4=0,△=16t2+16>0,

所以y?+y?=4t,yy2=-4,x?x2=1,x?+x2=4t2+2,12分

化簡，得

所以當(dāng)時(shí)，△AOB的面積……………17分

解法二：(1)解：設(shè)點(diǎn)M(xM,ym),由題意,Iyml=√3p,則

由y2=2pxm,得,又p>0,所以p=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x4分

(2)①證明：設(shè)P(-1,yo),A(x1,y?),B(x2,y?),由條件y?≠0,則1

直線PO:y=-yox,聯(lián)立直線PO和拋物線得…………8分

設(shè)直線AB:x=ty+m,聯(lián)立得y2—4ty—4m=0,△=16t2+16m>0,

,則m=1,滿足△>0,所以直線AB過定點(diǎn)(1,0).……………10分

②解：,…………13分

可得|OA|·|OB|=6,所以△OAB的面積.…17分

19.(1)解：解法一：由f(x)=e-e2+alnx+b,得x>0,且,………………1分

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題參考答案第4頁(共6頁)】26-X一081C

,得a=-2√2e2,

,…………………3分

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故x=√2不是f(x)的極值點(diǎn).……………4分

解法二：由f(得

依題意有,得a=-2√2e2.…………………1分

記,則

…………………2分

于是g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又g'(√2)=0,

所以當(dāng)x∈(0,√2)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x∈(√2,+∞)時(shí)，g'(x)>0,

因此g(x)在(0,√2)上單調(diào)遞減，在(√2,+∞)上單調(diào)遞增，………………3分

此時(shí)

所以f(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故x=√2不是f(x)的極值點(diǎn).……………4分

(2)證明：解法一：由

若f(x)在(0,2)上單調(diào)，則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥0在(0,2)上恒成立，……………6分

,則φ(x)≥2√2e?(x+2)+a≥2√2e2+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=√2取等號(hào)，

所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，φ(x)min=φ(√2)=2√2e2+a,8分

因此有2√2e2+a≥0,即a≥-2√2e2,此時(shí)對任意的x∈(0,+∞),

有φ(x)≥2√2e?(+2)+a≥2√2e2+a≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=√2取等號(hào)，

此時(shí)f'(x)≥0在(0,十∞)上恒成立，所以f(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增.……………10分

解法二：由

若f(x)在(0,2)上單調(diào)，則可知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，所以f'(x)≥0在(0,2)上恒成立，

…………………6分

由(1)可知f(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，有g(shù)(x)min=g(√2)=2√2e2+a≥0,所以a≥-2√2e2.………………8分

【高三期中考試·數(shù)學(xué)試題參考答案第5頁(共6頁)】26-X—081C

另一方面，當(dāng)x∈(0,+∞),a≥-2√2e2時(shí)，g(x)≥g(√2)=2√2e2+a≥0,

此時(shí)f'(x)≥0在(0,十∞)恒成立，所以f(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增.