專題01立體幾何初步01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。【知能解讀01】空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【知能解讀02】空間幾何體的表面積和體積【知能解讀03】空間幾何體的外接球與內(nèi)切球【知能解讀04】點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【知能解讀05】直線、平面平行的判定與性質(zhì)【知能解讀06】直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【重難點(diǎn)突破01】幾何體展開圖最短距離問題【重難點(diǎn)突破02】空間幾何體中的截面問題【重難點(diǎn)突破03】外接球和內(nèi)切球的解題思路【重難點(diǎn)突破04】空間幾何體中的探索性問題04辨·易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)?！疽谆煲族e(cuò)01】對(duì)斜二測(cè)畫法的規(guī)則掌握不牢【易混易錯(cuò)02】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清【易混易錯(cuò)03】線面平行定理的理解不夠準(zhǔn)確【易混易錯(cuò)04】對(duì)折疊與展開問題認(rèn)識(shí)不清致誤【方法技巧01】求空間幾何體表面積【方法技巧02】求空間幾何體的體積【方法技巧03】共線共點(diǎn)共面證明方法【方法技巧04】證明直線與平面平行的方法【方法技巧05】證明面面平行的常用方法【方法技巧06】證明線線垂直的方法【方法技巧07】證明線面垂直的方法【方法技巧08】證明面面垂直的方法【方法技巧09】面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用【方法技巧10】求異面直線所成角的求法【方法技巧11】直線與平面所成角的求法【方法技巧12】二面角的求法【方法技巧13】空間距離的求法理思維導(dǎo)圖牌積是immaa單單而融立體幾何初步I/aI/aL盤盤名稱棱臺(tái)圖形互相平行且全等多邊形互相平行且相似(1)側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.(2)底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地，各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐叫做正四面體.反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的【注意】(1)棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱.(2)棱臺(tái)的所有側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺(tái).(3)注意棱臺(tái)的所有側(cè)棱相交于一點(diǎn).3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形半圓形旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線任一直角邊所在的直線所在的直線直徑所在的直線母線互相平行且相等，垂相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)圓側(cè)面展開圖4、空間幾何體的直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法.(2)規(guī)則：所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?(3)直觀圖與原圖形面積的關(guān)系A(chǔ).4√6B.8√3C.8√6知能解讀02空間幾何體的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)十S底臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))球幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點(diǎn)①幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而表②組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.2、柱體、錐體、臺(tái)體側(cè)面積間的關(guān)系(1)當(dāng)正棱臺(tái)的上底面與下底面全等時(shí)，得到正棱柱；當(dāng)正棱臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到正棱錐，(2)當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí)，得到圓錐，3、柱體、錐體、臺(tái)體體積間的關(guān)系放置時(shí)，水面恰好過側(cè)棱AA?的中點(diǎn)，當(dāng)側(cè)面AA?BB水平放置時(shí)，水面恰好與AC交于點(diǎn)D,則AD等于A.2B.4C.3√2知能解讀03空間幾何體的外接球與內(nèi)切球 3.在棱長(zhǎng)為a的正四面體中，外接球半徑,內(nèi)切球半徑7.接球的球心，斜邊長(zhǎng)的一半為外接球的半徑.【真題實(shí)戰(zhàn)】(2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè))已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的04點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、四個(gè)公理(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.【拓展】公理2的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.作用：公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.作用：公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)(4)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.2、等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).3、直線與直線的位置關(guān)系(1)空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'//a,b'//b,把a(bǔ)'與b′所成的銳角(或②范圍：[0°,90°].4、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)直線a在平面a外直線a與平面α平行公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)圖形表示5、兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上)圖形表示【真題實(shí)戰(zhàn)】(2025·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè))在直三棱柱AC=AB=AA?=2,∠BAC=120,D是棱B?C?的中點(diǎn)，則異面直線AD與B?C)05直線、平面平行的判定與性質(zhì)1、直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義：直線1與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線1與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與(1)平面與平面平行的定義：沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，0為正方形ABCD的中心，則()D.EO//FCD.EO//FC06直線、平面垂直的判定與性質(zhì)(1)定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線1與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直線平行2、直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0.(2)范圍：(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言一個(gè)平面過另一個(gè)平面的內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.4、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件.同時(shí)抓住線線、作輔助線來解決.【真題實(shí)戰(zhàn)】(2025-湖北·模擬預(yù)測(cè))在長(zhǎng)方體AB破重難點(diǎn)突破01幾何體展開圖最短距離問題解決空間幾何體表面距離最短問題，需通過展開，把問題轉(zhuǎn)化為平面兩點(diǎn)間線段最短問題.多面體表面展開圖可以有不同的形狀，要觀察并想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系.BB?,CC?,DD?上一點(diǎn)，則AE+EF+FG+GA)A.√281B.√283【典例2】(2025高三·全國(guó)月考)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，已知P,M分別為線段BD?,BB?上的動(dòng)點(diǎn)，N為B?C的中點(diǎn)，則PMN的周長(zhǎng)的最小值為()重難點(diǎn)突破02空間幾何體中的截面問題(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交(2)延長(zhǎng)線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長(zhǎng)至與其他平面相交找到交點(diǎn)。(3)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線α截正方體ABCD-A?B?C?D?所得的截面是()A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形的平面α與直線D?E垂直，則α截正方體ABCD-A?B?C?D?所得截面的面積為()重難點(diǎn)突破03外接球和內(nèi)切球的解題思路(1)根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面圓的距離d三者的關(guān)系(2)將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如本例(2),利用該幾何體與長(zhǎng)方體共有外接球的特征，由外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)求解.2、解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：第二步作截面：選準(zhǔn)最佳角度作截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各素間的關(guān)系),達(dá)到空間問題平面化的目的；,側(cè)棱長(zhǎng)都等于A.12πB.15πC.20π柱與球的體積之比為λ,表面積之比為μ,則()A.λ=μB.λ<μ重難點(diǎn)突破04空間幾何體中的探索性問題1、立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題的主要①探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么.②探索結(jié)論，即在給定的條件下，探索命題的結(jié)論是什么.①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性.③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.3、對(duì)命題結(jié)論探索的方法首先假設(shè)結(jié)論成立，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).【典例1】(2025高三·陜西咸陽·期中)如圖，在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，底面ABCDE為棱AA的中點(diǎn)，AB=2,AA?=3.(1)求三棱錐A-BDE的體積.(2)在DD?上是否存在一點(diǎn)P,使得平面PA?C//平面EBD.如果存在，請(qǐng)說明P點(diǎn)位置并證明.如果不存在，請(qǐng)說明理由.【典例2】(2025高三·全國(guó)月考)如圖，直角梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,BC=3AB,AD=2AB,E為AD的中點(diǎn).把△ABE折起，使A至A',若點(diǎn)P是線段CA′上的動(dòng)點(diǎn)，則有下列結(jié)論：①存在點(diǎn)P,使DP//平面A'BE;②對(duì)任意點(diǎn)P,使DP與A'E成異面直線；③存在點(diǎn)A',使AB⊥平面A'BE;其中不正確的序號(hào)是_.易混易錯(cuò)01對(duì)斜二測(cè)畫法的規(guī)則掌握不牢直觀圖，A'D′=2,B'C′=A'B'=1,則平面圖形ABCD中對(duì)角線A.√5B.√3A.18B.8√2C.12√2辨析：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對(duì)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的A.直線HG與直線A?B異面B.直線EF,HG,DC交于同一點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)K在側(cè)面A?ADD內(nèi)(含邊界),且KE=AA?,則動(dòng)點(diǎn)K的軌跡長(zhǎng)度為√3πM,N分別為棱C?D?,C?C)A.直線AM與BN是平行直線B.直線BN與MB是異面直線C.直線MN與AC所成的角為60°03線面平行定理的理解不夠準(zhǔn)確辨析：在應(yīng)用線面平行的判定定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，定要注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立易混易錯(cuò)04對(duì)折疊與展開問題認(rèn)識(shí)不清致誤辨析：注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關(guān)系的變化.中點(diǎn)E,將等腰梯形ABCD沿線段DE翻折，使得二面角A-DE-B為60°,連接AB、AC得到如圖所示的四棱錐A-BCDE,F為AD的中點(diǎn).(2)求四棱錐A-BCDE的體積.AD=DE=2,CE=1,將VADE沿AE向上翻折，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置，構(gòu)成四棱錐P-ABCE.(1)若點(diǎn)F在線段AP上，且EF//平面PBC,試確定點(diǎn)F的位置；點(diǎn)點(diǎn)方法技巧01求空間幾何體表面積2、求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它3、求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱圓錐的底面直徑是()柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側(cè)面積之比為()方法技巧02求空間幾何體的體積1、處理空間幾何體體積的基本思路(1)轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母?2)拆：將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算；(3)拼：將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原乘2、求體積的常用方法(1)直接法：對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)(3)等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作方體的棱長(zhǎng)相等，則下列結(jié)論正確的是()A.三棱錐的表面積為SB.三棱柱的表面積為C.三棱錐、三棱柱、正方體的高之比為D.三棱錐、三棱柱、正方體的體積之比為方法技巧03共線共點(diǎn)共面證明方法1、證明點(diǎn)或線共面問題的2種方法(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.2、證明點(diǎn)共線問題的2種方法(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(如某兩個(gè)平面的交線)上.3、證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).一個(gè)充分不必要條件是()C.ab,且c⊥bD.a,b,c兩兩相交中點(diǎn)，G在D?C?上，且平面EFG與棱B?B所在直線交于點(diǎn)H,則BH=()BC,BD,AC,AD的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是()A.MF⊥ENB.MN=MEC.MF=END.EN//CD方法技巧04證明直線與平面平行的方法2、線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線.3、面面平行的性質(zhì)：①兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面，即a//β,acα=a//β;②兩個(gè)平面平行，不在兩個(gè)平面內(nèi)的一條直線與其中一個(gè)平面平行，則這條直線與另一平面AB⊥AD,AD//BC,AD=AP=2AB=2BC=2,PA⊥平面ABCD,E為棱PD上的動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)E為棱PD的中點(diǎn)時(shí)，證明：EC//平面PAB;(2)若PE=2ED,求平面EAC與平面PAB夾角的余弦值.PA=√3AD,AB⊥PD,∠PAD=150°,E為線段PD的中點(diǎn).(2)求直線AE與平面PAC所成角的正弦值.【典例3】(2025高三·廣東廣州月考)如圖，在四棱錐P-ABCD1、利用面面平行的定義.2、利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平BC中點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作平行于平面PAB的直線交AC、PC于點(diǎn)E、F.(1)求直線PM與平面ABC所成的角的正切值；(2)證明：平面MEF//平面PAB,并求直線ME到平面PAB的距離.【典例2】(2025-河南·模擬預(yù)測(cè))如圖所示，正六棱柱ABCDEF-AB?C?DEF(2)求平面ADF?與平面A?BC間的距離.【典例3】(2025-河南·模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，四邊形ABCD是正方形，E,F,G分別是棱BB?,B?C?,CC?的中點(diǎn).(1)證明：平面A?EF//平面AD?G;(2)若點(diǎn)A?在底面ABCD的投影是四邊形ABCD的中心，A?A=2AB=4,求三棱錐A?-AD?G的體積.方法技巧06證明線線垂直的方法證5A1面m)BD相交于點(diǎn)0,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)E在棱PC上，AD=BD=PD=2,AB=20E=2√2.(2)再?gòu)臈l件①,條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面BDE與平面ABCD夾角的大小.條件①:AP//平面BDE;條件②:CE=√3.BC=DC=1,DE⊥AB于E,沿DE將VAD別是棱BC,PB的中點(diǎn).(2)求平面EFN和平面PCD的夾角的余弦值.AB⊥BD,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).(2)若平面ABD⊥平面BCD,求直線AC與平面BCE所成角的正弦值.方法技巧07證明線面垂直的方法2、面面垂直的性質(zhì)定理：a⊥β,a∩β=l,aca,a⊥l=a⊥β.(2)若點(diǎn)D滿足PD=2DC,求平面ABD與平面ACD的夾角的余弦值.(2)求直線PB與平面MCD所成角的正弦值.【典例3】(2025-湖南益陽·模擬預(yù)測(cè))如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,⊥AD,連接BD,BE,BM.方法技巧08證明面面垂直的方法法1:利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面法2:利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化為證明線線底面O?,0圓周上的一點(diǎn)，PQIIO?O?,AB=2PQ,且點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合(2)若二面角A-O?0?-P為60°,求直線BQ與平面PQO?所成角的正弦值.(2)若∠AAC=60°,且P是AC的中點(diǎn)，求平面BA?P和平面A?ACC?的夾角的正弦值.與四邊形BEFC是全等的等腰梯形，平面ADFC⊥平面BEFC,AD=4,CF=AC=2,點(diǎn)G,H,L分別為AD,CF,BC的中點(diǎn).(2)求直線AE與平面ABC所成角的正弦值.方法技巧09面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.首先在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.易錯(cuò)點(diǎn)：性質(zhì)定理運(yùn)用時(shí)要注意“線在面內(nèi)”.(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面(不能直接作為證明依據(jù)).PBD⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD.(2)若PA=PC=AB=AC=2,點(diǎn)M滿足PB=3PM,求直線AP與平面ACM所成角的正弦值.方法技巧10異面直線所成角的求法平移法求異面直線所成角的步驟第一步平移：平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；(3)補(bǔ)形平移第二步證明：證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角第三步尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之第四步取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°,所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角【典例1】(2025-河南鄭州·模擬預(yù)測(cè))在正方體ABCD-AB?C?D?中，若B?C∩BC?=0,P,Q分別為AC,DD?的中點(diǎn)，則直線P【典例2】(2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè))已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱ABCD-A,B?C?D?的體積為16,則直線AC與A?B所成角的余弦值為()PA的中點(diǎn)，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為()方法技巧11直線與平面所成角的求法1、垂線法求線面角(也稱直接法):(1)先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A,過點(diǎn)A向平面α做垂線，確定(2)連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面α上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；2、公式法求線面角(也稱等體積法):用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：其中θ是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長(zhǎng)，1是斜線段的長(zhǎng)。(1)證明：EF//平面PBC;(2)若PA=PC=2√2,求直線PC與平面PBD所成角的大小.【典例2】(2025高三·全國(guó)月考)如圖，在四棱錐C-ABNM中，四邊形ABNM的邊長(zhǎng)均為2,為②MB=√6