3/3專題06指數(shù)與對(duì)數(shù)及指數(shù)對(duì)數(shù)冪函數(shù)（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律6.1指數(shù)冪的運(yùn)算與化簡(jiǎn)能熟練運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算。計(jì)算能力的基礎(chǔ)考查。6.2對(duì)數(shù)的定義與運(yùn)算性質(zhì)（積、商、冪、換底公式）能進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，并能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值。高頻計(jì)算題，公式記憶和運(yùn)用是易錯(cuò)點(diǎn)。6.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定點(diǎn)、單調(diào)性）能根據(jù)底數(shù)a>1或0<a<1判斷函數(shù)圖象和單調(diào)性。所有比較大小、解不等式問題的基礎(chǔ)。6.4利用指數(shù)/對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小能將冪值、對(duì)數(shù)值化歸到同一函數(shù)，利用單調(diào)性比較。高頻考點(diǎn)，常需引入中間量0或1。6.5簡(jiǎn)單的指數(shù)/對(duì)數(shù)不等式求解能利用單調(diào)性（注意底數(shù)決定不等號(hào)方向）解簡(jiǎn)單不等式。易錯(cuò)點(diǎn)在底數(shù)在(0,1)時(shí)不等號(hào)要反向。6.6冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定義域、奇偶性、單調(diào)性、過定點(diǎn)）能掌握5類等常見冪函數(shù)的性質(zhì)。常與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)放在一起比較。6.7不同函數(shù)增長(zhǎng)差異的比較能在圖象上識(shí)別直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的區(qū)別。新教材素養(yǎng)題，考查直觀想象6.8指數(shù)型/對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性能判斷指對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，掌握“同增異減”法則。中檔難點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)是忽略內(nèi)層函數(shù)f(x)本身的定義域及其單調(diào)性對(duì)整體的影響。6.9指數(shù)型/對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域能通過換元法，將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)等基本函數(shù)在特定區(qū)間上求值域。中檔難點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)是在換元后，未能準(zhǔn)確求出新元（內(nèi)層函數(shù)f(x)）的取值范圍（即新函數(shù)的定義域）知識(shí)點(diǎn)01根式的概念及性質(zhì)（1）概念：式子na叫做___根式___，這里n叫做根指數(shù)，a（2）①__負(fù)數(shù)____沒有偶次方根．②0的任何次方根都是0，記作n0=___③(na)n=___a④nan=a⑤nan=知識(shí)點(diǎn)02分?jǐn)?shù)的指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=nam負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a?mn=1性質(zhì)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義知識(shí)點(diǎn)03實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）aras=ar+s（2）ars=ars（3）abr=arbr知識(shí)點(diǎn)04指數(shù)函數(shù)的一般形式9．一般地，函數(shù)y=ax（a>0,a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域?yàn)橹R(shí)點(diǎn)05指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域R值域0,+過定點(diǎn)過點(diǎn)0,1，即x=0時(shí)，y=1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<當(dāng)x<0時(shí)，y>單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)06解指數(shù)不等式（1）指數(shù)不等式的類型為afx>①當(dāng)a>1時(shí)，fx>gx②當(dāng)0<a<1時(shí)，fx<g（2）含指數(shù)式的不等式的一般解法：先將不等式的兩邊化成同底的指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉底數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式求解．知識(shí)點(diǎn)07比較指數(shù)冪大小的方法（1）對(duì)于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；（2）對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷；（3）對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小，則通過中間值來判斷．知識(shí)點(diǎn)08對(duì)數(shù)的定義如果ab=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a為底，（正）數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN，這里，a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N

知識(shí)點(diǎn)09常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)，并把log10N記作lgN，以無理數(shù)e=2.71828?為底數(shù)的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并且把log知識(shí)點(diǎn)10對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式性質(zhì)1負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)性質(zhì)21的對(duì)數(shù)是0，即loga1=0性質(zhì)3底數(shù)的對(duì)數(shù)是1即logaa=1對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=N，知識(shí)點(diǎn)11對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：（1）logaMN=（2）logaMN=（3）logaMn=推廣：loga，，知識(shí)點(diǎn)12換底公式換底公式：；推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式推廣2：。知識(shí)點(diǎn)13對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式及定義域一般地，函數(shù)y=logaxa>0，且a≠1叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題時(shí)，要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0;若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)大于0且不等于1知識(shí)點(diǎn)14對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域0,+值域R過定點(diǎn)過定點(diǎn)1,0，即x=1時(shí)，y=0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0當(dāng)x>1時(shí)，y<0單調(diào)性是0,+∞上的增函數(shù)是0,+∞上的減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)15解對(duì)數(shù)不等式（1）形如logafx>logagx的不等式，借助函數(shù)y=logax（2）形如logafx>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式（3）形如logafx>log（4）形如flogax>0的不等式，可用換元法（令t=logax）知識(shí)點(diǎn)16冪函數(shù)的定義及一般形式一般地，函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，知識(shí)點(diǎn)17冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）常見的五種冪函數(shù)的圖象

（2）冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖象，并且圖象都通過點(diǎn)②如果α>0，則冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+∞③如果α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)：當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方且無限地逼近y軸；當(dāng)x無限增大時(shí)，圖象在x軸上方且無限地逼近（3）常見的五種冪函數(shù)的性質(zhì)解析式y(tǒng)=xy=y=y=y=圖象定義域RRR{x∣x≠0}[0,+∞值域R[0,+∞R{y∣y≠0}[0,+∞奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增(?∞,0]上減，0,+∞增(?∞,0)上減，(0,+增定點(diǎn)1,1知識(shí)點(diǎn)18冪函數(shù)的奇偶性題型一指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算【典例1】（24-25高一上·陜西渭南·期中）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算.（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解.（3）利用指數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】（1）.（2）.（3）由，得，即，所以.【典例2】（24-25高一上·北京·期中）計(jì)算：(1)(2)(3)，，試用，表示【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.（3）根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)換底公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）由，得，則.【變式1】（24-25高一上·河南漯河·期中）（1）計(jì)算.（2）計(jì)算.（3）化簡(jiǎn)：.（4）已知，求的值.【答案】（1）；（2）5；（3）；（4）【分析】（1）（3）應(yīng)用有理數(shù)指數(shù)冪及根式與指數(shù)冪關(guān)系化簡(jiǎn)、求值即可；（2）應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；（4）根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)可得、，代入目標(biāo)式即可求值.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)平方并整理得，同理可得，所以.【變式2】（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）（1）已知x，y，z為正數(shù)，若，求的值.（2），，化簡(jiǎn)：.（3）求值（其中）.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）令，則，根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化可得，利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)原式即可；（2）由，，根據(jù)根式指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得；（3）由根式指數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知，令，則，所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以所以，所以．?）因?yàn)椋?題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用解｜題｜技｜巧（1）牢記指數(shù)函數(shù)的基本形式，根據(jù)底數(shù)大小判斷圖象在第一象限的升降趨勢(shì)。（2）利用指數(shù)函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱等變換規(guī)律，解決圖象相關(guān)問題。（3）結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，分析函數(shù)的定義域、值域等?！镜淅?】（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三多限 D．第四象限【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，從而，再利用圖象的變化得到的圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恒過點(diǎn)，所以，其圖象可由向下平移個(gè)單位得到，圖象如圖，由圖知不經(jīng)過第二象限，故選：B.【變式1】（24-25高一上·福建泉州·期中）且時(shí)，函數(shù)恒過點(diǎn)（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，故函數(shù)恒過點(diǎn).故選：A.【變式2】“是函數(shù)且）的圖象經(jīng)過第三象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征，結(jié)合與0的關(guān)系，即可分別求解充分性和必要性，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義求解.【詳解】解：對(duì)于函數(shù)且），當(dāng)時(shí)，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象特征，可知的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以充分性成立；對(duì)于函數(shù)且），當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞減，此時(shí)它不經(jīng)過第三象限，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)且，經(jīng)過第三象限，故符合題意，必要性成立，綜上所述，“”是“函數(shù)且）的圖象經(jīng)過第三象限”的充要條件．故選：C．題型三指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解｜題｜技｜巧（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；底數(shù)大于0小于1時(shí)，單調(diào)遞減。（2）對(duì)于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，依據(jù)“同增異減”原則判斷單調(diào)性。（3）注意函數(shù)定義域?qū)握{(diào)性的影響，分析單調(diào)區(qū)間要考慮定義域范圍?！镜淅?】（24-25高一上·江蘇南京·期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出復(fù)合過程，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以整個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間，而內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為.故選：C【變式1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)，再由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知是由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得只需使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減即可，易知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以可得，即；即的取值范圍是.故選：D【變式2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】是增函數(shù)，的減區(qū)間是，因此根據(jù)同增異減法則得所求復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間是.故選：C．題型四指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值解｜題｜技｜巧（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定值域，如單調(diào)遞增函數(shù)，定義域左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值，右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值。（2）對(duì)于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，通過換元法轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)求值域和最值。（3）注意指數(shù)函數(shù)本身的取值范圍限制，如指數(shù)函數(shù)的值域恒大于0?！镜淅?】（24-25高一上·安徽·期中）設(shè)，若函數(shù)在上的最小值是2，則其在上的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】設(shè)，將此函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值分析求解即可.【詳解】．設(shè)，則．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：A．【變式1】（山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則.【答案】【詳解】若，則在上為增函數(shù),所以，此方程組無解；若，則在上為減函數(shù),所以，解得，所以.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).【變式2】若函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【分析】由題可得，，即求.【詳解】∵函數(shù)在上有最大值，∴，，∴，解得或（舍去）.故選：A.題型五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（24-25高一上·貴州貴陽(yáng)·期中）已知函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)，函數(shù)且也經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求得點(diǎn)，代入指數(shù)函數(shù)解析式即可求解參數(shù)a.【詳解】，當(dāng)，即，所以，由的圖象經(jīng)過，所以，因?yàn)?，?故選：C【變式1】在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與（其中且）的圖象的可能是（

）

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得兩函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)，驗(yàn)證即可得解.【詳解】指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，只有C選項(xiàng)符合，當(dāng)，函數(shù)圖象與C選項(xiàng)一致.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【變式2】已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出已知兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)及的圖象上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象建立不等式，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，則的中點(diǎn)為，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且軸，則，由圖可知點(diǎn)在的左側(cè)，即.故選：B題型六對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解｜題｜技｜巧看底數(shù)。對(duì)于復(fù)合函數(shù)，用“同增異減”的原則，把函數(shù)拆成外層對(duì)數(shù)函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)，分別判斷它們的單調(diào)性，再綜合起來看。（3）函數(shù)里有參數(shù)時(shí)，討論參數(shù)對(duì)底數(shù)范圍的影響，確定不同參數(shù)情況下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！镜淅?】（24-25高一上·福建廈門·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)計(jì)算出定義域后，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，解得或，由，則其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為單調(diào)遞增函數(shù)，故的單調(diào)遞減區(qū)間.故選：B.【變式1】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于在上單調(diào)遞減，令，，因?yàn)闉闇p函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，開口向下，對(duì)稱軸為，由在上單調(diào)遞減，可得，解得，由在上恒成立，即，，可得在上恒成立，則，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：D.【變式2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.題型七指對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用【典例1】（24-25高一上·河南駐馬店·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可利用和的關(guān)系求解.【詳解】由于的定義域?yàn)?故，故，解得（負(fù)值舍去），故選：C【典例2】（全國(guó)II卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.【典例3】設(shè)函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算公式可知，可知為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)，的解析式，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)的奇偶性可值的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性及單調(diào)性可解不等式.【詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算公式可知，所以，即函數(shù)為偶函數(shù).又當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以不等式等價(jià)于，即，解得.故選：C.【變式1】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)偶函數(shù)的定義判斷各個(gè)選項(xiàng)的奇偶性即可.【詳解】觀察各個(gè)選項(xiàng)，函數(shù)的定義域均為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于定義域內(nèi)任意的，可代入判斷如下：對(duì)A選項(xiàng)，，可知其為偶函數(shù)；對(duì)B選項(xiàng)，可知其為奇函數(shù)；對(duì)C選項(xiàng)，，可知其為偶函數(shù)；對(duì)D選項(xiàng)，，即不等于又不等于，可知其既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選：D【變式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定義在R上的函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，利用性質(zhì)求解不等式.【詳解】依題意，函數(shù)，函數(shù)是上的奇函數(shù)，，函數(shù)分別是上的減函數(shù)和增函數(shù)，因此函數(shù)是上的增函數(shù)，不等式，則，解得，所以原不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出給定函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.題型八指對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較【典例1】（24-25高一上·吉林·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪及對(duì)數(shù)式的大小.【詳解】因?yàn)?，，，則.故選：B.【典例2】（24-25高一上·安徽阜陽(yáng)·期中）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷的正負(fù)，再利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)比較大小即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，又因?yàn)?，所以，?綜上可得：.故選：B.【典例3】的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由對(duì)數(shù)性質(zhì)及基本不等式比較各數(shù)的大小.【詳解】由，由，即，故，綜上，.故選：A【變式1】已知，，，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用中間變量法得到，利用構(gòu)造函數(shù)法得到即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，而，，故我們?gòu)造指數(shù)函數(shù)，得到，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，綜上可得，故C正確.故選：C【變式2】若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，結(jié)合基本不等式及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較的大小，可得結(jié)論.【詳解】，而，且．所以，故．故選：D.題型九冪函數(shù)的圖象【典例1】下列關(guān)于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限C．當(dāng)指數(shù)取1，3，時(shí)，冪函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象性質(zhì)分別判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在處無定義，故圖象不會(huì)經(jīng)過點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)都有意義，且，故冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，所以，即，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.【變式1】已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由冪函數(shù)定義得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值.【詳解】令，解得或1，若，則，與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，滿足要求，若，則，與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，交點(diǎn)為原點(diǎn)，不合要求，故.故選：A【變式2】在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與冪函數(shù)圖象的關(guān)系可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分、，、四種情況及二次函數(shù)冪函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)于C，由題意可得此時(shí)，得，所以冪函數(shù)，圖象為直線，故不正確；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，對(duì)于D，由題意可得此時(shí)，得，所以冪函數(shù)，圖象為反比例函數(shù)的圖象，滿足題意，故正確；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，對(duì)于B，由題意可得此時(shí)，得，所以冪函數(shù)，圖象為反比例函數(shù)的圖象，不滿足題意，故不正確；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，由題意可得此時(shí)，得以，所以冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象在直線下方，不滿足題意，故不正確；故選：D.題型十冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【典例1】?jī)绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再由奇偶性與單調(diào)性判斷即可．【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故.又，所以，所以，則.故選：A.【典例2】（24-25高一上·山西朔州·期中）若冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的定義，得，解得或.若，則，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意，舍去；若，則，其圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意.故選：A【變式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，解得或.故選：B.【變式2】（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B．C．或 D．不存在【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)的定義，結(jié)合偶函數(shù)特征求解即得.【詳解】由是冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，不符合題意，所以.故選：A期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三多限 D．第四象限【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，從而，再利用圖象的變化得到的圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恒過點(diǎn)，所以，其圖象可由向下平移個(gè)單位得到，圖象如圖，由圖知不經(jīng)過第二象限，故選：B.2．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．或 B．C． D．【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的定義及奇函數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意得，所以，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，故不符合題意，當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，故符合題意.綜上所述：.故選：B.3．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定與的單調(diào)性，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D.4．（24-25高一上·陜西渭南·期中）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別根據(jù)、、的單調(diào)性，比較，，與0，1的大小，即可比較【詳解】在上是減函數(shù)，；在上是增函數(shù)，；在上是減函數(shù)，，故.故選：A.二、多選題5．（24-25高一上·陜西渭南·期中）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn) B．在內(nèi)的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】AB【分析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則，對(duì)A，當(dāng)，，所以的圖象經(jīng)過點(diǎn)，A正確；根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域上不具有單調(diào)性，函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)椋蔆D錯(cuò)誤，B正確，故選：AB．6．（24-25高一上·浙江·期中）若，則下列等式正確的是（

）A． B． C． D．．【答案】AD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合指對(duì)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】由，可得，利用換底公式可得，A項(xiàng)正確；因?yàn)?，且，所以，則，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以，C項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，D項(xiàng)正確．故選：AD．三、解答題7．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(1)求的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求的值，確定冪函數(shù)的解析式，再求；（2）根據(jù)冪函數(shù)的解析式，把函數(shù)不等式化為代數(shù)不等式求解.【詳解】（1）由題意，，所以，所以.（2），所以且.故所求不等式的解集為：.8．（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式計(jì)算；（3）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】（1）＝；（2）＝＝＝；（3）由，得，則．期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）一、單選題9．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)合函數(shù)法可求得函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上遞增，在上遞減，外層函數(shù)在上為減函數(shù)，因此，函數(shù)的增區(qū)間為.故選：B.10．（24-25高一上·海南三亞·期中）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，通過指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題意，對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)在單調(diào)遞增，即對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)在單調(diào)遞減，即，對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)在單調(diào)遞減，即，所以.故選：B.11．（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)在上單調(diào)遞減的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)單調(diào)性問題，注意真數(shù)大于0，可求得充要條件，進(jìn)而可得必要不充分條件.【詳解】令，而為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在上單調(diào)遞減且恒成立，即，解得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是，所以是函數(shù)在上單調(diào)遞減的必要不充分條件.故選：A.二、多選題12．（24-25高一上·廣東佛山·期中）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】將化為同底的對(duì)數(shù)，再對(duì)前兩個(gè)選項(xiàng)計(jì)算后判斷大小，對(duì)于C選項(xiàng)可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，D選項(xiàng)由基本不等式即可判斷．【詳解】由題意可得.對(duì)于A，，所以A正確:對(duì)于B，，所以B正確:對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，C正確;對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以取不到等號(hào)，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.13．（24-25高一上·山東泰安·期中）已知，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由，得，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】由，得，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以D正確.故選：ACD三、填空題14．（24-25高一上·安徽·期中）若正數(shù)a，b滿足，則的最大值是.【答案】【分析】應(yīng)用基本不等式計(jì)算即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是．故答案為：.15．（24-25高一上·安徽阜陽(yáng)·期中）已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行拆分，由外函數(shù)值域得出內(nèi)函數(shù)值域，再通過討論參數(shù)，列出不等式求得參數(shù)范圍.【詳解】令，則，要使得的值域?yàn)镽，則函數(shù)的值域滿足，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)開口向上，且最小值小于等于0，，當(dāng)時(shí)，滿足題意，綜上所述：.故答案為：.四、解答題16．（24-25高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二次不等式的解法以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集；（2）令，由題意可得出，求出函數(shù)在上的最大值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，可得，解得，因此，不等式的解集為.（2）因?yàn)?，令，由可得，可得，由?duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，由題意可得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知函數(shù)，其中，，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).(2)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)時(shí)，為偶函數(shù)，且時(shí)，為非奇非偶函數(shù),理由見解析(3)或【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.（2）由函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判斷即可.（3）應(yīng)用函數(shù)的偶函數(shù)的性質(zhì)再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出不等關(guān)系，計(jì)算即可求出參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題，設(shè)任意，則，因?yàn)?，所以，且，則，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).（2）因?yàn)椋x域?yàn)镽，則，若為偶函數(shù)，則，；若為奇函數(shù)，則，所以因?yàn)闉樽兞?，所以無解；所以時(shí)，為偶函數(shù)，且時(shí)，為非奇非偶函數(shù).（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以或，所以或期中綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）一、單選題18．（2023·北京·高考真題）下