2/24專題08函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型1求函數(shù)值（?？键c(diǎn)）題型7抽象函數(shù)中的對(duì)稱性問(wèn)題（難點(diǎn)）題型2函數(shù)圖象或解析式的判斷（?？键c(diǎn)）題型8周期性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用（重點(diǎn)）題型3單調(diào)性奇偶性結(jié)合比較大小關(guān)系（重點(diǎn)）題型9周期性奇偶性的綜合應(yīng)用（重點(diǎn)）題型4單調(diào)性奇偶性結(jié)合解不等式（重點(diǎn)）題型10奇偶性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用（重點(diǎn)）題型5抽象函數(shù)中奇偶性問(wèn)題（常考點(diǎn)）題型11函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應(yīng)用（難點(diǎn)）題型6抽象函數(shù)中的周期性問(wèn)題（重點(diǎn)）題型12函數(shù)新定義（難點(diǎn)）題型一求函數(shù)值（共5小題）1．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)椋瑒t，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.2．（24-25高一上·江蘇連云港·期中）已知函數(shù)，的定義域均為，且，，的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)得到、，結(jié)合已知求相關(guān)函數(shù)值，即可求結(jié)果.【詳解】由，則①，由，則②，由①有，結(jié)合②有，所以，故，由的圖象關(guān)于對(duì)稱，則③，由①有，結(jié)合②③有，所以，則，由知：，由知：，且，綜上，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)得到、為關(guān)鍵.3．（24-25高一上·福建莆田·期中）（多選）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均滿足，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)【答案】ACD【分析】用替換，則，可推導(dǎo)，即可判斷；利用賦值法可判斷；由可判斷；計(jì)算滿足的的值，由此可得，即可判斷.【詳解】選項(xiàng)，中，用替換，則，兩式相減得：，即可得：，故正確；選項(xiàng)，令，則，需求，令，則，需求，令，則，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，由上述兩式可得：，所以，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由選項(xiàng)知，，故正確；選項(xiàng)，，注意到兩系數(shù)之和為3，若令，則有，所以，令，求得，取，則，即，則，即函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：驗(yàn)證抽象函數(shù)的奇偶性時(shí)，可取一對(duì)相反數(shù)代入；抽象函數(shù)求某一點(diǎn)函數(shù)值的問(wèn)題可嘗試代入，，等特殊值，再通過(guò)式子的加減變換求出所求的函數(shù)值.4．（24-25高一上·福建福州·期中）（多選）已知定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．B．為偶函數(shù)C．D．若，則或【答案】BCD【分析】根據(jù)賦值法，函數(shù)的奇偶性的概念，函數(shù)的單調(diào)性的概念，可得是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，從而再針對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別求解即可．【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，令，則，所以，再令，則，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，定義在上的函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，所以，所以，所以是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，由，知，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B分析可知是偶函數(shù)，由選項(xiàng)C知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又，若，則，解得且，所以選項(xiàng)D正確．故選：BCD．5．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，且同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意的，都有成立；②對(duì)任意的，都有成立；③對(duì)于，都有成立，則．【答案】/0.9375【分析】由①得，再得出，從而求得，進(jìn)而有時(shí)，，然后再計(jì)算．【詳解】由①得，∴，因此由②得，又，而，所以，所以，所以，又，所以，從而，由③得時(shí)，，所以，而，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過(guò)對(duì)已知條件中變量賦值得出函數(shù)值，如，為了求，需要結(jié)合兩個(gè)條件得出，再結(jié)合可求得，利用單調(diào)性可得出函數(shù)的一部分表達(dá)式：時(shí)，，然后利用已知條件化所求值式子中的自變量值到此范圍后即可得．實(shí)際上可用反證法證明，從而很快求得，題型二函數(shù)圖象或解析式的判斷（共4小題）6．（24-25高一上·廣東佛山·期中）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而確定其大致圖象.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，選項(xiàng)AC不滿足；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，B不滿足，D符合題意.故選：D7．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期末）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此排除CD選項(xiàng).又因?yàn)椋懦鼳選項(xiàng).故選：B.8．（24-25高一上·重慶·期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中，常用函數(shù)圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來(lái)分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的解析式，可得函數(shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，在上函數(shù)值大于0，排除D選項(xiàng)，再由接近8，排除A，只有B的圖象接近函數(shù)的圖象.【詳解】解：設(shè)函數(shù)在上，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確，B正確.故選：B.9．（24-25高一上·四川南充·期中）函數(shù)的大致圖象如圖所示，則可能是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象分析的奇偶性以及定義域，然后逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可知，為奇函數(shù)且定義域?yàn)?，?duì)于A：定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，是偶函數(shù)，不符合；對(duì)于B：定義域?yàn)?，不符合；?duì)于C：定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，是奇函數(shù)，符合；對(duì)于D：定義域?yàn)?，不符合；故選：C.題型三單調(diào)性奇偶性結(jié)合比較大小關(guān)系（共4小題）10．（24-25高一上·江蘇宿遷·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件可得，再利用單調(diào)性比較大小即得.【詳解】依題意，，由在上單調(diào)遞減，，得，所以.故選：C11．（22-23高一上·山東聊城·期中）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定數(shù)在上單調(diào)遞增，是上的偶數(shù)，變換得到，，，根據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，是上的奇函數(shù)，故是上的偶數(shù)，，，.，故.故選：A12．（24-25高一上·北京·期中）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，．若，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷的奇偶性與在上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則定義域?yàn)椋?，又，所以是偶函?shù)，又在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，即，所以在上是增函數(shù)，所以，又，所以，即．故選：C.13．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計(jì)算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.題型四單調(diào)性奇偶性結(jié)合解不等式（共6小題）14．（24-25高一上·陜西渭南·期中）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于任意均有，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得在單調(diào)遞減，又函數(shù)為偶函數(shù)，且所以不等式等價(jià)于,即，解之即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?duì)于任意均有，所以在單調(diào)遞減，又函數(shù)為偶函數(shù)，且由，得，等價(jià)于，所以，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：，故選：B.15．（24-25高一上·山東菏澤·期中）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解.【詳解】易知：函數(shù)（）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以或且，.即：.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分析函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式時(shí)，要注意函數(shù)定義域的限制.16．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，都有，且，都有，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】采用賦值法先分析的奇偶性，再根據(jù)條件得到的單調(diào)性，然后將函數(shù)值大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量大小關(guān)系，從而可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，都有，令，則，解得，令，則，解得，令，則，又的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為偶函數(shù)；因?yàn)?，都有，即，都有，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋裕纱私獾没?，故選：A.17．（24-25高一上·廣西·期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，且是上的增函數(shù)，若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故不等式等價(jià)于或，解得或．故選：C.18．（23-24高一上·北京懷柔·期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則可化為或，所以或，所以或.故選:D.19．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，對(duì)任意，有，的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后求解不等式.【詳解】已知對(duì)任意，有，這表明當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是減函數(shù).因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，那么.所以可化為，即.由于在上是減函數(shù)，且，根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)可得.得到.可得.所以不等式的解集為.故選：B.題型五抽象函數(shù)中奇偶性問(wèn)題（共7小題）20．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，，則函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】B【分析】用賦值法，先令求得，再令求解后即可判斷．【詳解】在中，令，則，又，所以，令得，所以，所以是偶函數(shù)，故選：B．21．（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）A． B． C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】D【分析】對(duì)于A，令，可求出進(jìn)行判斷，對(duì)于B，令，可求出進(jìn)行判斷，對(duì)于CD，令，可求出，從而可求出，進(jìn)而可判斷其奇偶性.【詳解】對(duì)于A，令，則，得，所以或，當(dāng)時(shí)，不恒成立，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，則，得，所以，或，由選項(xiàng)A可知，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于CD，令，則，由選項(xiàng)A可知，所以，所以，令，則，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，D正確，故選：D22．（24-25高一上·遼寧·期中）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（

）A． B．C．函數(shù)是奇函數(shù) D．函數(shù)是增函數(shù)【答案】ACD【分析】首先利用賦值法求的值，再令，，求，并代入求函數(shù)的解析式，并賦值判斷BD.【詳解】令，，則，因?yàn)椋裕?，，得，即，，所以，故A正確；令，，所以，為奇函數(shù)，故C正確；由，令，得，故B錯(cuò)誤；上式中令為，得，為增函數(shù)，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件等式，合理給變量賦值，以及賦變量.23．（22-23高一上·北京·期末）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n都滿足等式，當(dāng)時(shí)，，且．(1)判斷的奇偶性；(2)判斷的單調(diào)性，求在區(qū)間上的最大值；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)奇函數(shù)；(2)為上的減函數(shù)；在上的最大值為6；(3)存在，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【分析】（1）賦值法得到，，得到函數(shù)的奇偶性；（2）先由時(shí)，利用賦值法得到函數(shù)單調(diào)遞減，再用賦值法和奇偶性得到，從而得到在區(qū)間上的最大值；（3）先根據(jù)單調(diào)性得到，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，令，為一次函數(shù)，得到不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）取，則，∴，取，，則，∴對(duì)任意恒成立，∴為奇函數(shù)；（2）任取且，則，因?yàn)?，故，令，則有，即，∵時(shí)，，故時(shí)，，∴，∴．故為上的減函數(shù)．∴，，∵，，令，則，故，因?yàn)榱?，則，即，由（1）知：為奇函數(shù)，故，故，解得：，故，故在上的最大值為6；（3）∵在上是減函數(shù)，∴，∵，對(duì)所有，恒成立．∴，恒成立；即，恒成立，令，則，即，解得：或．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．24．（23-24高一上·浙江·期中）定義在的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)求證：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明；（2）根據(jù)已知條件，利用單調(diào)性的定義、作差法進(jìn)行證明；（3）把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行處理，利用單調(diào)性、一次函數(shù)進(jìn)行處理.【詳解】（1）令，則有，令，則有，，是奇函數(shù).（2）設(shè)則所以，因?yàn)?，所以，即，則，又，所以，所以，所以，即，所以在上是減函數(shù).（3）由（1）（2）知在上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，所以恒成立，等價(jià)于：恒成立，即恒成立，設(shè)，是關(guān)于的一次函數(shù)，所以，即，則，則.25．（23-24高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，，又．(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)為奇函數(shù)；(2)在上的單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）通過(guò)特殊值以及函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義證明即可；（3）結(jié)合已知利用函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值求解即可．【詳解】（1）結(jié)合題意：由函數(shù)的定義域?yàn)?且，取，則，即，取，則，所以，所以為奇函數(shù).（2）在R上的單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，令，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上的單調(diào)遞減.（3）由，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏系膯握{(diào)遞減，所以，即時(shí)，恒成立，等價(jià)于對(duì)任意時(shí)，恒成立，令，則，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是利用進(jìn)行恰當(dāng)?shù)馁x值,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問(wèn)題,最后一問(wèn)主要是借助單調(diào)性，并進(jìn)行分參，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.26．（24-25高一上·四川遂寧·階段練習(xí)）已知是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒有.(1)求的值；(2)證明：為偶函數(shù)；(3)當(dāng)，證明在上單調(diào)遞增，并求不等式的解集.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析，不等式解集為或【分析】（1）令求，令求.（2）令得，結(jié)合函數(shù)的定義域得為偶函數(shù).（3）用定義法結(jié)合題目條件證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得到在上單調(diào)遞減，利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集.【詳解】（1）令得，故，令得，故.（2）令得.∵是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，∴為偶函數(shù).（3）設(shè)任意的，，∵，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，∵，∴，∴且，解得且，∴不等式的解集為或.題型六抽象函數(shù)中的周期性問(wèn)題（共4小題）27．（24-25高三上·寧夏中衛(wèi)·期中）函數(shù)滿足，當(dāng)，，則．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系計(jì)算得出函數(shù)周期為4，再結(jié)合已知，求得，從而得解.【詳解】∵，∴，則函數(shù)的周期為4，∴，又∵，，∴，所以.故答案為：128．（23-24高一上·山東濟(jì)南·期末）定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為.【答案】1【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)以及周期性代入即可求解.【詳解】由題意.故答案為：1.29．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【分析】先求出函數(shù)的周期，利用周期性將化為，再利用函數(shù)的奇偶性，有，代入解析式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的周期為，且為偶函?shù)，即，當(dāng)時(shí)，，.故答案為：30．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【分析】根據(jù)周期可得，根據(jù)奇函數(shù)得，代入已知條件即可求解.【詳解】因?yàn)榈闹芷跒?，且為奇函數(shù)，所以.故答案為：題型七抽象函數(shù)中的對(duì)稱性問(wèn)題（共5小題）31．（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的圖象關(guān)于（

）A．原點(diǎn)對(duì)稱 B．x軸對(duì)稱C．y軸對(duì)稱 D．點(diǎn)對(duì)稱【答案】A【分析】用代換判斷的關(guān)系判斷A、C；根據(jù)函數(shù)的概念判斷B；根據(jù)是否恒成立判斷D.【詳解】由，且定義域?yàn)镽，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A對(duì)，C錯(cuò)；由，顯然不恒成立，D錯(cuò)；由函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，函數(shù)圖象不可能關(guān)于x軸對(duì)稱，B錯(cuò).故選：A32．（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，若函數(shù)，則（

）A．2024 B．2025 C．4048 D．4049【答案】D【分析】根據(jù)已知有，進(jìn)而可得、，利用對(duì)稱性求目標(biāo)式的值.【詳解】由題可知：，則，所以，且，則.故選：D33．（24-25高一上·四川自貢·期中）已知三次函數(shù)有唯一對(duì)稱中心，據(jù)此結(jié)論完成的對(duì)稱中心.【答案】【分析】由對(duì)稱中心概念即可求解.【詳解】由題意對(duì)于，，，所以的對(duì)稱中心是.故答案為：34．（24-25高一上·江蘇南京·期中）函數(shù)的圖象可以由反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)平移而得到．函數(shù)對(duì)稱中心是，進(jìn)而求值．【答案】【分析】利用函數(shù)圖象平移可得出函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合對(duì)稱性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，函數(shù)的圖象可由反比例函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，其對(duì)稱中心為原點(diǎn)，故函數(shù)對(duì)稱中心，故，記，則，故.故答案為：；.35．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．若函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)分別為，，…，（為正整數(shù)），則．注：．【答案】【分析】由已知可得，即可證，即函數(shù)與都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而可得解.【詳解】由已知，則，則，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，且在，，，上分別單調(diào)遞減，作出函數(shù)與的圖像如圖所示，可知函數(shù)與有個(gè)交點(diǎn)，分別為，，，，且與，與分別關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，故答案為：.題型八周期性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用（共2小題）36．函數(shù)對(duì)任意，都有的圖形關(guān)于對(duì)稱，且，則（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】根據(jù)可得函數(shù)的周期為，再根據(jù)的圖形關(guān)于對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而根據(jù)周期性和對(duì)稱性即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意，都有，所以函數(shù)的周期為，將的圖形向左平移1個(gè)單位可得的圖象，又的圖形關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故為R上的奇函數(shù)，所以．故選：B．37．（23-24高一上·安徽阜陽(yáng)·期中）已知函數(shù)滿足，，且，則的值為（

）A．96 B． C．102 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，推得既關(guān)于成軸對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由和，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又由函數(shù)滿足，即所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)既關(guān)于成軸對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以，且函數(shù)的周期，又因?yàn)?，所以，可得，所?故答案為：.題型九周期性奇偶性的綜合應(yīng)用（共6小題）38．（23-24高一下·湖北·期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由是定義在上的奇函數(shù)，可得，結(jié)合可得函數(shù)的周期為4，利用周期性求解即可.【詳解】由已知是定義在上的奇函數(shù)，所以，由于可知，所以，進(jìn)而得到周期為4，.故選：B.39．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱性及奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得，由函數(shù)是上的奇函數(shù)，得，因此，又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B40．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C．6 D．10【答案】A【分析】先利用偶函數(shù)性質(zhì)和已知等式得到函數(shù)的周期，再根據(jù)周期和已知等式計(jì)算.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以.已知，將換為，可得，又因?yàn)椋?由和可得.令，則，那么，又因?yàn)椋?，即，所以函?shù)的周期是，所以.在中，令，可得，即，解得，所以.故選：A.41．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由為奇函數(shù)得對(duì)稱中心為，結(jié)合為偶函數(shù)，求周期為，從而求出，即可得到的值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，即，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因?yàn)?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，推函數(shù)的周期，關(guān)于抽象函數(shù)考查對(duì)稱性和周期性的綜合題，一般都是借助題中的條件找到對(duì)稱中心和對(duì)稱軸再推周期.42．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則．【答案】1【分析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，并且，可得函數(shù)的周期為，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，，又，所以，即，所以，即是以為周期的奇函數(shù)，，又，，則，故，則．故答案為：.43．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）若是定義在上的奇函數(shù)，，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，推得，得到的周期為，再求得的值，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，又因?yàn)椋?，故，所以，即的周期為，由于為定義在上的奇函數(shù)，且，可得，，，所以，則.故答案為：.題型十奇偶性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用（共5小題）44．（23-24高一上·重慶·期末）定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及已知條件，求得的周期；再根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合奇偶性即可求得函數(shù)值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，從而，得，所以以4為周期的周期函數(shù)，，，所以．故選：A45．（23-24高一上·福建寧德·期末）函數(shù)和的定義域均為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，均有，則（

）A．335 B．345 C．356 D．357【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得的圖象關(guān)于對(duì)稱，的圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合，分別求得和的值，即可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又由為奇函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，由，均有，，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，可得，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，，可得，所以，因?yàn)椋?lián)立方程組，可得，所以.故選：B.46．（24-25高一上·浙江溫州·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)是奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用題目所給條件，確定函數(shù)圖像的對(duì)稱性，代入可求出的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心和周期.【詳解】由為奇函數(shù)，，可得，即函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，；由關(guān)于對(duì)稱，得，即，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；結(jié)合條件關(guān)于直線對(duì)稱，，可以得出.對(duì)于選項(xiàng)A，已知條件不足以確定的奇偶性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，的圖象可以由的圖象向右平移一個(gè)單位得到，故對(duì)稱中心為，是奇函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由已知只能得到，不能確定的取值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B47．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列錯(cuò)誤的是（）A．B．為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．【答案】D【分析】由為奇函數(shù)可得，取，即可判斷A；由為偶函數(shù)可得，即可判斷B；分析可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合B選項(xiàng)可判斷C；由，取，即可判斷D．【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)槠婧瘮?shù)，則，令，得，可得，故A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)榕己瘮?shù)，則，即為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；C選項(xiàng)，由，得為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，又在上單調(diào)遞增，則在[2,4]上單調(diào)遞增，所以在當(dāng)單調(diào)遞增，又由B選項(xiàng)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)，，令，可得，故D錯(cuò)誤．故選：D．48．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）為定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則.【答案】【分析】由函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性通過(guò)賦值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，則，則又函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，所以，所以，故答案為：題型十一函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應(yīng)用（共10小題）多選題49．（24-25高一上·湖北荊州·期中）已知函數(shù)的定義域均為，且，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．D．【答案】BCD【分析】利用對(duì)稱性、和周期性的性質(zhì)，結(jié)合與之間的關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】可得，又，，故，C正確的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，，B正確；的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，是偶函數(shù)；又，，，又是偶函數(shù)，，是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤，由得，根據(jù)是偶函數(shù)，，又，，由，，，D正確．故選：BCD．50．（24-25高一上·吉林·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．C．D．若，則【答案】ABD【分析】對(duì)A：由是奇函數(shù)可得，即可得解；對(duì)B：由，借助賦值法計(jì)算即可得解；對(duì)C：借助所得函數(shù)的周期性，結(jié)合周期性與賦值法計(jì)算即可得；對(duì)D：由，計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：由是奇函數(shù)，則，又定義域?yàn)?，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)B：由，則，故，故周期為，故，故B正確；對(duì)C：，令，有，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，則，故D正確.故選：ABD.51．（24-25高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時(shí)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】利用賦值法求得，從而得以判斷A；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B；利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得式子的值，由此得以判斷C；先求得，再將不等式轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于的不等式，解之即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，令，得，所以，故A正確；對(duì)于B，令，得，所以，任取，且，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以在上是減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以由得，故，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為，故D正確.故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于解含抽象函數(shù)的不等式問(wèn)題，一般先利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得其在定義域上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題.52．（24-25高一上·山東威?！て谥校┮阎瘮?shù)為上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，成立，又時(shí)，單調(diào)遞增，則（

）A． B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)賦值可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以，所以對(duì)于A，令，則，所以可得，故A正確；對(duì)于B，由A知，所以可得，令，可得，由奇函數(shù)性質(zhì)可得，令，則可得，令，則可得則，由此可知是函數(shù)的對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C，由A知，令，則，所以，又時(shí)，單調(diào)遞增，故，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以，故D正確.故選：ABD53．（24-25高一上·貴州貴陽(yáng)·期中）定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．是偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞增C． D．任意實(shí)數(shù)都滿足【答案】BCD【分析】利用賦值法計(jì)算可得C正確；根據(jù)奇偶性定義以及函數(shù)單調(diào)性定義可判斷為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，可判斷A錯(cuò)誤B正確；易知，再由奇函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性計(jì)算可得D正確.【詳解】對(duì)于C，令，則，所以，故C正確；對(duì)于A，令得，所以，即，又不恒為0，所以只能為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，且，故，因?yàn)闀r(shí)，，所以，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于D，由在上成立，得，由為增函數(shù)，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以，故D正確，故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出奇偶性以及單調(diào)性，再根據(jù)不等式性質(zhì)判斷得出結(jié)論.54．（24-25高一上·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)在R上單調(diào)，且對(duì)任意恒成立，則（

）A． B．若在R上單調(diào)遞增，則C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，令得，或1，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性排除，A正確；C選項(xiàng)，令，變形得到，不滿足，C錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由單調(diào)性得到，由條件得，故B正確；D選項(xiàng)，變形得到，故為奇函數(shù)，D正確；【詳解】A選項(xiàng)，中，令得，，解得，解得或1，令得，即，若，滿足上式，若得，但函數(shù)在R上單調(diào)，故，不合要求，綜上，，A正確；C選項(xiàng)，中，令得，當(dāng)時(shí)，，由于只有時(shí)，才有，當(dāng)為其他數(shù)時(shí)，不滿足，故不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在R上單調(diào)遞增，，故，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，所以，故為奇函數(shù)，D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性研究，通常情況下要利用賦值法，得到特殊點(diǎn)的函數(shù)值，再進(jìn)行合理賦值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義，奇偶性的定義進(jìn)行求解55．（24-25高一上·廣東廣州·期中）定義在上的函數(shù)滿足下列條件：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】利用賦值法可以逐次判斷選項(xiàng)，對(duì)于A，取可得；對(duì)于C，取，再由條件當(dāng)時(shí)，推理可得；對(duì)于B，雖能用基本不等式，但因在上的符號(hào)不定，得不出結(jié)論；對(duì)于D，運(yùn)用單調(diào)性定義法推導(dǎo)即可.【詳解】對(duì)于A，由，取，得，故A正確；對(duì)于C，由，取，因，故，即，當(dāng)時(shí)，，則，故，即，故C正確；對(duì)于B，由，取，可得，，整理得，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由選項(xiàng)C可知的符號(hào)可正可負(fù)，故不一定有，即不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，任取，則，依題意，，而，則，即，即在上是增函數(shù)，于是對(duì)于，任取，因?yàn)?，則，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題選項(xiàng)D的解決關(guān)鍵在于，熟練掌握單調(diào)函數(shù)的定義，利用構(gòu)造函數(shù)法分析抽象函數(shù)的單調(diào)性，從而得解.56．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上具有單調(diào)性【答案】ABC【分析】運(yùn)用賦值法結(jié)合函數(shù)性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得．【詳解】對(duì)A：令，則有，即，故A正確；對(duì)B：令，則有，即，由，故，即，故B正確；對(duì)C：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則有，即，即，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)D：令，則有，即，即有，則當(dāng)時(shí)，有，即，故在上不具有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．57．（24-25高一上·江蘇·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)在上單調(diào)遞增，則下列命題為真命題的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若，則【答案】ACD【分析】由可判斷A，根據(jù)平移變換得為奇函數(shù)判斷B，由題干等量函數(shù)關(guān)系得判斷C，根據(jù)單調(diào)性及對(duì)稱性列不等式求解判斷D.【詳解】由知，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；的圖象由的圖象向左平移一個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；由，知：，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，且，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱知，平方化簡(jiǎn)得，解得，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：①如果，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②如果或，則圖象關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱；③如果，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.58．（24-25高一上·甘肅天水·期末）若滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，則下列判斷正確的有（

）A．是奇函數(shù)B．在定義域上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)D．【答案】BD【分析】利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，計(jì)算出判斷A；先利用證明所有有理數(shù)，有，然后用任意無(wú)理數(shù)都可以看作是一個(gè)有理數(shù)列的極限，由極限的性質(zhì)得，這樣可判斷C，由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B，根據(jù)定義計(jì)算，然后求得D中的和，從而判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，則，即不可能是奇函數(shù)，選項(xiàng)A不正確；證明，對(duì)于任意.假設(shè)存在，使得，則，與矛盾，故對(duì)于任意，所以對(duì)于任意，因?yàn)?，所以?duì)任意正整數(shù)，，所以，同理，對(duì)任意正有理數(shù)，顯然有（是互質(zhì)的正整數(shù)），則，對(duì)任意正無(wú)理數(shù)，可得看作是某個(gè)有理數(shù)列的極限，而，所以與的極限，所以，綜上對(duì)所有正實(shí)數(shù)，有，選項(xiàng)C不正確，設(shè)，則，所以，則，所以在定義域上是增函數(shù)，選項(xiàng)B正確；由已知，所以，所以，選項(xiàng)D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解函數(shù)新定義，利用函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)單調(diào)性的證明即可判斷AB選項(xiàng).題型十二函數(shù)新定義（共7小題）59．（24-25高一上·貴州六盤水·期末）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，被稱為“高斯函數(shù)”，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù).已知，均為正數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由高斯函數(shù)定義結(jié)合舉特例可得答案.【詳解】注意到當(dāng)時(shí)，，則“”不是“”的充分條件，又注意到時(shí)，可得，即，則“”是“”的必要條件，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B60．（24-25高一上·江蘇徐州·期中）定義運(yùn)算“”：，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得函數(shù)為，再分段求值域即可.【詳解】由，可得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以的值域?yàn)?故選：A.61．（24-25高一上·福建南平·期中）若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則稱為“函數(shù)”．已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，求出該函數(shù)在、上的值域，分析可知，函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合分段函數(shù)的值域可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，由題意可知，函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由題意可得，則有，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于分段函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在每段區(qū)間上的值域，再由并集運(yùn)算得出不等式組求解.62．（24-25高一上·遼寧·期末）若函數(shù)的定義域、值域均為，則稱為區(qū)間上的方正函數(shù)．(1)若為區(qū)間上的方正函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫出符合要求的所有實(shí)數(shù)對(duì)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)不存在；理由見(jiàn)解析.【分析】（1）分析函數(shù)在上的單調(diào)性，求出函數(shù)值域，結(jié)合方正函數(shù)的定義，可求的值.（2）分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性和奇偶性，還有方正函數(shù)的定義，分析的存在情況.【詳解】（1）因?yàn)?，函?shù)圖象開口