拓展三：三角形面積（定值，最值，范圍）問題目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1：三角形面積（定值問題）題型2：三角形面積（最值問題）題型3：三角形面積（范圍問題）三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析基本公式1、正弦定理及其變形基本公式2、余弦定理及其推論基本公式3、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面積取值范圍，優(yōu)先考慮化角求范圍）利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.二、重點題型分類研究題型1：三角形面積（定值問題）典型例題例題1．在中，角的對邊分別為．(1)求證：；(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：在中，因為，所以，，所以，由正弦定理，得，所以，．（2）解：由正弦定理，得，所以，由余弦定理，得，即，所以或．當時，又，所以，又，所以，明顯不符合題意，所以，又，所以的面積．例題2．在中，已知角，，的對邊分別為，，，且(1)求角的大小(2)若為銳角三角形，且，，求的面積．【答案】(1)或(2)（1）因為，所以由正弦定理得因為，所以所以，所以，因為，所以或．（2）因為三角形為銳角三角形，所以，由余弦定理得，，因為，，所以，所以，，所以三角形的面積為．例題3．在中，角的對邊分別為，且.（1）若，求外接圓的半徑；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理得：，因為，所以，所以，即.因為，所以，解得：.因為，所以外接圓的半徑為.（2）因為，所以，所以.同類題型演練1．已知，．(1)求與的夾角；(2)求；(3)若，，求的面積．【答案】(1)(2)(3)（1）∵，∴，又，∴，∴，∴，又，∴；（2），∴；（3）因為與的夾角，∴，又，，所以.2．已知對任意，，都有：，若的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.，且.(1)求c；(2)若，過點C作，垂足為H，若，求的面積S.【答案】(1)(2)(1)由對任意，，都有：，可得，設(shè)的外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理，有：，故：，所以：由，故，則，所以，，即(2)如圖所示：，，，由，，得，又所以，，則，解得，故有：所以的面積故的面積為3.3．如圖，四邊形中，，，，且為銳角．(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)(2)（1）由已知，∵是銳角，∴．由余弦定理可得，則．∵，∴BD是四邊形外接圓的直徑，∴BD是外接圓的直徑，利用正弦定理知（2）由，，，，則,,又，則，因此，故的面積為．4．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)為銳角三角形，角所對邊，角所對邊，若，求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）依題意，由得，令得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）由于，所以為銳角，即.由，得，所以.由余弦定理得，，解得或.當時，，則為鈍角，與已知三角形為銳角三角形矛盾.所以.所以三角形的面積為.5．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，面積為2，求．【答案】（1）；（2）2．【詳解】解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．題型2：三角形面積（最值問題）典型例題例題1．設(shè)，.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，、、的對邊分別為、、.若，，求面積的最大值.【答案】(1)和(2)（1）由題意，，因為，所以，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當或，即或時，函數(shù)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和.（2）由題意，，所以，因為銳角，則，故，由余弦定理，，故，由基本不等式，，故，當b=c時等號成立因此，，當時，面積取得最大值.例題2．如圖，在扇形中，點為上一點，，分別為線段，上的點，且，，．(1)求的大??；(2)若扇形的半徑為30，求面積的最大值．【答案】(1)(2)（1）在中，由正弦定理得：，又由余弦定理得：，化簡得：，即，解得：，（舍去），，則，又，，，所以.（2）連接，可得，設(shè)（），則，在中，，在中，，所以的面積，即（），因為，所以，則當時，即為中點時，的面積取得最大值.例題3．已知在中，三個內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若角為鈍角，且角的角平分線與邊相交于點，滿足，求的面積的最小值.【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得：.因為,所以,所以.

因為，所以或.（2）當時，，所以，即（當且僅當時取等號），解得：（當且僅當時取等號）.所以（當且僅當時取等號）.即的面積的最小值為.例題4．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角的大小；(2)設(shè)，是所在平面上一點，且與點分別位于直線的兩側(cè)，如圖，若，，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)(1)．由正弦定理得，∵sinC≠0，∴，即．∴，即．∵0<A<π，∴．∴，即．(2)在△BCN中，由余弦定理得，∵BN＝6，CN＝3，∴由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是，∴四邊形ABCD的面積∴當時，S取最大值，即四邊形ABCD的面積的最大值是．同類題型演練1．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且．(1)求角C的大??；(2)若的外接圓半徑為2，求的面積最大值．【答案】(1)；(2).（1）解：由題得，所以，所以..（2）解：由正弦定理得，則，由余弦定理得，即（當且僅當時取等號），故（當且僅當時取等號）．即面積的最大值為．2．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，△ABC的面積為S，且．(1)求角B的大?。?2)若為平面ABC上△ABC外一點，DB=2，DC=1，求四邊形ABDC面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：在中，由，有，則，即，∵，所以．（2）解：在中，，∴，又，則為等腰直角三角形，，又，∴，當時，四邊形的面積最大值，最大值為．3．如圖，在平面四邊形中，.(1)證明：；(2)記與的面積分別為和，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)14【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，∴，所以，即.（2），，則由（1）知：，代入上式得，∴當時，取到最大值14.4．已知向量，，.(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)（1）解：，則其最小正周期；（2）由，且，所以，由余弦定理得，即，所以，當且僅當時取等號，所以的面積，所以該三角形面積的最大值為.5．在中，角所對的邊分別為（1）若，點在邊上，，求的外接圓的面積；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【詳解】（1）由得：，由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因為，所以，在中，，由余弦定理得：設(shè)外接圓的半徑為，由可得：，所以外接圓的面積.（2）由（1）可知，又，由余弦定理可得：，即，因為，所以，從而（當且僅當時取等號），所以面積，從而面積的最大值為.題型3：三角形面積（范圍問題）典型例題例題1．中，角、、所對的邊分別為，，且(1)求角的大??；(2)若，求的面積的取值范圍．【答案】(1)C(2)【詳解】（1）由題意得，2sin21+cos2C，∴，又，∴，解得cosC或1，∵，∴cosC，則C；（2）∵C，c，∴由余弦定理得，，所以，解得，∴，解得，當且僅當a=b=1時取等號，∴△ABC的面積，∴△ABC的面積S的取值范圍是．例題2．在中，角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，且為銳角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】(1)B(2)（1）解：∵，由正弦定理可得：，又∵，∴，即：∵，∴，即（2）解：為銳角三角形，所以，解得，∵，由正弦定理得，即，∴，∴，∵，∴，∴．∴的面積的取值范圍為．例題3．（2023·全國·高三專題練習）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知①，②，③，從這三個條件中任選一個，回答下列問題，(1)求角；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)(1)若選①，由，得，即，∴．又∵銳角，∴，∴．若選②，由，，∴，∴．又∵銳角，∴，∴．若選③，∵，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得．又∵銳角，∴，∴．(2)由正弦定理，得．∴．∵銳角，∴且，∴，∴，∴，∴，∴面積的取值范圍為同類題型演練1．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)求角A的大小；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，則，即又，所以，即又，所以（2）因為，所以，因為為銳角三角形，所以解得，則故，即面積的取值范圍為2．銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足：．(1)求A；(2)求面積取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得：，因為，所以，化簡得，所以，因為，所以，（2）解：由正弦定理，得又，因為銳角，所以解得，則所以.3．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【詳解】(1)[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】由三角形的內(nèi)角和定理得，此時就變?yōu)椋烧T導公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，兩邊平方得，即．又，即，所以，進一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因為是銳角三角形，又，所以，則．因為，所以，則，從而，故面積的取值范圍是．[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及（1）知的面積．因為為銳角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面積的取值范圍是．[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖1，在中，過點A作，垂足為，作與交于點．由題設(shè)及（1）知的面積，因為為銳角三角形，且，所以點C位于在線段上且不含端點，從而，即，即，所以，故面積的取值范圍是．三、高考（模擬）題體驗1．已知中，內(nèi)角的對邊分別為，，，，.(1)求；(2)若的外接圓面積為，求面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，，即，，所以，所以；（2）因為的外接圓面積為，即，，由正弦定理可得，即，.所以面積為.2．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.若D在線段BC上，且，.(1)求A；(2)求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，因為，所以.（2）由得，，所以.所以.所以.所以，當且僅當時等號成立.所以.所以.故面積的最大值.3．已知銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求的取值范圍；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：由及，得，整理得，即，所以，則，所以，由正弦定理得，因為為銳角三角形，且，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍是．解法二：由及，得，整理得，因為，所以由正弦定理得，整理得，因為，所以．取AC的中點D，連接BD，則，所以．因為為銳角三角形，且，所以，，所以，即的取值范圍是．（2）解法一：由C為銳角，且，得，由（1）知，，所以．所以的面積．解法二：由C為銳角，且，得．由（1）知，所以由余弦定理得，即，得，所以的面積．解法三：由C為銳角，且，得，由（1）知，所以，所以的面積.4．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足______．(1)求角C的大?。?2)若，求面積的最大值．注：若果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）方案一：選條件①．由，結(jié)合正弦定理，得，變形化簡．由于，所以，所以，因為，所以，故，因為，所以；方案二：選條件②．因為，所以，所以．由，得，所以，利用正弦定理，得，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，則；方案三：選條件③．由，結(jié)合正弦定理，整理得，由于，所以，故，因為，所以，故，因為，所以；（2）由，結(jié)合正弦定理，得，則．由（1）知，則由余弦定理得，又，所以，當且僅當時，等號成立，所以，故面積的最大值為．5．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若D是BC邊上一點，AD是的平分線，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由二倍角公式和誘導公式可得，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.（2）如圖所示，，D是BC邊上一點，AD是的平分線，且，，由于，則，得，又，所以，解得或（舍去），所以.6．在內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為已知(1)求角C的大小.(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由倍角公式知原式可化為即整理得：，即所以，故（2）由余弦定理和基本不等式可得：，即即當且僅當時，等號成立..即7．在中，角的對邊分別為，已知(1)求；(2)若求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，，所以，因為，所以，此時，所以，得，所以；（2）由（1）可知，，所以且為鈍角，由，可知，所以，由正弦定理可知，，所以，所以.8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面積