7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:復(fù)數(shù)的基本概念題型2：復(fù)數(shù)相等的充要條件題型3：虛數(shù)單位及其性質(zhì)題型4：求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部題型5：復(fù)數(shù)的分類題型6：復(fù)數(shù)中的比較大小題型7：已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)題型8：根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：實(shí)數(shù)系（1）實(shí)數(shù)系的分類(2)實(shí)數(shù)的性質(zhì)①實(shí)數(shù)對四則運(yùn)算是封閉的,即兩個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；②加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律,乘法對加法滿足分配律；③實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的概念（1）復(fù)數(shù)的引入為了解決這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無解的問題,設(shè)想引入一個(gè)新數(shù),使得是方程的解,即使得,并且可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,且原有的加法與乘法的運(yùn)算律仍成立.所以實(shí)數(shù)系經(jīng)過擴(kuò)充后得到的新數(shù)集是.（2）復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.（3）復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.知識(shí)點(diǎn)3：復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:復(fù)數(shù)的基本概念典型例題例題1．下列說法正確的是（

）A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個(gè)虛數(shù)B．的平方根是C．是純虛數(shù)D．若，則復(fù)數(shù)沒有虛部【答案】B【詳解】A：表示虛數(shù)單位，也是一個(gè)虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；B：由，可知的平方根是，故B正確；C：當(dāng)是實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D：若，則復(fù)數(shù)虛部為0，故D錯(cuò)誤；故選：B例題2．有下列說法：①兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的一個(gè)必要條件是它們的實(shí)部相等；②兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充分條件是它們的虛部不相等；③是一個(gè)復(fù)數(shù)；④純虛數(shù)的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一個(gè)，即為；⑥是一個(gè)無理數(shù)．其中正確的有________(填序號(hào))．【答案】①②③【詳解】若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部、虛部均相等，故①正確；若虛部不相等，則兩個(gè)復(fù)數(shù)一定不相等，故②正確；滿足形如的數(shù)均為復(fù)數(shù)，故③正確；純虛數(shù)的平方小于0，如，故④錯(cuò)誤；的平方根不止一個(gè)，因?yàn)?，故⑤錯(cuò)誤；是虛數(shù)，故⑥錯(cuò)誤．綜上可得，①②③正確．同類題型演練1．下列幾個(gè)命題：①兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的一個(gè)必要條件是它們的實(shí)部相等；②兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充分條件是它們的虛部不相等；③是一個(gè)復(fù)數(shù)；④虛數(shù)的平方不小于0；⑤-1的平方根只有一個(gè)，即為；⑥i是方程的一個(gè)根；⑦是一個(gè)無理數(shù)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】對①②，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部和虛部都對應(yīng)相等，故①②對；對③，形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，故③對；對④，由，④錯(cuò)；對⑤，-1的平方根為，故⑤錯(cuò)；對⑥，，故⑥對；對⑦，是一個(gè)純虛數(shù)、復(fù)數(shù)，不是無理數(shù)、實(shí)數(shù)，故⑦錯(cuò)；綜上，命題①②③⑥對，④⑤⑦錯(cuò)．故選：B2．請寫出一個(gè)能夠說明“若復(fù)數(shù)，則”是假命題的復(fù)數(shù)：______．【答案】i（答案不唯一，符合（，且）即可）．【詳解】若，（，且），則，但，故“若復(fù)數(shù)，則”是假命題.故答案為：i（答案不唯一）.題型2：復(fù)數(shù)相等的充要條件典型例題例題1．若，是虛數(shù)單位，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，，即，，所以．故選：D．例題2．已知復(fù)數(shù)，且，則______．【答案】或【詳解】由題知，復(fù)數(shù)，且，因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故答案為：或同類題型演練1．若，其中，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，故，故?fù)數(shù)的虛部為2，故選：D2．若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?故選：C題型3：虛數(shù)單位及其性質(zhì)典型例題例題1．下列的取值中，使=1(是虛數(shù)單位）的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?故選C.例題2．設(shè)復(fù)數(shù)=（

）A． B． C．1 D．-1【答案】D【詳解】.故選：D例題3．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，則z的虛部6，故選：D.例題4．計(jì)算：______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，，，又，所以是以為周期，且每個(gè)周期內(nèi)的和為，又，所以.故答案為：.同類題型演練1．復(fù)數(shù)（

）A．1+2i B．1-2i C．-1 D．3【答案】C【詳解】故選：C.2．若復(fù)數(shù)，則z的虛部是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，所以?fù)數(shù)z的虛部是.故選：A.3．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．i C．1-i D．0【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)題意，,故可知答案為0，選D.4．虛數(shù)單位：它的平方等于_______.【答案】【詳解】根據(jù)虛數(shù)單位的定義，可得.故答案為：題型4：求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部典型例題例題1．的實(shí)部等于3，虛部等于()【答案】錯(cuò)誤【詳解】的虛部是4.故答案為;錯(cuò)誤.例題2．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的虛部為____．【答案】【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可知復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為:.例題3．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為和4，則實(shí)數(shù)和的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為和4，因此，解得，所以實(shí)數(shù)和的值分別是.故選：D同類題型演練1．若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，則b的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，得，即．故選：A2．已知x，，若（i為虛數(shù)單位），則x的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】，∴，∴，∴．故選：D3．復(fù)數(shù)的虛部為___________.【答案】4【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可得復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：題型5：復(fù)數(shù)的分類典型例題例題1．“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（

）A．必要非充分條件 B．充分非必要條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【詳解】由純虛數(shù)的概念可知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則且，故“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：B例題2．在，，，，，0，，中，是實(shí)數(shù)的有__________；是虛數(shù)的有__________；是純虛數(shù)的有__________.【答案】

，0，

2i，i，i，i，i，i

2i，i，i，i【詳解】解：在，2i，i，i，i，0，i，i中，是實(shí)數(shù)的有，0；是虛數(shù)的有2i，i，i，i，i，i是純虛數(shù)的有2i，i，i，i故答案為：，0；2i，i，i，i，i，i；2i，i，i，i例題3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(其中)．（1）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值.【答案】（1）或4；（2）.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，所以，所以或4．（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，所以.例題4．求實(shí)數(shù)的值，使得復(fù)數(shù)分別是：(1)實(shí)數(shù)；(2)純虛數(shù)．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由題知，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，即或，所以當(dāng)或時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).（2）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，即，唯一滿足此條件的的值是，所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).同類題型演練1．若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A．0或2 B．2或 C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得；故選：C.2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．－2 C． D．4【答案】A【詳解】解：由是純虛數(shù)，得，解得．故選：A.3．實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)分別是：(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？【答案】(1)或(2)且(3)(1)當(dāng)，即或時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)，即且時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；(3)當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．4．已知復(fù)數(shù).(1)若復(fù)數(shù)是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2)1.(1)因?yàn)槭翘摂?shù)，所以，解得，(2)因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.題型6：復(fù)數(shù)中的比較大小典型例題例題1．判斷下列說法是否正確．(1)大于；(2)若復(fù)數(shù)，則，一定都是實(shí)數(shù)．【答案】(1)×；(2)√.(1)和無法比較，故說法錯(cuò)誤；(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)無法比較，所以當(dāng)時(shí)，必然都為實(shí)數(shù)，故說法正確.例題2．若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】4【詳解】由題意，可得.故答案為：4例題3．已知(是虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】【詳解】依題意，所以，，解得.故答案為：例題4．若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】由題意知，可得，解得，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)滿足，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍.同類題型演練1．已知z1，z2為復(fù)數(shù)．若命題p：z1-z2＞0，命題q：z1＞z2，則p是q成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】設(shè)，，若，則，，若，則，，滿足，若，則不能比較大小；若，則，，故，綜上：p是q成立的必要不充分條件.故選：B2．如果則實(shí)數(shù)m的值為________．【答案】2【詳解】由題意得，解得．故答案為：23．若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】3【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以為實(shí)數(shù)，可得解得所以實(shí)數(shù)的值為，故答案為：題型7：已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)典型例題例題1．若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．2 C． D．【答案】C【詳解】令，得，時(shí)，，所以.故選：C.例題2．當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)i是實(shí)數(shù)、純虛數(shù)、虛數(shù)？【答案】時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)；或時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；且時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù).【詳解】解：當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，解得，所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)；當(dāng)且，且時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，由，得或，由，且得且，所以當(dāng)或，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)，解得且，所以當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)，綜上，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)；或時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；且時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)例題3．當(dāng)實(shí)數(shù)分別為何值時(shí)，(1)復(fù)數(shù)是：實(shí)數(shù)？虛數(shù)？(2)復(fù)數(shù)純虛數(shù)？【答案】(1)當(dāng)或時(shí)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，當(dāng)且時(shí)復(fù)數(shù)為虛數(shù)(2)當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)(1)若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則∴

或，若復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則∴

且，(2)若復(fù)數(shù)純虛數(shù)，則且，由可得或，又時(shí)不存在，時(shí)，所以.同類題型演練1．已知為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或0【答案】A【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.故選：A.2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．0 C．1 D．1或1【答案】C【詳解】由已知得，解得,故選：C3．實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)？【答案】(1)(2)且(3)或【詳解】（1）由題意知，∴當(dāng)a=5時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).（2）由題意知，且∴當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).（3）由題意知，或∴當(dāng)或時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).4．若復(fù)數(shù)a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則_________，z的虛部為_________．【答案】

3

6【詳解】因a為實(shí)數(shù)，而復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有，解得，則，z的虛部為6．故答案為：3；6題型8：根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)典型例題例題1．已知，其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，則=（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【詳解】，，，.故選：A.例題2．已知，且，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【詳解】由于，所以.故選：C例題3．已知，，其中均為實(shí)數(shù)，且，求.【答案】或【詳解】，，解得：或.同類題型演練1．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a2＋b2＝（

）A．0 B．2C．5 D．1【答案】D【詳解】由，得解得所以a2＋b2＝1．故選：D2．已知，則______.【答案】1【詳解】因?yàn)椋?，所以解?所以故答案為：3．若，則實(shí)數(shù)_________．【答案】.【詳解】由已知得,解得,故答案為：.三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.2．已知，若是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A．－1或1 B．0 C．－1 D．0或1【答案】C【詳解】是純虛數(shù)，且，解得，故選：C3．已知，其中x，y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】由題意得，所以，得，所以.故選：A4．設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A．

B．

C．