9.1.2分層隨機抽樣+9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:分層隨機抽樣概念的理解及應(yīng)用題型2：分層隨機抽樣中的相關(guān)運算題型3：分層隨機抽樣的概率題型4：分層隨機抽樣的方案設(shè)計題型5：分層隨機抽樣的平均數(shù)題型6：兩種抽樣方法的選取及綜合應(yīng)用題型7：普查與抽樣及其合理選擇題型8：總體與樣本三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：分層隨機抽樣的概念及特點（1）分層隨機抽樣的概念一般地，按一個或多個變量把總體劃分為若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個字總體中獨立地進(jìn)行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.（2）分層隨機抽樣的特點①從分層隨機抽樣的定義可看出，分層隨機抽樣適用于總體由差異明顯的幾個部分組成的情況.②分層隨機抽樣是等可能抽樣.用分層隨機抽樣從個體數(shù)為的總體中抽取一個容量為的樣本時，在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性相等，都等于.③分層隨機抽樣是建立在簡單隨機抽樣的基礎(chǔ)之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表注，更能充分反映總體的情況，在實踐中的應(yīng)用也更廣泛.（3）對分層抽樣的“層”的理解在分層抽樣中，將具有某種共同特征的對象歸為同一層，不同層之間的對象要有明顯的差異，并且這些特征的差異應(yīng)該是對所研究的問題有影響的例如，要從某中學(xué)抽取一些學(xué)生構(gòu)成一個樣本，如果研究他們的視力情況，那么應(yīng)該按照年齡分層，或按照年級分層，都是合理的分層方式；但如果按照性別分層，就不合適了，因為性別對視力的影響可能是很小的，如果研究他們對籃球運動的興趣，那么按照性別分層就比按年齡或年級分層會更合理在實際中，對于一些復(fù)雜的問題，可能還需要對層內(nèi)再進(jìn)一步細(xì)分層.知識點2：分層隨機抽樣的步驟①根據(jù)己經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不相交的層；②根據(jù)總體中的個體數(shù)和樣本量計算抽樣比；③確定第層應(yīng)該抽取的個體數(shù)目（為第層所包含的個體數(shù)），使得各之和為；④在各個層中，按步驟③中確定的數(shù)目在各層中隨機抽取個體，合在一起得到容量為的樣本.知識點3：簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)總體由差異明顯的幾部分組成知識點4：分層隨機抽樣的平均數(shù)在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為和，抽取的樣本量分別為和.我們用QUOTE表示第1層各個個體的變量值，用QUOTE表示第1層樣本的各個個體的變量值；用QUOTE表示第2層各個個體的變量值，用QUOTE表示第2層樣本的各個個體的變量值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為.第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為.總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為.由于用第1層的樣本平均數(shù)QUOTE??可以估計第1層的總體平均數(shù)QUOTE??，用第2層的樣本平均數(shù)QUOTE??可以估計第2層的總體平均數(shù)QUOTE??，因此可以用.知識點5：獲取數(shù)據(jù)的途徑在實際統(tǒng)計調(diào)查中，一般先要確定調(diào)查的目的、對象，即統(tǒng)計調(diào)查要解決的問題和需要調(diào)查的總體；還要確定好調(diào)查的項目，也就是要統(tǒng)計的變量.接下來就開始收集數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)的基本途徑如下：（1）通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)設(shè)計調(diào)查問卷：調(diào)查問卷一般由一組有目的、有系統(tǒng)、有順序的題目組成.問題由調(diào)查人員根據(jù)調(diào)查的目的、項目進(jìn)行設(shè)計設(shè)計調(diào)查問卷的注意事項：①問題要具體，有針對性，使受調(diào)查者能夠容易作答.②語言簡單、準(zhǔn)確，含義清楚，避免出現(xiàn)有歧義或意思含混的句子③題目不能出現(xiàn)引導(dǎo)受調(diào)查者答題傾向的語句④設(shè)計問題時要注意“如何得到敏感性問題的誠實回答”.（2）通過試驗獲取數(shù)據(jù)根據(jù)調(diào)查項目的要求設(shè)計一些合適的試驗，能夠直接地獲得樣本數(shù)據(jù).試驗時要注意準(zhǔn)備好試驗用具（或組織好觀測的對象)、指定專門的記錄人員等.做試驗通常能得到可靠的數(shù)據(jù)資料，但需花費的人力、物力、時間較多，有時帶有破壞性.（3）通過觀察獲取數(shù)據(jù)對于有些現(xiàn)象，不能用試驗或者抽樣等方法來獲取數(shù)據(jù)，只能通過長久持續(xù)的觀察獲取，主要是一些自然現(xiàn)象，如地震、降水、大氣污染、宇宙射線等.一般地，通過觀察自然現(xiàn)象所獲取的數(shù)據(jù)性質(zhì)比較復(fù)雜，其中蘊含著所觀察現(xiàn)象的本質(zhì)信息，需要通過統(tǒng)計學(xué)理論和方法來挖掘.（4）通過查詢獲得數(shù)據(jù)有些數(shù)據(jù)資料不容易直接調(diào)查得到，這時可以通過查閱統(tǒng)計年鑒、圖書館文獻(xiàn)等方法獲得所需或相關(guān)的數(shù)據(jù)，比如全國歷次人口普查的數(shù)據(jù)都可以在統(tǒng)計年鑒中查閱到；還可以通過互聯(lián)網(wǎng)上的資源得到數(shù)據(jù)資料.二、重點題型分類研究題型1:分層隨機抽樣概念的理解及應(yīng)用典型例題例題1．某公司有160名員工，其中研發(fā)部120名，銷售部16名，客服部24名，為調(diào)查他們的收入情況，從中抽取一個容量為20的樣本，較為合適的抽樣方法是（

）A．簡單隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣 D．其他抽樣【答案】C【詳解】由題意員工來自三個不同的部門，因此采取分層抽樣方法較合適．故選：C．例題2．簡單隨機抽樣、分層抽樣之間的共同點是在抽樣的過程中（

）A．每個個體被抽到的可能性相同B．把總體分成幾部分，按事先預(yù)定的規(guī)則在各部分中抽取C．將總體分成幾層，按比例分層抽取D．都可以把抽取到的樣品放回后，繼續(xù)抽取【答案】A【詳解】由簡單隨機抽樣、分層抽樣的特點知：簡單隨機抽樣、分層抽樣之間的共同點是在抽樣的過程中每個個體被抽到的可能性相同，故選：A例題3．某校有700名高一學(xué)生，400名高二學(xué)生，400名高三學(xué)生，高一數(shù)學(xué)興趣小組欲采用按比例分配的分層抽樣的方法在全校抽取15名學(xué)生進(jìn)行某項調(diào)查，則下列說法正確的是（

）A．高三每一個學(xué)生被抽到的概率最大 B．高三每一個學(xué)生被抽到的概率最小C．高一每一個學(xué)生被抽到的概率最大 D．每位學(xué)生被抽到的概率相等【答案】D【詳解】由題意知，抽樣比例為，所以15人中，高一要抽7人，高二要4人，高三要4人，故高一每位學(xué)生被抽到的概率為，高二每位學(xué)生被抽到的概率為，高三每位學(xué)生被抽到的概率為，在比例分配的分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的概率相等，故每位學(xué)生被抽到的概率相等.故選：D例題4．（多選）某中學(xué)高一年級有20個班，每班50人；高二年級有30個班，每班45人．甲就讀于高一，乙就讀于高二，學(xué)校計劃從這兩個年級中共抽取235人進(jìn)行視力調(diào)查，下列說法中正確的有（

）A．應(yīng)該采用分層抽樣法抽取B．高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人C．乙被抽到的可能性比甲大D．該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力【答案】ABD【詳解】易知應(yīng)采用分層抽樣法抽取，A正確；由題意可得高一年級的人數(shù)為，高二年級的人數(shù)為，則高一年級應(yīng)抽取的人數(shù)為，高二年級應(yīng)抽取的人數(shù)為，所以高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人，故B正確；乙被抽到的可能性與甲一樣大，故C錯誤；該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力，故D正確．故選：ABD.同類題型演練1．某學(xué)校為了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．簡單隨機抽樣C．分層隨機抽樣 D．隨機數(shù)法【答案】C【詳解】解：為了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，由于差異比較明顯，所以采用分層抽樣法比較合理．故選：C．2．（多選）某班有男生20人，女生30人，從中抽出10人為樣本，恰好抽到了4名男生和6名女生，那么下面說法正確的是（

）A．該抽樣可能是比例分配的分層隨機抽樣B．該抽樣一定不是用隨機數(shù)法C．該抽樣中每個女生被抽到的概率大于每個男生被抽到的概率D．該抽樣中每個女生被抽到的概率與每個男生被抽到的概率相等【答案】AD【詳解】對于A，抽樣可以是比例分配的分層隨機抽樣，也可以是系統(tǒng)抽樣、簡單的隨機抽樣，故A正確；對于B，抽樣可以是比例分配的分層隨機抽樣，也可以是系統(tǒng)抽樣、簡單的隨機抽樣，所以可以用隨機數(shù)法，故B不正確；對于C、D，根據(jù)抽樣的等可能性可知，選項C不正確、D正確；故選：AD.3．某校要從高一、高二、高三共2023名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)，若先用簡單隨機抽樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，再從剩下的2000名學(xué)生中按分層隨機抽樣的方法抽取50名，則每名學(xué)生入選的可能性___________.【答案】【詳解】先用簡單隨機抽樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，每各個體被抽到的概率相等，再從剩下的2000名學(xué)生中按分層隨機抽樣的方法抽取50名，則每名學(xué)生入選的可能性為故答案為:4．某集團(tuán)有老年職工270人，中年職工540人，青年職工810人．為了更好地調(diào)查他們的健康情況，需從所有職工中抽取一個容量為36的樣本，應(yīng)采用的抽樣方法是______．（用“簡單隨機抽樣”或“分層抽樣”填空）【答案】分層抽樣【詳解】由于所有職工由三類不同年齡段的人群構(gòu)成，所以存在著較為明顯的差異，故選擇分層抽樣.故答案為：分層抽樣題型2：分層隨機抽樣中的相關(guān)運算典型例題例題1．某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為300，200，400，為了了解學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，該校采用分層抽樣的方法，從這三個年級中抽取18名學(xué)生進(jìn)行座談，則高一、高二、高三年級抽取人數(shù)分別是（）A．6,4,8 B．6，6，6 C．5，6，7 D．4，6，8【答案】A【詳解】某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為300，200，400，該校采用分層抽樣的方法，從這三個年級中抽取18名學(xué)生進(jìn)行座談，則高一年級抽取人數(shù)是：186，高二年級抽取人數(shù)是：184，高三年級抽取人數(shù)是：188．故選:A．例題2．某高中有三個年級，其中高一學(xué)生900人，高二學(xué)生860人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的視力情況，在抽取的樣本中有高二學(xué)生43人、高三學(xué)生39人，則該高中的學(xué)生總?cè)藬?shù)應(yīng)為（

）A．2600 B．2580 C．2540 D．2500【答案】C【詳解】設(shè)高三有人，高二學(xué)生860人，在抽取的樣本中有高二學(xué)生43人、高三學(xué)生39人，根據(jù)分層抽樣的特點可得：，得所以該高中的學(xué)生總?cè)藬?shù)應(yīng)為故選：C例題3．某單位有2000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門中的人數(shù)情況如表中所示：管理技術(shù)開發(fā)營銷生產(chǎn)總計老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200總計16032048010402000(1)若要抽取40人調(diào)查身體狀況，則應(yīng)怎樣抽樣？(2)若要開一個有25人參與的討論單位發(fā)展與薪金調(diào)整方案的座談會，則應(yīng)怎樣抽取出席人？【答案】(1)用分層隨機抽樣法，并按老年4（人），中年12（人），青年24（人）抽取(2)用分層隨機抽樣法，并按管理2（人），技術(shù)開發(fā)4（人），營銷6（人），生產(chǎn)13（人）抽?。?）用分層隨機抽樣法，并按老年（人），中年（人），青年（人）抽取．（2）用分層隨機抽樣法，并按管理（人），技術(shù)開發(fā)（人），營銷（人），生產(chǎn)（人）抽取．例題4．一汽車廠生產(chǎn)、、三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表所示（單位：輛）：轎車轎車轎車舒適型100150標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛．(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個容量為5的樣本，應(yīng)如何抽??？【答案】(1)400；(2)抽取2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車.(1)設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車n輛，依題意，得，解得n=2000，則z=2000-100-300-150-450-600=400，所以z的值是400.(2)設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車，因用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，則，解得m＝2，所以在C類轎車中抽取2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．同類題型演練1．某校高中三個年級共有學(xué)生2400人，其中高一年級有學(xué)生800人，高二年級有學(xué)生700人．為了了解學(xué)生參加整本書閱讀活動的情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為240的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為_____________．【答案】90【詳解】由題意可得高三年級有學(xué)生人，抽取容量為240的樣本進(jìn)行調(diào)查，那么在高三年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故答案為:.2．某學(xué)校志愿者協(xié)會有高一年級120人，高二年級100人，高三年級20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，若從高二年級100人中抽取的人數(shù)為10，則___________；【答案】24【詳解】由題意，，可得.故答案為：243．某校高中部有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生480人，高三學(xué)生420人．某研究小組為了調(diào)查該校高中部不同年級學(xué)生課后作業(yè)量的情況，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法在三個年級共抽取100名學(xué)生，應(yīng)抽取高一學(xué)生的人數(shù)為多少？【答案】40【詳解】解：應(yīng)抽取高一學(xué)生的人數(shù)為

.4．某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加其中一組．在參加活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占37.5%，老年人占20%．登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的三分之一，且該組中，青年人占50%，中年人占30%，老年人占20%．為了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的整體滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本．試確定：(1)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；(2)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)．【答案】(1)31∶33∶16；(2)青年人52人，中年人55人，老年人27人.(1)登山組人數(shù)占參加活動總?cè)藬?shù)的，則游泳組人數(shù)占參加活動總?cè)藬?shù)的，登山組中，青年人，中年人，老年人占總?cè)藬?shù)的比例分別為：，，，所以游泳組中，青年人，中年人，老年人占總?cè)藬?shù)的比例分別為：，，，所以游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例為(2)由（1）知：游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例為31∶33∶16，游泳組人數(shù)占參加活動總?cè)藬?shù)的，故游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)為，，，所以游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)為52,55,27.題型3：分層隨機抽樣的概率典型例題例題1．某校要從高一、高二、高三共2023名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)，若先用簡單隨機抽樣的方法從2023名學(xué)生中剔除23名，再從剩下的2000名學(xué)生中按分層隨機抽樣的方法抽取50名，則每名學(xué)生入選的可能性（

）A．都相等且為 B．都相等且為C．不完全相等 D．均不相等【答案】A【詳解】根據(jù)簡單隨機抽樣及分層隨機抽樣的定義可得，每個個體被抽到的概率都相等，所以每個個體被抽到的概率都等于故選：A.例題2．在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，從中抽取容量為20的一個樣本，則每個個體被抽到的可能性為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)抽樣的概念知，在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是均等的，所以每個個體被抽到的可能性為故選：D.例題3．一個總體分為，兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．已知層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中的個體數(shù)為_______．【答案】120【詳解】解：∵用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．由B層中每個個體被抽到的概率都為112，知道在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是1/12，∴總體中的個體數(shù)為10÷1/12=120．例題4．重慶一中高一，高二，高三的模聯(lián)社團(tuán)的人數(shù)分別為25，15，10，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取部分學(xué)生參加模聯(lián)會議，已知在高二年級和高三年級中共抽取5名同學(xué)，若從這5名同學(xué)中再隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)文件翻譯工作，則抽取的兩名同學(xué)來自同一年級的概率為__________.【答案】【詳解】解：高二高三抽取人數(shù)之比為，所以5名同學(xué)中高二有3人，高三有2人，設(shè)高二3人為，高三2人為，則隨機抽取2名同學(xué)的可能有共十種可能，其中抽取的兩名同學(xué)來自同一年級的有四種可能，則抽取的兩名同學(xué)來自同一年級的概率為,故答案為:.同類題型演練1．某地區(qū)高中分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生2000人，B類學(xué)校共有學(xué)生3000人，C類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學(xué)校中的學(xué)生甲被抽到的概率（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】所有學(xué)生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D2．從一個容量為（，）的總體中抽取一個容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是，則選取分層隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】隨機抽樣每個個體被抽到的概率相等，選取分層抽樣抽取樣本時總體中每個個體被抽中的概率仍為故選：D3．為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校組織了一次“學(xué)黨史、強信念、跟黨走”主題競賽活動.活動要求把該學(xué)校教師按年齡分為35歲以下，歲，45歲及其以上三個大組.用分層抽樣的方法從三個大組中抽取一個容量為10的樣本，組成答題團(tuán)隊，已知歲組中每位教師被抽到的概率為，則該學(xué)校共有教師（）人A．120 B．180 C．240 D．無法確定【答案】C【詳解】因為在抽樣過程中，每位教師被抽到的概率都相等，所以該學(xué)校共有教師人.故選：C.4．一個總體分為兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為的樣本．已知層中每個個體被抽到的概率都是，則總體中的個體數(shù)為________．【答案】【詳解】因為用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為的樣本．由層中每個個體被抽到的概率都為，知道在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是，所以總體中的個體數(shù)為．故答案為：.題型4：分層隨機抽樣的方案設(shè)計典型例題例題1．某家電視臺在因特網(wǎng)上征集某電視節(jié)目現(xiàn)場參與的觀眾，報名的總?cè)藬?shù)為12000人，分別來自4個城區(qū)，其中區(qū)2400人，區(qū)4600人，區(qū)3800人，區(qū)1200人，從中抽取60人參加現(xiàn)場的節(jié)目，應(yīng)當(dāng)如何抽?。繉懗龀槿∵^程．【答案】采用分層抽樣的方式抽取參加現(xiàn)場節(jié)目的觀眾，過程見解析【詳解】解：采用分層抽樣的方式抽取參加現(xiàn)場節(jié)目的觀眾，步驟如下：第一步：分層．按城區(qū)分為四層：A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)、D區(qū)．第二步：確定每個個體被抽到的概率．樣本容量，總體容量，故每個個體被抽到的概率為．第三步：按比例確定每層抽取的個體數(shù)．在A區(qū)抽取（人），在B區(qū)抽?。ㄈ耍?，在C區(qū)抽?。ㄈ耍?，在D區(qū)抽取（人）．第四步：在各層分別用簡單隨機抽樣法抽取樣本，將各區(qū)抽取的觀眾合在一起組成樣本．例題2．某中學(xué)舉行了體育運動會，同時進(jìn)行了全校精神文明擂臺賽，為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別對全校500名教職工、3000名初中生、4000名高中生進(jìn)行問卷調(diào)查．(1)如果要在所有問卷中抽出120份用于評估，請說明如何抽取才能得到比較客觀的評估結(jié)論，并寫出抽樣過程．(2)要從3000份初中生的問卷中抽取一個容量為48的樣本，如果采用簡單隨機抽樣，應(yīng)選什么方法？請說明理由．【答案】(1)采取分層抽樣的方法，過程見解析；(2)采用隨機數(shù)法，理由見解析（1）由于總體容量較大，這次活動對教職工、初中生、高中生產(chǎn)生的影響差異較大，故采取分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣才能得到比較客觀的評估結(jié)論．因為樣本容量為120，總體容量為，則抽樣比為，，，，所以在教職工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64．分層抽樣的步驟如下：①分層：分為教職工、初中生、高中生，共三層；②確定每層抽取個體的個數(shù)：在教職工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64；③各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本；④綜合每層抽取的個體，組成樣本．這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評估結(jié)論；（2）簡單隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)法．若用抽簽法，則要做3000個號簽，費時費力，因此應(yīng)采用隨機數(shù)法抽取樣本．同類題型演練1．某地區(qū)的高中生24000人，初中生10900人，小學(xué)生11000人．此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的中小學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣抽取樣本？【答案】答案見解析【詳解】解：按學(xué)段分為三層，根據(jù)分層抽樣，應(yīng)當(dāng)滿足，其中，，，故而，，，即抽取高中學(xué)段人，初中學(xué)段人，小學(xué)學(xué)段人，在每個學(xué)段內(nèi)部可以用簡單隨機抽樣．2．中學(xué)高一年級的500名同學(xué)中有218名女生，在調(diào)查全年級同學(xué)的平均身高時，預(yù)備抽樣調(diào)查50名同學(xué).(1)設(shè)計一個合理的分層抽樣方案.(2)你的設(shè)計中，第一層和第二層分別是什么？(3)分層抽樣是否在得到全年級同學(xué)平均身高的估計時，還分別得到了男生和女生的平均身高的估計？(1)因為男生、女生身高有差異性，故按男生、女生在總?cè)藬?shù)中所占比例采取分層抽樣.因為500名同學(xué)中有218名女生，故女生抽取人數(shù)為人；500名同學(xué)中有282名男生故男生抽取人數(shù)為人.然后測量這50人的身高數(shù)據(jù)，從而得到50人的身高數(shù)據(jù)樣本.(2)第一層為總體500名學(xué)生中的所有女生的身高數(shù)據(jù)，第二層為總體500名學(xué)生中的所有男生的身高數(shù)據(jù).(3)是的，可以用男、女生身高數(shù)據(jù)之和除以各自樣本中的人數(shù)，得到男、女生平均身高的估計值.題型5：分層隨機抽樣的平均數(shù)典型例題例題1．某中學(xué)高一年級有女生380人，男生420人，學(xué)校想通過抽樣的方法估計高一年級全體學(xué)生的平均體重．學(xué)校從女生和男生中抽取的樣本分別為40和80，經(jīng)計算這40個女生的平均體重為49kg，80個男生的平均體重為57kg，依據(jù)以上條件，估計高一年級全體學(xué)生的平均體重最合理的計算方法為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】用女生樣本的平均體重49kg估計女生總體的平均體重，用男生樣本的平均體重57kg估計男生總體的平均體重，按女生和男生在總?cè)藬?shù)中的比例計算總體的平均體重，所以D選項最合理.故選：D．同類題型演練1．高一某班有男生28人，女生21人，現(xiàn)用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從該班全體同學(xué)中抽取出一個容量為7的樣本，已知抽出的男生的平均身高為，抽出的女生的平均身高為，估計班全體同學(xué)的平均身高是__________．【答案】170【詳解】根據(jù)題意，抽出來的男生人數(shù)，女生人數(shù)所以全體同學(xué)平均身高為故答案為:170題型6：兩種抽樣方法的選取及綜合應(yīng)用典型例題例題1．現(xiàn)要完成下列項抽樣調(diào)查：①從盒餅干中抽取盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某中學(xué)共有名教職工，其中一般教師名，行政人員名，后勤人員名，為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為的樣本，較為合理的抽樣方法是（

）A．①簡單隨機抽樣，②分層抽樣B．①簡單隨機抽樣，②簡單隨機抽樣C．①分層抽樣，②分層抽樣D．①分層抽樣，②簡單隨機抽樣【答案】A【詳解】①總體中的個體數(shù)較少，宜用簡單隨機抽樣；②總體是由差異明顯的幾部分組成，宜用分層抽樣．故選：A.例題2．①某班數(shù)學(xué)期中考試有14人在120分以上，35人在90~119分，7人不及格，現(xiàn)從中抽出8人研討進(jìn)一步改進(jìn)教與學(xué)；②高一某班級春節(jié)聚會，要產(chǎn)生兩位“幸運者”．上述兩件事，合適的抽樣方法分別為（

）A．分層抽樣，簡單隨機抽樣 B．簡單隨機抽樣，分層抽樣C．簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣 D．分層抽樣，分層抽樣【答案】A【詳解】①由于學(xué)生的成績是差異比較大的幾部分，應(yīng)用分層抽樣．②由于總體與樣本容量較小，應(yīng)用簡單隨機抽樣．故選：A例題3．現(xiàn)要完成下列兩項抽樣調(diào)查：①從20罐奶粉中抽取4罐進(jìn)行食品安全衛(wèi)生檢查；②從某社區(qū)100戶高收入家庭，270戶中等收入家庭，80戶低收入家庭中選出45戶進(jìn)行消費水平調(diào)查.較為合理的抽樣方法是（

）A．①簡單隨機抽樣，②簡單隨機抽樣 B．①分層隨機抽樣，②分層隨機抽樣C．①分層隨機抽樣，②簡單隨機抽樣 D．①簡單隨機抽樣，②分層隨機抽樣【答案】D【詳解】①中個體數(shù)量較少，且個體間無明顯差異，故采用簡單隨機抽樣；②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消費水平差異明顯，故采用分層隨機抽樣.故選：D.例題4．（多選）對下面三個事件最適宜采用的抽樣方法判斷正確的有（

）①從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗；②一次數(shù)學(xué)競賽中，某班有10人的成績在110分以上，40人的成績在90～110分，10人的成績低于90分，現(xiàn)在從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況；③運動會服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道．A．①②適宜采用分層抽樣 B．②③適宜采用分層抽樣C．②適宜采用分層抽樣 D．③適宜采用簡單隨機抽樣【答案】CD【詳解】對于①，從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗，不滿足分層抽樣的條件，且樣本容量比較大，適合采用等距抽樣；對于②，總體由差異明顯且互不重疊的幾部分組成，若要從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況，適合采用分層抽樣的方法；對于③，運動會服務(wù)人員為參加決賽的6名同學(xué)安排跑道，具有隨機性，且樣本容量小，適合用簡單隨機抽樣．故A，B錯誤.故選：CD.同類題型演練1．①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有10人的成績在100分以上，32人的成績在90~100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)情況；②運動會的工作人員從參加接力賽的6支隊伍中抽取1支接受采訪．針對這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（

）A．分層隨機抽樣，簡單隨機抽樣B．簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣C．簡單隨機抽樣，分層隨機抽樣D．分層隨機抽樣，分層隨機抽樣【答案】A【詳解】一次數(shù)學(xué)考試中，某班有10人的成績在100分以上，32人的成績在90~100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)情況.為更加了解各層次的學(xué)生成績，應(yīng)選擇分層隨機抽樣；運動會的工作人員從參加接力賽的6支隊伍中抽取1支接受采訪．可采用簡單隨機抽樣.故選:A.2．現(xiàn)有以下兩項調(diào)查：①從臺剛出廠的電視機中抽取臺進(jìn)行質(zhì)量檢查；②某社區(qū)有戶家庭，其中高收入家庭戶，中等收入家庭戶，低收入家庭戶，為了調(diào)查家庭每年生活費的開支情況，計劃抽取一個容量為的樣本，則完成這兩項調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（

）A．①②都采用簡單隨機抽樣B．①②都采用分層隨機抽樣C．①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣D．①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣【答案】C【詳解】①的總體中的個體數(shù)較少，宜采用簡單隨機抽樣，②中1000戶家庭中收入存在較大差異，層次比較明顯，宜采用分層抽樣.故選：C3．要完成下列兩項調(diào)查：（1）某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查有關(guān)消費購買力的某項指標(biāo)；（2）從某中學(xué)高一年級的10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況；應(yīng)采用的抽樣方法分別是（

）A．（1）用簡單隨機抽樣，（2）用分層隨機抽樣 B．（1）（2）都用簡單隨機抽樣C．（1）用分層隨機抽樣，（2）用簡單隨機抽樣 D．（1）（2）都用分層隨機抽樣【答案】C【詳解】因為有關(guān)消費購買力的某項指標(biāo)受家庭收入的影響，而社區(qū)家庭收入差距明顯，所以①用分層抽樣；從10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況，個體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以②用簡單隨機抽樣.故選：C題型7：普查與抽樣及其合理選擇典型例題例題1．為了解某中學(xué)2500名學(xué)生家長對“騎電動車需戴頭盔”的態(tài)度，從中隨機調(diào)查400名家長，結(jié)果有380名家長持贊成態(tài)度，則下列說法正確的是（

）A．調(diào)查方式是全面調(diào)查 B．該校只有380名家長持贊成態(tài)度C．樣本是400 D．該校約有95%的家長持贊成態(tài)度【答案】D【詳解】A：調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，不是全面調(diào)查，故A錯；B：400名家長里有380名家長持贊成態(tài)度，按照比例推算，全校2500名學(xué)生家長中會有2375名家長持贊成態(tài)度，故B錯；C：樣本是400名家長對“騎電動車需戴頭盔”的態(tài)度，樣本容量是400，故C錯；D：該校約有：的家長持贊成態(tài)度，故D正確；故選：D.例題2．要調(diào)查下列問題，適合采用全面調(diào)查(普查)的是（

）A．中央電視臺《開學(xué)第一課》的收視率 B．某城市居民6月份人均網(wǎng)上購物的次數(shù)C．即將發(fā)射的氣象衛(wèi)星的零部件質(zhì)量 D．某品牌新能源汽車的最大續(xù)航里程【答案】C【詳解】普查的適用條件是：總體數(shù)量較小，調(diào)查的工作量較小時適用，而抽查的適用條件是：總體數(shù)量較大，調(diào)查的工作量較大時適用，故ABD選項的總體數(shù)量和工作量都較大，適用抽查；C選項總體數(shù)量較少，工作量較少適用普查.故選：C.例題3．（多選）下面問題可以用抽樣調(diào)查方法的是（

）A．武漢火神山醫(yī)院供應(yīng)庫房工作人員對新入庫的10萬只一次性醫(yī)用口罩進(jìn)行質(zhì)檢B．中國銀行臨沂蘭山支行對某公司100萬元存款的現(xiàn)鈔的真假檢驗C．空降兵戰(zhàn)士檢查20個傘包及傘的質(zhì)量D．某單位檢測新生產(chǎn)出來的一批電子器件的使用壽命【答案】AD【詳解】對于A，10萬只一次性醫(yī)用口罩?jǐn)?shù)量很大，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方法；對于B，100萬元存款的現(xiàn)鈔的真假檢驗必須普查，不能放過任何一張假鈔；對于C，傘包及傘的質(zhì)量決定戰(zhàn)士的生命，必須普查；對于D，檢測會對產(chǎn)品產(chǎn)生破壞，應(yīng)采取抽樣調(diào)查的方法.故選：AD.例題4．為了解某一網(wǎng)課的授課滿意度，在參與該課程的學(xué)員中進(jìn)行抽樣調(diào)查，調(diào)查表明非常滿意比例為56%，較滿意的比例為34%，不滿意的比例為10%．在該問題中，統(tǒng)計量是__________________．【答案】非常滿意的比例，較滿意的比例，不滿意的比例【詳解】根據(jù)調(diào)查的目的，可以得到統(tǒng)計量是：非常滿意的比例，較滿意的比例，不滿意的比例.故答案為：非常滿意的比例，較滿意的比例，不滿意的比例例題5．小王和小張計劃調(diào)查上海某地鐵站的擁擠程度．小王連續(xù)一個月每天上午8點至10點在地鐵站點觀察，并統(tǒng)計人數(shù)，這兩個小時中平均每小時進(jìn)站人數(shù)為3500人次，由此小王推斷該地鐵站嚴(yán)重?fù)頂D；小張連續(xù)5個周末在地鐵站觀察進(jìn)站人數(shù)，統(tǒng)計得到平均每小時進(jìn)站人數(shù)為500人次，由此他推斷該地鐵站不擁擠．你同意小王和小張的推斷嗎？【答案】不同意,理由見解析【詳解】不同意小王和小張的推斷．因為小王只統(tǒng)計了早高峰的時段，并不能反映出地鐵站的整體擁擠情況．小張只統(tǒng)計了周末非高峰的情況，所以也不能反映出地鐵站的整體擁擠情況．同類題型演練1．某植物種植商購進(jìn)了一批花的球根，從中隨機選取了200個球根種植，調(diào)查這批花的球根發(fā)芽情況，最后有4個不發(fā)芽．則下面說法正確的是（

）A．調(diào)查方式是普查B．樣本是200個球根C．這批花只有196個球根發(fā)芽D．這批花約有2%的球根不發(fā)芽【答案】D【詳解】A中調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，故A錯誤；B中樣本是200個球根的發(fā)芽情況，故B錯誤；C中是樣本的分布，是200個球根中有196個球根發(fā)芽，故C錯誤；D200個球根中有196個球根發(fā)芽，不發(fā)芽率為，即為2%，再由樣本估計總體，故D正確．故選：D.2．以下調(diào)查不適合用普查的是（

）A．調(diào)查某班學(xué)生每周課前預(yù)習(xí)的時間B．調(diào)查某中學(xué)在職教師的身體健康狀況C．調(diào)查全國中小學(xué)生課外閱讀情況D．調(diào)查某?；@球隊員的身高【答案】C【詳解】因為C中全國中小學(xué)生人數(shù)眾多，采用普查費時費力，所以不適合普查．A，B，D中的某班學(xué)生、某中學(xué)在職教師、某?；@球隊員人數(shù)不多，可進(jìn)行普查．故選：C．3．下列調(diào)查方式最合適的是（

）A．為了調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，采用普查的方式B．為了了解全國中學(xué)生每周體育鍛煉的時間，采用普查的方式C．為了調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)，采用抽樣調(diào)查的方式D．對載人飛船“神舟十四號”零部件的檢查，采用抽樣調(diào)查的方式【答案】C【詳解】調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，有破壞性，故用抽查方式，故A錯誤；了解全國中學(xué)生每周體育鍛煉的時間，工作量大，得用抽查方式，故B錯誤；為了調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)，工作量大，用抽查方式，故C正確；對載人航天器“神舟十四號”零部件的檢查十分重要，故進(jìn)行普查檢查，故D錯誤.故選：C4．下列各項調(diào)查中你認(rèn)為合理的有（

）①為了了解全校同學(xué)喜歡課程情況，對某班男同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查②“神舟十四號”飛船發(fā)射前，采用抽樣調(diào)查的方式檢查其各零部件的合格情況③采用抽樣調(diào)查的方式了解國內(nèi)外觀眾對電影《流浪地球》的觀影感受④為調(diào)查我市居民對“垃圾分類”有關(guān)內(nèi)容的了解程度，將要調(diào)查的問題放到某網(wǎng)站上，這樣大部分上網(wǎng)的人就可以看到調(diào)查問題并及時反饋A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【詳解】①了解全校同學(xué)喜歡課程情況，應(yīng)在各班進(jìn)行抽樣，同時不能僅限男同學(xué)，不合理；②“神舟十四號”飛船發(fā)射前，應(yīng)采用全面調(diào)查檢查其各零部件的合格情況，不合理；③了解國內(nèi)外觀眾對電影《流浪地球》的觀影感受，采用抽樣調(diào)查，合理；④對“垃圾分類”有關(guān)內(nèi)容的了解程度，問題放到某網(wǎng)站上，受調(diào)查人群有局限，不合理.故選：B5．要得到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)的貧困人口數(shù)據(jù)，應(yīng)采取的方法是（

）A．通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù) B．通過試驗獲取數(shù)據(jù)C．通過觀察獲取數(shù)據(jù) D．通過查詢獲得數(shù)據(jù)【答案】A【詳解】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)的貧困人口數(shù)據(jù)屬于有限總體問題，所以可以通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)．故選：A題型8：總體與樣本典型例題例題1．一百個高矮互不相同的士兵，排成一個十行十列的方陣.現(xiàn)在從每行中選出一個最高的，再從這些最高的中選出一個最矮的，其高度記為(高中矮)；然后從每列中選出一個最矮的，再從這個最矮的中間選出一個最高的，其高度記為(矮中高)，則（

）A．(高中矮)>矮中高) B．(高中矮)(矮中高)C．(高中矮)<(矮中高) D．(高中矮)(矮中高)【答案】B【詳解】當(dāng)高中矮者與矮中高者在同一列時，高中矮者與矮中高者是同一個人，所以h(高中矮)h(矮中高)；當(dāng)高中矮者與矮中高者不在同一列且在同一行且時，h(高中矮)h(矮中高)；當(dāng)高中矮者與矮中高者不在同一列且不在同一行時，高中矮者身高大于與高中矮者同行且與矮中高者同列的那個人的身高，而矮中高者身高又小于與高中矮者同行且與矮中高者同列的那個人的身高，所以h(高中矮)h(矮中高)；綜上所述：h(高中矮)h(矮中高)故選：B例題2．楊柳青一中期末考試后，為了分析高一年級520名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績單，就這個問題來說，下面說法中正確的是（

）A．520名學(xué)生是總體 B．每名學(xué)生是個體C．每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本 D．樣本的容量是100【答案】D【詳解】此題的總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，根據(jù)答案可得：選項A、B表達(dá)的對象都是學(xué)生，而不是成績，所以A、B都錯誤；每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績是一個個體，故C錯誤；樣本的容量是100，故D正確．故選：D．例題3．為了解某中學(xué)高一年級600名學(xué)生的身高情況，抽查了其中100名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計分析．下列敘述正確的是（

）A．以上調(diào)查屬于全面調(diào)查 B．每名學(xué)生是總體的一個個體C．100名學(xué)生的身高是總體的一個樣本 D．600名學(xué)生是總體【答案】C【詳解】A.以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故錯誤；B.每名學(xué)生的身高是總體的一個個體，故錯誤；C.100名學(xué)生的身高是總體的一個樣本，故正確；D.600名學(xué)生的身高是總體，故錯誤；故選：C例題4．“水能載舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得當(dāng)則有利，反之必有弊害.對于高中生上學(xué)是否應(yīng)該帶手機，有調(diào)查者進(jìn)行了如下的隨機調(diào)查：調(diào)查者向被調(diào)查者提出兩個問題：（1）你的編號是奇數(shù)嗎？（2）你上學(xué)時是否帶手機？學(xué)生在被調(diào)查時，先背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣（保證調(diào)查人員看不到硬幣的拋擲結(jié)果），如果正面向上，就回答第一個問題，否則就回答第二個問題.被調(diào)查的學(xué)生不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，由于只有被調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題，所以都如實地做了回答.某次調(diào)查活動共有800名高中生（編號從1至800）參與了調(diào)查，則回答為“不是”的人數(shù)的最大值是______.如果其中共有260人回答為“是”，則由此可以估計這800名學(xué)生中，上學(xué)帶手機的人數(shù)約為______.【答案】

800

120【詳解】解：∵某次調(diào)查活動共有800名高中生參與了調(diào)查，∴回答為“不是”的人數(shù)的最大值是800，∵擲一枚硬幣正面向上和反面向上的概率均為0.5，∴回答第一個問題和第二個問題的人數(shù)大約為400，而學(xué)號為奇數(shù)和偶數(shù)的概率均為0.5，則回答第一個問題的人中回答“是”的占200人，∵其中共有260人回答為“是”，∴在回答問題（2）的400人中，回答“是”人數(shù)為260-200=60，∴這800名學(xué)生中，上學(xué)帶手機的人數(shù)約為120，故答案為：800；120．同類題型演練1．為了解某中學(xué)2500名學(xué)生家長對“騎電動車需戴頭盔”的態(tài)度，從中隨機調(diào)查400名家長，結(jié)果有380名家長持贊成態(tài)度，則下列說法正確的是（

）A．調(diào)查方式是全面調(diào)查 B．該校只有380名家長持贊成態(tài)度C．樣本是400 D．該校約有95%的家長持贊成態(tài)度【答案】D【詳解】A：調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，不是全面調(diào)查，故A錯；B：400名家長里有380名家長持贊成態(tài)度，按照比例推算，全校2500名學(xué)生家長中會有2375名家長持贊成態(tài)度，故B錯；C：樣本是400名家長對“騎電動車需戴頭盔”的