10.1.3古典概型(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:寫出基本事件題型2:古典概型的判斷題型3:用列舉法求古典概型的概率題型4:有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率題型5:根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)題型6:古典概型與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：古典概型1.1古典概型的定義試驗(yàn)具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．1.2古典概型的判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有限性和等可能性．并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型．下列三類試驗(yàn)都不是古典概型：①樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限，但等可能．③樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限，也不等可能．知識(shí)點(diǎn)2：古典概型的概率計(jì)算公式2.1古典概型的概率計(jì)算公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．2.2古典概型的解題步驟求古典概型概率的步驟：（1）判斷試驗(yàn)的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）（2）確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)（3）確定所求事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)（4）用公式求出事件發(fā)生的概率.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:寫出基本事件典型例題例題1．連續(xù)擲一顆骰子兩次，事件“向上的點(diǎn)數(shù)之和為”相對(duì)應(yīng)的基本事件空間是____________________.【答案】【詳解】將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，基本事件總數(shù)，兩次點(diǎn)數(shù)之和為包含的基本事件有：故答案為：例題2．從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人構(gòu)成一組．(1)該活動(dòng)包含了多少個(gè)基本事件？【答案】(1)20個(gè)；【詳解】（1）4名男同學(xué)分別記為，2名女同學(xué)分別記為，選出的3人構(gòu)成的一組記為，表示一個(gè)基本事件，從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人的不同結(jié)果為：，，共20個(gè)，所以該活動(dòng)包含了20個(gè)基本事件.例題3．柜子里有雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)取出只，那么(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間．【答案】(1)【詳解】（1）記第雙鞋左右腳編號(hào)為，第雙鞋左右腳編號(hào)為，第雙鞋左右腳編號(hào)為，則樣本空間為.同類題型演練1．在口袋中有除了顏色其他都相同的黑球白球各一個(gè)，有放回的摸取三次，依次觀察摸出球的顏色，寫出該試驗(yàn)樣本空間．【答案】{黑黑黑，黑黑白，黑白黑，黑白白，白黑黑，白黑白，白白黑，白白白}【詳解】因?yàn)樵诳诖杏谐祟伾渌枷嗤暮谇虬浊蚋饕粋€(gè)，有放回的摸取三次，所以摸取三次的結(jié)果為：黑黑黑，黑黑白，黑白黑，黑白白，白黑黑，白黑白，白白黑，白白白，故該試驗(yàn)樣本空間為{黑黑黑，黑黑白，黑白黑，黑白白，白黑黑，白黑白，白白黑，白白白}.2．從甲?乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作(1)設(shè)5名同學(xué)為：甲?乙?，寫出這一事件的樣本空間；【詳解】（1）5名同學(xué)為：甲?乙?，從中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作這一事件的樣本空間為：{甲乙，甲乙，甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，}；3．從至的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取個(gè)不同的數(shù)．(1)寫出所有不同的取法；【詳解】（1）從至的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取個(gè)不同的數(shù)，共有以下種不同的取法，,,,,.題型2:古典概型的判斷典型例題例題1．下列試驗(yàn)是古典概型的是()A．口袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取一球，基本事件為“取中白球”和“取中黑球”B．在區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，使C．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶【答案】C【詳解】A選項(xiàng)中，兩個(gè)基本事件發(fā)生的可能性不同，故不是古典概型．B選項(xiàng)中，一次試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)，故不是古典概型．C選項(xiàng)滿足古典概型特征．D選項(xiàng)中，兩個(gè)基本事件發(fā)生的可能性可能不同，故不是古典概型．故選：C．例題2．下列是古典概型的是（

）①?gòu)?名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小；②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【詳解】①②④中的基本事件都是有限個(gè)，且每個(gè)基本事件都是等可能的，符合古典概型的定義和特點(diǎn)；③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄裕芏喾矫嬉蛩赜绊?故選：B.例題3．下列試驗(yàn)是古典概型的為_(kāi)_____．①?gòu)?名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小；②同時(shí)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．【答案】①②④【詳解】因?yàn)楣诺涓判托枰獫M足基本事件是有限個(gè)，且每個(gè)基本事件的概率相等，據(jù)此①②④均符合要求，③不滿足等可能的要求，因?yàn)榻涤晔芏喾矫嬉蛩赜绊?故答案為：①②④.同類題型演練1．下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（

）（1）從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；（2）從1～10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率；（3）在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求P剛好與點(diǎn)A重合的概率；（4）向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】第1個(gè)概率模型不是古典概型，因?yàn)閺膮^(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù)，有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所以不滿足“有限性”．第2個(gè)概率模型是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，而且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和等可能性；第3個(gè)概率模型不是古典概型，在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，不滿足“有限性”；第4個(gè)概率模型也不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆?，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等．故選：A.2．（多選）下列問(wèn)題中是古典概型的是（

）A．小楊種下一粒種子，求種子能長(zhǎng)出果實(shí)的概率B．從甲地到乙地共n條線路，且這n條線路長(zhǎng)短各不相同，求某人任選一條路線正好選中最短路線的概率C．在區(qū)間上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于2的概率D．同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率【答案】BD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，種子長(zhǎng)出果實(shí)，不長(zhǎng)出果實(shí)的發(fā)生不是等可能的，故A不是古典概型；對(duì)于C選項(xiàng)，在區(qū)間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè)，故C不是古典概型；對(duì)于B和D選項(xiàng)，其中樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的，且是有限個(gè)；故選：BD．3．（多選）下列概率模型不屬于古典概型的是（

）A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)B．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講C．一只使用中的燈泡的壽命長(zhǎng)短D．中秋節(jié)前夕，某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量，給該品牌月餅評(píng)“優(yōu)”或“差”【答案】ACD【詳解】由古典概型的特點(diǎn)：等可能性、有限性，A：基本事件是無(wú)限的，排除；C：每只燈泡壽命長(zhǎng)短具有不確定性，不符合等可能性，排除；D：月餅質(zhì)量評(píng)價(jià)有主觀性，不符合等可能性，排除；而B(niǎo)，每個(gè)人選到的可能性相等且總共有8個(gè)人，滿足古典概型的特征.故選：ACD4．在一次射擊比賽中，某人可能打中的環(huán)數(shù)是環(huán)到環(huán)（必定為整數(shù)環(huán)）中的一個(gè)．此人打中的環(huán)數(shù)這個(gè)隨機(jī)事件是否是古典概率模型？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】不是，因?yàn)樯鋼舯荣愔忻總€(gè)環(huán)數(shù)打中的概率不一樣【詳解】不是.古典概率模型每個(gè)基本事件都是等可能的，因?yàn)樯鋼舯荣愔忻總€(gè)環(huán)數(shù)打中的概率不一樣.所以該隨機(jī)事件不是古典概型.題型3:用列舉法求古典概型的概率典型例題例題1．為防控新冠疫情，很多公共場(chǎng)所要求進(jìn)入的人必須佩戴口罩．現(xiàn)有人在一次外出時(shí)需要從藍(lán)、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中隨機(jī)選3只不同顏色的口罩，則藍(lán)、白口罩同時(shí)被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】從藍(lán)、白、紅、黑、綠5種顏色的口罩中選3只不同顏色的口罩，基本事件列舉如下：（藍(lán)白紅），（藍(lán)白黑），（藍(lán)白綠），（藍(lán)紅黑），（藍(lán)紅綠），（藍(lán)黑綠），（白紅黑），（白紅綠），（白黑綠），（紅黑綠），共有10個(gè)基本事件，其中藍(lán)、白口罩同時(shí)被選中的基本事件有（藍(lán)白紅），（藍(lán)白黑），（藍(lán)白綠），共含3個(gè)基本事件，所以藍(lán)、白口罩同時(shí)被選中的概率為．故選：A.例題2．從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及中心共五個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè),能確定一個(gè)平面的概率是______.【答案】【詳解】解:由題知,記正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為,記中心為,畫圖如下:用表示五個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)的結(jié)果數(shù),則五個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)的所有事件為:,,,共10種,其中能確定一個(gè)平面的事件有:,,共8種,所以能確定一個(gè)平面的概率.故答案為:例題3．拋擲兩顆骰子，求：(1)點(diǎn)數(shù)之和是4的概率；(2)點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率；(3)點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的概率．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）拋擲兩顆骰子，基本事件的總數(shù)，點(diǎn)數(shù)之和為4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)之和為4的概率；（2）點(diǎn)數(shù)之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率；（3）點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為3的概率；例題4．成都作為常住人口超2000萬(wàn)的超大城市，注冊(cè)青年志愿者人數(shù)超114萬(wàn)，志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超268萬(wàn)小時(shí).2022年6月，成都22個(gè)市級(jí)部門聯(lián)合啟動(dòng)了2022年成都市青年志愿服務(wù)項(xiàng)目大賽，項(xiàng)目大賽申報(bào)期間，共收到331個(gè)主體的416個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，覆蓋文明實(shí)踐?社區(qū)治理與鄰里守望?環(huán)境保護(hù)等13大領(lǐng)域．已知某領(lǐng)域共有50支志愿隊(duì)伍申報(bào)，主管部門組織專家對(duì)志愿者申報(bào)隊(duì)伍進(jìn)行評(píng)審打分，并將專家評(píng)分（單位：分）分成6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中的值；(2)已知評(píng)分在的隊(duì)伍有4支，若從評(píng)分在的隊(duì)伍中任選兩支隊(duì)伍，求這兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評(píng)分不低于85分的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，解得．（2）由題意知不低于90分的隊(duì)伍有支，故評(píng)分在的隊(duì)伍有2支．評(píng)分在分的隊(duì)伍有支．記評(píng)分落在的4支隊(duì)伍為；評(píng)分落在的2支隊(duì)伍為，．則從評(píng)分在的隊(duì)伍中任選兩支隊(duì)伍的基本事件有：，，，共15個(gè)．其中兩支隊(duì)伍至少有一支隊(duì)伍評(píng)分不低于85分的基本事件有：，，共9個(gè)．故所求概率為．同類題型演練1．已知集合，在集合A中可重復(fù)的依次取出三個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能夠成為一個(gè)三角形三條邊的概率是______.【答案】【詳解】集合，在中可重復(fù)的依次取出三個(gè)數(shù)，，，基本事件有共有8個(gè)，“以，，為邊長(zhǎng)恰好構(gòu)成三角形”包含的基本事件個(gè)數(shù)，分別為：所以“以，，為邊長(zhǎng)恰好構(gòu)成三角形”的概率：．故答案為：2．由數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)中抽取一個(gè)，求：(1)所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率；(2)所抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；(3)所抽到數(shù)的個(gè)位和十位不相同的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有共16個(gè)，其中偶數(shù)有共8個(gè)，所以所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率；（2）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有共16個(gè)，其中3的倍數(shù)有共5個(gè)，所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；（3）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有共16個(gè)，其中個(gè)位和十位相同的數(shù)有共4個(gè)，所以個(gè)位和十位不相同的數(shù)有12個(gè)，所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；3．?dāng)S兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值出現(xiàn)哪個(gè)數(shù)的可能性最大？其出現(xiàn)的概率為多少？【答案】點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1的可能性最大，其出現(xiàn)的概率為【詳解】同時(shí)擲兩顆的骰子，則有個(gè)基本事件，點(diǎn)數(shù)之差絕對(duì)值為的取值可能為0，1，2，3，4，5.點(diǎn)數(shù)之差絕對(duì)值為0包含的基本事件有：，共6種；點(diǎn)數(shù)之差絕對(duì)值為1包含的基本事件有：，共10種；點(diǎn)數(shù)之差絕對(duì)值為2包含的基本事件有：，共8種；點(diǎn)數(shù)之差絕對(duì)值為3包含的基本事件有：，共6種；點(diǎn)數(shù)之差絕對(duì)值為4包含的基本事件有：，共4種；點(diǎn)數(shù)之差絕對(duì)值為5包含的基本事件有：，共2種；所以點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1的可能性最大，其出現(xiàn)的概率為.4．同時(shí)骰兩枚骰子，求：(1)至少有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為6的概率；(2)點(diǎn)數(shù)和為6的倍數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）同時(shí)骰兩枚骰子,所有的基本事件有共有36個(gè)，至少有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為6有共11個(gè)，故概率為（2）點(diǎn)數(shù)和為6的倍數(shù)的包含的基本事件有共有6個(gè)，故概率為5．2022年7月1日是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對(duì)黨章黨史的認(rèn)知程度，針對(duì)黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分分及以上為認(rèn)知程度高，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：第二組：第三組：第四組：第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者．若有甲年齡，乙年齡兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.【答案】(1)32.25，(2)【詳解】（1）解：設(shè)這m人的平均年齡為，則歲設(shè)第80百分位數(shù)為a，由，解得（2）解：由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為A，B，C，甲，第五組抽取2人，記為D，乙.對(duì)應(yīng)的樣本空間為：,甲，,乙，，，,甲，,乙，，,甲，,乙，，甲,乙，甲,，乙,，共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則,甲，,乙，,甲，,乙，,甲，,乙，甲,乙，甲,，，乙,，共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以，題型4:有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率典型例題例題1．某商場(chǎng)做促銷活動(dòng)，顧客每購(gòu)滿100元可抽獎(jiǎng)一次．在一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外其余完全相同的5個(gè)小球，其中3個(gè)紅球、1個(gè)黑球、1個(gè)黃球．某顧客購(gòu)滿100元，可抽獎(jiǎng)一次．(1)若從中依次不放回地取出2個(gè)球，取出的球中有黃球，則送一件價(jià)值10元的禮品，求這位顧客能獲得一件價(jià)值10元的禮品的概率；(2)若從口袋中連續(xù)取兩次球，每次取1個(gè)球后放回，當(dāng)取出的2個(gè)球中沒(méi)有紅球時(shí)，送一件價(jià)值50元的禮品，問(wèn)這位顧客獲得一件價(jià)值50元的禮品的可能性會(huì)超過(guò)20%嗎？【答案】(1)(2)不會(huì)超過(guò)20%【詳解】（1）3個(gè)紅球的分別記為1，2，3，1個(gè)黑球記為a，1個(gè)黃球記為b．從袋中依次不放回地取出2個(gè)球，所包含的樣本點(diǎn)為（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20個(gè)，有黃球的樣本點(diǎn)為（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8個(gè)，所以這位顧客能獲得一件價(jià)值10元的禮品的概率為．（2）從袋中連續(xù)取兩次球，每次取1球后放回，所包含的樣本點(diǎn)為（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25個(gè)，取出的2個(gè)球中沒(méi)有紅球的樣本點(diǎn)為（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4個(gè)，所以這位顧客能獲得一件價(jià)值50元的禮品的概率為，所以這位顧客獲得一件價(jià)值50元的商品的可能性不會(huì)超過(guò)20%．例題2．口袋里共有4個(gè)球，其中有2個(gè)是白球，2個(gè)是黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同。4個(gè)人按順序依次從中摸出一個(gè)球（不放回），試計(jì)算第二個(gè)人摸到白球的概率.【答案】.【詳解】解法1：把2個(gè)白球編上序號(hào)1，2，記摸到1，2號(hào)白球的結(jié)果分別為；2個(gè)黑球也編上序號(hào)1，2，記摸到1，2號(hào)黑球的結(jié)果分別為，因?yàn)槭怯?jì)算“第二個(gè)人摸到白球”的概率，所以只考慮前兩個(gè)人摸球的情況.考察試驗(yàn)：前兩個(gè)人按順序依次從中摸出一個(gè)球，記錄摸球的所有可能結(jié)果，A：第二個(gè)人摸到白球的可能結(jié)果.前兩個(gè)人按順序依次從袋中摸出一個(gè)球的所有結(jié)果用樹(shù)狀圖表示，如圖.從上面的樹(shù)狀圖可以看出，試驗(yàn)的樣本空間，共有12個(gè)可能的結(jié)果.依題意可知此時(shí)事件，包含6個(gè)可能的結(jié)果，因此，即第二個(gè)人摸到白球的概率為.解法2：因?yàn)榭诖锏?個(gè)球除顏色外完全相同，因此可以對(duì)2個(gè)白球不加區(qū)別，對(duì)2個(gè)黑球也不加區(qū)別，由此得到另一種解法.考察試驗(yàn)：4個(gè)人按順序依次從中摸出一個(gè)球，只記錄摸出球的顏色，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果用樹(shù)狀圖表示，如圖.

記摸到白球、黑球的結(jié)果分別為，試驗(yàn)的樣本空間，共有6個(gè)可能結(jié)果.由于口袋內(nèi)的4個(gè)球除顏色外完全相同，因此可以認(rèn)為這6個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性也是相等的，從而用古典概型來(lái)計(jì)算概率.依題意可知此時(shí)事件，包含3個(gè)可能結(jié)果，所以，即第二個(gè)人摸到白球的概率為.解法3：進(jìn)一步簡(jiǎn)化，只考慮第二個(gè)人摸球的情況.考察試驗(yàn)：4個(gè)人按順序依次從中摸出一個(gè)球，只記錄第二個(gè)人摸出球的情況.把2個(gè)白球、2個(gè)黑球分別編上序號(hào)1，2，記摸到1，2號(hào)白球的結(jié)果分別為，記摸到1，2號(hào)黑球的結(jié)果分別為，則試驗(yàn)的樣本空間，共有4個(gè)可能結(jié)果.由于口袋內(nèi)的4個(gè)球除顏色外完全相同，因此可以認(rèn)為這4個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，從而用古典概型來(lái)計(jì)算概率.依題意可知此時(shí)事件，包含2個(gè)可能結(jié)果，因此即第二個(gè)人摸到白球的概率為.同類題型演練1．天河英才秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個(gè)圖案的卡片（卡片的形狀?大小和質(zhì)地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)三張卡片“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”依次記為,若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則基本事件為：共9種，則其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的基本事件為：共2種，所有所求概率為故選：C.2．從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次．（1）求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；（2）如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率是多少？【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．Ω由6個(gè)基本事件組成，而且可以確定這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．事件A由4個(gè)基本事件組成，所以P（A）＝＝．（2）有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，由9個(gè)基本事件組成．由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等，因此可以確定這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．事件B由4個(gè)基本事件組成，所以P（A）＝．題型5:根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)典型例題例題1．每次從0～9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字（取后放回），連續(xù)取次，依次得到個(gè)數(shù)字組成的數(shù)字序列．若使該序列中的數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)）A．23 B．22 C．21 D．20【答案】B【詳解】解：有放回地排列個(gè)數(shù)字，得個(gè)基本事件，其中不含0的基本事件為．由題意得，即，∴．∴最小取22．故選：B．例題2．在一次教師聯(lián)歡會(huì)上，到會(huì)的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機(jī)挑選一人表演節(jié)目，若選到男教師的概率為，則參加聯(lián)歡會(huì)的教師人數(shù)為_(kāi)____________．【答案】120.【詳解】試題分析：設(shè)男師人，女教師人，則，故答案為．例題3．某職業(yè)培訓(xùn)學(xué)?，F(xiàn)有六個(gè)專業(yè)，往年每年各專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率（直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)與招生人數(shù)的比值）統(tǒng)計(jì)如下表：專業(yè)機(jī)電維修藝術(shù)舞蹈汽車美容餐飲電腦技術(shù)美容美發(fā)招生人數(shù)就業(yè)率（Ⅰ）從該校往年的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求該生是“餐飲”專業(yè)且直接就業(yè)的概率；（Ⅱ）為適應(yīng)人才市場(chǎng)的需求，該校決定明年將“電腦技術(shù)”專業(yè)的招生人數(shù)減少，將“機(jī)電維修”專業(yè)的招生人數(shù)增加，假設(shè)“電腦技術(shù)”專業(yè)的直接就業(yè)人數(shù)不變，“機(jī)電維修”專業(yè)的就業(yè)率不變，其他專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率都不變，要使招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率比往年提高個(gè)百分點(diǎn)，求的值．【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）．【詳解】（Ⅰ）由題意，該校往年每年的招生人數(shù)為，“餐飲”專業(yè)直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，所以所求的概率為．（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，可得往年各專業(yè)直接就業(yè)的人數(shù)分別為，，，，，，往年全校整體的就業(yè)率為，招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率為，解得．同類題型演練1．一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的6個(gè)紅球，個(gè)綠球，現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球.若取出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則的值為（

）A．4 B．5 C．12 D．15【答案】A【詳解】一個(gè)袋子中有若干個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)紅球，個(gè)綠球，從袋中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，取出的2個(gè)球都是紅球的概率是，則，解得（負(fù)值舍去）.故選：A．2．中國(guó)古典戲曲四大名著是《牡丹亭》《西廂記》《桃花扇》和《長(zhǎng)生殿》，它們是中國(guó)古典文化藝術(shù)的瑰寶.某戲曲學(xué)院圖書館藏有上述四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學(xué)院的部分學(xué)生對(duì)《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學(xué)院圖書館決定購(gòu)買一批《牡丹亭》戲曲書籍(其他三部數(shù)量保持不變)若干本.若要保證購(gòu)買后在該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6，則該戲曲學(xué)院圖書館需至少購(gòu)買《牡丹亭》戲曲書籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本【答案】C【詳解】設(shè)需購(gòu)買《牡丹亭》戲曲書籍x本，則購(gòu)買后，該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著共，從中任取1本有種取法.《牡丹亭》戲曲書籍共，從中任取1本有種取法.從該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率為，根據(jù)題意可得，解得，即該戲曲學(xué)院圖書館需至少購(gòu)買《社丹亭》戲曲書籍35本.故選：C3．一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和n個(gè)綠球，采用有放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，則n的所有可能取值為_(kāi)__________．【答案】2或8【詳解】由題意知，取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，化簡(jiǎn)得，解得或8.故答案為：2或8.題型6:古典概型與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用典型例題例題1．某校近期舉行了“2022年新聞時(shí)事知識(shí)競(jìng)賽”，現(xiàn)在隨機(jī)抽查參賽的200名學(xué)生的得分（滿分100分），按照，，，，，，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，已知成等差數(shù)列.(1)求出的值，并計(jì)算參賽得分在的學(xué)生人數(shù)；(2)學(xué)校為進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)新聞時(shí)事獲取的途徑，準(zhǔn)備從得分在與的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，然后從中再選出2名學(xué)生交流新聞時(shí)事獲取的途徑，求這2人中恰有1人的得分在內(nèi)的概率.【答案】(1)，；參賽得分在的學(xué)生人數(shù)為；(2)【詳解】（1）因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以，又，所以.故參賽得分在的學(xué)生人數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知得分在與的人數(shù)比為，所以按分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，其中得分在的抽2人，記為，得分在的抽4人，記為，然后從中再選出2名學(xué)生交流的所有情況為，，共15種情況，恰有1人的得分在的所有情況為，共8種情況，所以所求概率.例題2．某工廠為了檢驗(yàn)?zāi)钞a(chǎn)品的質(zhì)量，隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量其某一質(zhì)量指數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)；(2)若采用分層抽樣的方法從這一質(zhì)量指數(shù)在和內(nèi)的該產(chǎn)品中抽取6件，再?gòu)倪@6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品不是取自同一組的概率.【答案】(1)15.(2).【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為，則，解得；（2）由頻率分布直方圖可得，即在和的產(chǎn)品分別由件，采用分層抽樣的方法抽取的6件產(chǎn)品中這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)的有4件，記為，這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)的有2件，記為，從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況有，共15種；其中符合條件的情況有，共8種，故所求概率.例題3．青少年近視問(wèn)題備受社會(huì)各界廣泛關(guān)注，某研究機(jī)構(gòu)為了解學(xué)生對(duì)預(yù)防近視知識(shí)的掌握情況，對(duì)某校學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取200份問(wèn)卷，發(fā)現(xiàn)其得分（滿分：100分）都在區(qū)間中，并將數(shù)據(jù)分組，制成如下頻率分布表：分?jǐn)?shù)頻率0.150.25m0.300.10(1)估計(jì)這200份問(wèn)卷得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)用分層抽樣的方法從這200份問(wèn)卷得分在，，內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，求這3人來(lái)自不同組（3人中沒(méi)有2人在同一組）的概率.【答案】(1)74.5；(2).【詳解】（1）由頻率分布表得：，所以200份問(wèn)卷得分的平均值約為：.（2）由（1）知，問(wèn)卷得分在，，內(nèi)的頻率分別為，因此抽取的6人中，得分在，，內(nèi)的人數(shù)分別為2人，3人，1人，記得分在內(nèi)的2人為，得分在內(nèi)的3人為，得分在內(nèi)的1人為，從6人中任取3人的不同結(jié)果為：，，，共20個(gè)，它們等可能，抽取的3人來(lái)自不同組的事件有：，共6個(gè)，所以3人來(lái)自不同組的概率.同類題型演練1．2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行?第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過(guò)世界杯的國(guó)家舉辦的世界杯足球賽.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了該校500名學(xué)生觀看世界杯比賽直播的時(shí)長(zhǎng)情況（單位：分鐘），將所得到的數(shù)據(jù)分成7組；（觀看時(shí)長(zhǎng)均在內(nèi)），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖(1)求a的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)采用分層抽樣的方法在觀看時(shí)長(zhǎng)在和的學(xué)生中抽取6人?現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人分享觀看感想，求抽取的3人中恰有2人的觀看時(shí)長(zhǎng)在的概率.【答案】(1)；中位數(shù)為160；(2)【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得．,的頻率為．估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為160；（2）解：采用以樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，則中抽取人，分別記為，，，，中抽取人，分別記為，，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人分享觀看感想，包含的基本事件有：共20個(gè)，抽取的3人中恰有2人的觀看時(shí)長(zhǎng)在”基本事件有：共12個(gè)，所以抽取的3人中恰有2人的觀看時(shí)長(zhǎng)在的概率為．2．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.衢州市某學(xué)校為提高學(xué)生對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，已知所有學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均位于區(qū)間，從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值，并估計(jì)這40名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中抽取7人組成創(chuàng)建文明城市知識(shí)宣講團(tuán).若從這選定的7人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人競(jìng)賽成績(jī)位于區(qū)間的概率.【答案】(1)，平均數(shù)74.5，中位數(shù)為75；(2).【詳解】（1）由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，所以，解得.所以樣本中40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù).設(shè)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為，由于前2組頻率之和為0.35，前3組頻率之和為0.65，故中位數(shù)落在第3組，于是有，解得.即這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75.（2）由分層隨機(jī)抽樣可知，在區(qū)間應(yīng)抽取5人，記為a，b，c，d，e，在區(qū)間應(yīng)抽取2人，記為A，B，從中任取2人的所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種.其中至少有一人測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間內(nèi)有：，，，，，，，，，，，共11種.所以，至少有一人的測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間內(nèi)的概率為.3．法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過(guò)去時(shí)代中最杰出的人們——書籍的作者一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流”.閱讀會(huì)讓精神世界閃光．某大學(xué)為了解大一新生的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位大一新生，對(duì)這些學(xué)生每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校大一新生每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；(3)為了進(jìn)一步了解大一新生的閱讀方式，該大學(xué)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，和的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率．【答案】(1)(2)平均數(shù)為74分鐘(3)【詳解】（1）因?yàn)轭l率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以，得，（2）各區(qū)間的中點(diǎn)值為55、65、75、85、95對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分別為10、20、45、20、5這100名大一新生每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)為所以估計(jì)該校大一新生每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)為74分鐘.（3）由題意，閱讀時(shí)間位于分組，和的學(xué)生數(shù)分別為10人、20人、20人，因此中抽取1人，記為a,中抽取2人，記為b,c，中抽取2人，記為d,e，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，樣本空間共10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件A為“恰好有1人每天閱讀時(shí)間位于”，共6個(gè)樣本點(diǎn)，故其中恰好有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率為.三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無(wú)序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.2．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)___________．【