1/12021北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、單選題1．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）將函數(shù)（）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．為偶函數(shù)B．C．當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)零點(diǎn)D．若在上單調(diào)遞減，則的最大值為92．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A． B． C． D．3．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）函數(shù)是（）A．奇函數(shù)，且最小值為B．奇函數(shù)，且最大值為C．偶函數(shù)，且最小值為D．偶函數(shù)，且最大值為4．（2021·北京師大附中高一期末）如圖，函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象與軸交于點(diǎn).是其圖象上的最高點(diǎn)，是其圖象與軸的交點(diǎn)，則與的夾角的余弦值為（）A．0 B． C． D．15．（2021·北京師大附中高一期末）函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱二、雙空題6．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時(shí)，列表如下：則_________，_________.三、填空題7．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，給出下列五個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④函數(shù)的周期為；⑤的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是________．8．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）已知不等式對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．9．（2021·北京·人大附中高一期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，C.且滿足.且△ABC為銳角三角形，則△ABC面積的取值范圍為_(kāi)_______.四、解答題10．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）對(duì)，定義．（1）求的最小值；（2），有恒成立，求A的最大值；（3）求證：不存在，且m＞n，使得為恒定常數(shù)．11．（2021·北京·人大附中高一期末）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量，且.（1）求角A的大小；（2）求sinB＋sinC的取值范圍.12．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的最大值和最小值.13．（2021·北京師大附中高一期末）已知函數(shù).（1）求；（2）求的最小正周期：（3）求在區(qū)間上的最大值.

參考答案1．D【分析】由平移變換和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出函數(shù)的解析式，利用定義得出奇偶性，進(jìn)而判斷A選項(xiàng)；將代入函數(shù)的解析式，即可判斷B選項(xiàng)；由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C，D.【詳解】由題意得，由，得出則對(duì)A項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)B項(xiàng)，對(duì)C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由得：，可以取，即當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)零點(diǎn)對(duì)D項(xiàng)，由，解得則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得即的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換求解析式，余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，在求余弦型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，利用整體法將余弦型函數(shù)的單調(diào)性化歸為余弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理問(wèn)題，屬于中檔題.2．A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．3．D【分析】根據(jù)奇偶性判斷得函數(shù)為偶函數(shù)，再將函數(shù)變形為，進(jìn)而得函數(shù)有最大值.【詳解】解：因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，，所以由余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)知，最大值為.故選：D4．C【分析】先根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)，求出的值，再利用五點(diǎn)法求出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，最后套用向量夾角的坐標(biāo)公式求值.【詳解】把點(diǎn)代入函數(shù)，有，又，所以.所以.由圖知，點(diǎn)，，分別為五點(diǎn)法中的第1，2，3點(diǎn).有，，，所以，，.，，記與的夾角為，則.故選：C.5．C【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心求解.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，.令得，；令，得.可排除A，B.函數(shù)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，，.令得，，故選項(xiàng)C正確.故選：C.6．【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出、、的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得出和的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，函數(shù)的最小正周期為，，，當(dāng)時(shí)，則，解得，則，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用表格中的數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．⑤【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，可判①定錯(cuò)誤；利用的周期判定②錯(cuò)誤；將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的單調(diào)性，可判定③錯(cuò)誤；利用周期的定義判定④錯(cuò)誤；利用判定⑤正確.【詳解】①：，故①錯(cuò)誤；②：若，則，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，故②不正確；③：在區(qū)間上，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故③錯(cuò)誤；④：，故④錯(cuò)誤；⑤因?yàn)?，，所以，即的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故⑤正確．故答案為：⑤．8．【分析】令，化簡(jiǎn)，求出的范圍，結(jié)合不等式恒成立得到，再求出的范圍即可．【詳解】解：令則．因?yàn)?，所以，所以，由于不等式?duì)于恒成立可得．所以的取值范圍為．故答案為：．9．【分析】由余弦定理求出角，，要求△ABC面積的取值范圍，只需求出邊取值范圍，根據(jù)正弦定理，將用角表示，結(jié)合范圍，即可求解.【詳解】,，由正弦定理得，所以，又△ABC為銳角三角形，,得所以，.故答案為：.10．（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）依題意可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）依題意可得對(duì)，，所以，故可得結(jié)果；（3）用反證法證明，假設(shè)存在，且，使得恒為常數(shù)，由，，結(jié)合奇偶分析得出矛盾.【詳解】（1）依題意得所以當(dāng)時(shí)，有最小值；（2）因?yàn)閷?duì)，，所以，即的最大值為；（3）用反證法：假設(shè)存在，且，使得恒為常數(shù)，，則，，由可得，即是偶數(shù).而，由于，所以必有.若，則，不合題意；若，則，故.而由，可知：是偶數(shù)，是奇數(shù)，由可得，顯然矛盾.綜上，不存在符合題意的，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（3）問(wèn)用反證法證明的關(guān)鍵點(diǎn)是：由，，結(jié)合奇偶分析得出矛盾.11．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合向量模長(zhǎng)坐標(biāo)公式，得到二次關(guān)系，由正弦定理化角為邊，最后用余弦定理求出，即可求解；（2）由（1）將角用角表示，再運(yùn)用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為正弦型三角函數(shù)，利用角范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】（1），所以，，由正弦定理得，所以，又，所以；（1），因?yàn)椋?，所以的范圍?12．（1）最小正周期；單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），.【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)；（1）由正弦型函數(shù)周期性可得最小正周期；利用整體對(duì)應(yīng)法可解不等式求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用的范圍可求得的范圍，利用整體對(duì)應(yīng)的方式可得的范圍，由此可得最值.【詳解】；（1）由題意得