1/12021北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編余弦定理一、單選題1．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）在中，，則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．（2021·北京·人大附中高一期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2﹣ac+c2＝b2，則角B為（）A． B． C． D．二、雙空題3．（2021·北京·人大附中高一期末）已知銳角，同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④.則這三個(gè)條件是________（只填寫序號(hào)），的面積是________三、填空題4．（2021·北京·匯文中學(xué)高一期末）在中，，，則的取值范圍為______.5．（2021·北京·人大附中高一期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，C.且滿足.且△ABC為銳角三角形，則△ABC面積的取值范圍為________.6．（2021·北京師大附中高一期末）在中，，則__________.四、解答題7．（2021·北京二中高一期末）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．8．（2021·北京·匯文中學(xué)高一期末）在中，，，且，再從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）的值；（2）的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．9．（2021·北京·人大附中高一期末）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量，且.（1）求角A的大小；（2）求sinB＋sinC的取值范圍.10．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）在中，c＝2，C＝30°再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：(1)a的值；(2)的面積．條件①：2b＝a；條件②：b＝2；條件③：A＝45°．11．（2021·北京師大附中高一期末）在中，.（1）求A的值；（2）再從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求邊上的中線的長度.條件①：；條件②：；條件③：.12．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知△的面積為，，.求（1）和的值；（2）的值.13．（2021·北京師大附中高一期末）在中，.（1）求的值；（2）求的面積.

參考答案1．B【分析】根據(jù)結(jié)合題意得,化簡整理得,再根據(jù)余弦定理角化邊整理得,故的形狀為直角三角形.【詳解】解:由降冪公式得,因?yàn)?所以,即,由于,所以,整理得:.所以的形狀為直角三角形,故選:B2．B【分析】由余弦定理求出即可求解出結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，又b2＝a2﹣ac+c2，所以，即，又，所以.故選：B.3．①②③【分析】如果選條件②③④，不能確定三角形是銳角三角形，如果選條件①④②或①④③，三角形不是銳角三角形，只有選①②③，可得銳角三角形，然后求出三角形面積．【詳解】如果選條件②③④，則由正弦定理得，均為銳角，，，則，則為銳角，為鈍角，不合題意；如果選條件①④②或①④③，同理，則為銳角，為鈍角，不合題意；只有選擇①②③，由得，解得或，時(shí)，，角是鈍角，不合題意，舍去．時(shí)，，是銳角，符合題意．此時(shí)．故答案為：①②③；．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，考查兩角和與差的正弦余弦公式，解題關(guān)鍵是根據(jù)所選條件判斷三角形的形狀，以確定符合題意的條件．4．【分析】先根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊求出的范圍，再結(jié)合余弦定理可以用表示，求出的范圍，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，由題意得，，，即，，令，所以，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍為.所以又因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，三角形的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.5．【分析】由余弦定理求出角，，要求△ABC面積的取值范圍，只需求出邊取值范圍，根據(jù)正弦定理，將用角表示，結(jié)合范圍，即可求解.【詳解】,，由正弦定理得，所以，又△ABC為銳角三角形，,得所以，.故答案為：.6．【分析】在中，對(duì)邊使用余弦定理求解.【詳解】在中，記，，，又，由余弦定理得，，解得，即.故答案為：.7．（Ⅰ），，（Ⅱ）【詳解】（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得．聯(lián)立方程組解得，（Ⅱ）由題意得，即，·當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，．所以的面積．8．選擇見解析；（1）；（2）．【分析】選擇條件①，由正弦定理得，再由余弦定理可得，再運(yùn)用面積公式可算出的面積.選擇條件②，由正弦定理得，再由余弦定理算得，再運(yùn)用面積公式可算出的面積.【詳解】解：選條件①：．（1）在中，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，且，，，所以．化簡得，解得或．?dāng)時(shí)，，與題意矛盾．所以，所以．（2）因?yàn)?，，所以．所以．選條件②：．（1）在中，因?yàn)?，所以由得．因?yàn)?，且，，，所以．解得．?）由（1）知，所以．因?yàn)?，，所以．所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．9．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合向量模長坐標(biāo)公式，得到二次關(guān)系，由正弦定理化角為邊，最后用余弦定理求出，即可求解；（2）由（1）將角用角表示，再運(yùn)用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為正弦型三角函數(shù)，利用角范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】（1），所以，，由正弦定理得，所以，又，所以；（1），因?yàn)椋?，所以的范圍?10．選①：(1)；(2).選③：(1)；(2).【分析】利用正弦定理、余弦定理和三角形面積公式求解即可.【詳解】選條件①：.有.在中，由余弦定理得，，，解得，.的面積.選條件②：.在中，由余弦定理得，，，.解得或.滿足條件的三角形有兩個(gè)，不符合題意，舍去.選條件③：.有.在中，由正弦定理得，，.的面積.11．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊角互化后，再結(jié)合余弦定理，求得角的值；（2）若選擇條件①②，根據(jù)面積公式先求邊，若選擇條件①③，先求，再結(jié)合正弦定理求，若選擇條件②③，根據(jù)正弦定理可知，再根據(jù)面積公式求邊長，以上三種選擇求得邊長后，利用公式，再代入數(shù)量積公式中線長.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可知，，，，（2）若選擇條件①②，則，，，，；如選擇條件①③，則，,根據(jù)正弦定理，，；如選擇條件②③，，，根據(jù)選擇條件①③，可知，,，又,根據(jù)正弦定理可知,所以設(shè)，，，，解得：，所以，，；所以邊上的中線的長度是12．（1），；（2）.【分析】（1）由同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，利用三角形面積公式求，應(yīng)用余弦定理求即可；（2）由題設(shè)有，三角形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系求、，