.3三角形的內(nèi)角與外角【考點(diǎn)歸納】【知識歸納】知識點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和定理及推論（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．知識點(diǎn)二．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．知識點(diǎn)三．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．【題型歸納】題型一：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【例1】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，，則等于（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，分別是的高和角平分線，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·吉林·期末）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則的大小為（

）A． B． C． D．題型二：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【例2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖，直線，平分．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25七年級下·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，直線，若，則等于（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025·安徽滁州·三模）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，，若是上一點(diǎn)且，則的大小為（

）A． B． C． D．題型三：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【例3】（25-26八年級上·吉林長春·開學(xué)考試）如圖，在中，為的平分線，為邊上的高，與交于點(diǎn)，．求的度數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·福建莆田·期中）已知，如圖在中，，平分交于F，交于E，．求的度數(shù)．題型四：三角形折疊中的角度問題【例4】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，中，，沿將此三角形對折，又沿再一次對折，點(diǎn)落在上的處，此時(shí)，則原三角形的的度數(shù)為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25八年級上·河南安陽·期末）如圖，在中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)F處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為上一點(diǎn)，將沿直線翻折至同一平面內(nèi)，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，，分別交邊于點(diǎn)M，N．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．題型五：直角三角形的兩個(gè)銳角互余問題【例5】（24-25八年級上·廣東肇慶·階段練習(xí)）如圖，在三角形中，，D是上一點(diǎn)，且，，，求：的度數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如下圖，在中，，E為射線上一點(diǎn)，且于點(diǎn)F．(1)若，則______．(2)探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25七年級下·河南南陽·期末）如圖，在中，AE平分，AD是BC邊上的高．(1)在圖中將圖形補(bǔ)充完整；(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．題型六：三角形的外角問題【例6】（24-25八年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，中，，，垂足分別為D、E，、交于點(diǎn)H，已知，，求與的度數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·四川綿陽）如圖，中，D為邊上一點(diǎn)，過D作，交于E；F為邊上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于G，且．(1)求證：平分；(2)若，，求的度數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，平分的外角，且交的延長線于點(diǎn)E．(1)若，，求的度數(shù)；(2)試猜想、、三個(gè)角之間存在的等量關(guān)系，并證明你的猜想．題型七：與三角形有關(guān)的角綜合問題【例7】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，的外角平分線與的延長線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與B，C重合，，．(1)已知，．①；②若，則；(2)如圖②，已知，作，試探究，，之間的關(guān)系．【跟蹤訓(xùn)練2】（25-26八年級上·陜西延安·開學(xué)考試）【問題背景】如圖，直線與直線分別交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．【問題探究】（1）求證：；（2）如圖1，點(diǎn)、分別是射線、上的點(diǎn)，連接，若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；【問題拓展】（3）如圖2，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，連接．若，求的度數(shù)．【高分演練】一、單選題1．（2025·陜西漢中·二模）如圖，已知，點(diǎn)是邊延長線上一點(diǎn)，，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知，垂足為D．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．3．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖．等于（）A． B． C． D．5．（24-25七年級下·湖南長沙·期末）將一副三角板按照如圖方式擺放，點(diǎn)，，共線，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．6．（24-25八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個(gè)，，并畫出了兩銳角的角平分線、及其交點(diǎn)F．小明發(fā)現(xiàn)，無論怎樣變動(dòng)的形狀和大小，的度數(shù)是定值，則這個(gè)定值為（

）A． B． C． D．7．（24-25八年級上·陜西西安·期末）如圖，在中，，，分別平分和，且相交于點(diǎn)F，，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)G．則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．8．（24-25七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，中，、分別是高和角平分線，點(diǎn)在的延長線上，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④二、填空題9．（24-25七年級下·山東泰安·階段練習(xí)）如圖，已知，則．10．（24-25七年級上·湖南衡陽·期末）如圖，將一角折疊，若，則．11．（25-26八年級上·四川綿陽·開學(xué)考試）如圖，是的外角的平分線，且交的延長線于點(diǎn)E，，，那么的度數(shù)是（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在中，若，，，，則．13．（24-25七年級下·上海寶山·期末）如圖，在中，，延長至，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，則．14．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，．15．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，已知、交于點(diǎn)，，，，則的度數(shù)是．16．（25-26八年級上·陜西延安·開學(xué)考試）如圖，分別是延長線上的點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中所有正確結(jié)論的序號為．三、解答題17．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，D為延長線上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，若，求證：是直角三角形．18．（24-25八年級上·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，在中，于D平分與交于點(diǎn)F，求．19．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，把一副三角尺擺放在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)若為上一點(diǎn)，連接，，且，，求的度數(shù)．20．（24-25八年級下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖①所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們把這樣的圖形叫做“規(guī)形圖”，叫“規(guī)角”．(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究規(guī)角與、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)請你利用結(jié)論，解決下列問題：①如圖②，在中，、的平分線交于點(diǎn)P，若，則_________度．②如圖③，平分，平分，若的度數(shù)是_________．21．（25-26八年級上·全國·單元測試）已知在中