.3角的平分線【考點歸納】【知識梳理】知識點一：角平分線AD是角平分線∠BAD＝∠CAD＝12∠(1)三角形三條內(nèi)角平分線的交點為三角形的內(nèi)心；(2)內(nèi)心到三角形三邊距離相等知識點二：角平分線的輔助線類型類型1過角平分線上的點作一邊的垂線原理：1.角平分線上一點到角兩邊的距離相等；2.兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等.作法：如圖，過點P作PB⊥ON于點B.結(jié)論：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP類型二過角平分線上的點作角平分線的垂線原理：1.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等；2.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)作法：如圖，過點P作PB⊥OP，交ON于點B.結(jié)論：△OAB是等腰三角形類型三1.過角平分線上的點作邊的平行線；2.過邊上的點作角平分線的平行線原理：(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)兩直線平行，同位角相等；(3)等角對等邊.作法：(1)過點P作PQ∥ON，交OM于點Q；(2)過點P作PQ∥OB，交NO的延長線于點Q.結(jié)論：△OPQ為等腰三角形類型四1.在被平分的角的長邊上截取與短邊相等的線段；2.延長被平分的角的短邊至與長邊相等原理：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.作法一：截長法在AC上截取AE＝AB，連接DE，結(jié)論：△ABD≌△AED；作法二：補短法延長AB至點F，使AF＝AC，連接DF，結(jié)論：△AFD≌△ACD【題型探究】題型一：角平分線的性質(zhì)定理【例1】．（25-26八年級上·全國）如圖，是的角平分線，于點，的面積是10，若，則點到的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．5【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26八年級上·黑龍江佳木斯）如圖，在中，，平分，交于點D，若，則點D到的距離為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26八年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，為的角平分線，于點，，則的長不可能是（

）A． B． C． D．題型二：角平分線的判定定理【例2】．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，，垂足分別為，．求證：平分．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，為的中點，平分．(1)求證：平分；(2)求證：．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，、兩點分別在射線、上，點在的內(nèi)部，且，，，垂足分別為，，且．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．題型三：作角平分線（尺規(guī)作圖）【例3】．（25-26八年級上·全國·課前預(yù)習(xí)）用尺規(guī)作圖：作出已知角的平分線．已知：如圖，，求作：射線，使．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25八年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在農(nóng)田中，農(nóng)戶計劃在田埂上安裝一個灌溉水泵以提高灌溉效率，現(xiàn)要求灌溉水泵到田埂和田埂的距離相等，請利用尺規(guī)找出點的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡）【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25七年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，，是邊上的高．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若，求的度數(shù)．題型四：角平分線的實際應(yīng)用【例4】．（24-25八年級下·廣東深圳·期末）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計劃修建一個油庫，要求油庫到這三條公路（）的距離都相等，則油庫的位置可以設(shè)計在（

）A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高所在直線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點【跟蹤訓(xùn)練1】．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）如圖，三條公路、、兩兩相交，計劃建一座加油站，滿足到三條公路的距離相等，則可供選址的地方有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【跟蹤訓(xùn)練2】．（23-24八年級上·北京·期中）為進一步美化校園，我校計劃在校園綠化區(qū)增設(shè)3條綠化帶，如圖所示，綠化帶，綠化帶交綠化帶于，交綠化帶于．若要建一噴灌處到三條綠化帶的距離相等，則可供選擇的噴灌處修建點有（

）A．4處 B．3處 C．2處 D．1處題型五：角平分線的綜合性問題【例5】．（25-26八年級上·江蘇無錫）如圖，四邊形中，，，于D．(1)求證：平分；(2)若，求的長．【跟蹤訓(xùn)練1】．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，A，B兩點分別在射線上，點C在的內(nèi)部且，，，垂足分別為D，E，且．(1)求證：平分；(2)如果，求的長．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25七年級下·四川成都·期末）如圖，，，，，交于點H，連接(1)求證：；(2)求；用含的式子表示(3)求證：平分【高分演練】一、單選題1．（25-26八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）用尺規(guī)作圖作角平分線，下列作法錯誤的是（

）．A． B．C． D．2．（25-26八年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，平分，于點C，點D在上，若，，則的面積為（

）A．6 B．9 C．12 D．183．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，平分交于點，于點，，，，則的長是（

）A．1 B．3 C．5 D．64．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，的平分線AD交BC于點D，于點E，若，，則DE的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，已知，平分，點P在上，于點D，，點E是射線上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（24-25八年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點在上，且中邊上的高也為3，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．（24-25八年級下·陜西西安）如圖，中，和的角平分線交于點P，若，則、、的面積之比為（

）A． B． C． D．8．（24-25七年級下·遼寧丹東·期末）如圖，是的平分線，是中線，、相交于點，于，若，，若的面積是，則的長為（）A． B． C． D．9．（24-25八年級下·河南鄭州·期末）如圖，在中，，于點D，的平分線交于點E，交于點F，連接．以下結(jié)論：①；②；③平分；④點E是的中點．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④二、填空題10．（25-26八年級上·全國·階段練習(xí)）如圖，已知的周長是21，分別平分和，于D，且，的面積是．11．（25-26八年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在中，為的角平分線，于點E，于點F．若的面積是，，，則．

12．（25-26八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）兩把相同的長方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點為，其中一把直尺邊緣和射線重合，另一把直尺的下邊緣與射線重合，連接并延長．若，則的度數(shù)為．13．（25-26八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，，垂足為點．若，則的度數(shù)為．14．（25-26八年級上·全國·期中）如圖，在中，，平分交于點，于點，是線段上一點，連接，，若，則的長為．三、解答題15．（25-26八年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點．(1)延長至點，求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．16．（25-26八年級上·吉林松原·階段練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點，于點，是線段上一點，連接，，若，求的長．17．（24-25八年級上·廣東肇慶·期中）如圖，已知，垂足為，，垂足為，，．求證：(1)平分；(2)．18．（22-23八年級上·全國·期中）已知，平分．(1)如圖①，若，，求