⑵如果二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為偶數(shù)，用配方法比較簡單，否則，因其步驟較為煩瑣，一般不用配方法．【題型探究】題型一：直接開平方法解一元二次方程【例1】．（25-26九年級上·全國）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)， (2)，【分析】本題主要考查了直接開平方法解方程，正確開平方是解題關(guān)鍵．（1）直接利用開平方解方程得出答案；（2）方程兩邊同時開平方，進而得出答案．【詳解】（1），則，解得：，；（2）．，解得：，．【跟蹤訓練1】．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先兩邊同時除以5，再直接開平方，即可作答．（2）先移項，再直接開平方，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴，∴；解得【跟蹤訓練2】．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用直接開平方法解下列方程：(1)(2)．【答案】(1)4，(2)4，【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先在兩邊同時除以2，得，再直接開平方法，即可作答．（2）先移項，在兩邊同時除以3，得，再直接開平方法，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴兩邊同時除以2，得，則，∴或，解得4，．（2）解：∵，∴，∴，∴，解得4，題型二、配方法解一元二次方程【例2】．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握解一元二次方程配方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用解一元二次方程配方法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程配方法，進行計算即可解答；（3）利用解一元二次方程配方法，進行計算即可解答；（4）利用解一元二次方程配方法，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，；（2）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，；（3）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，；（4）解：，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，．【跟蹤訓練1】．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法，是解題的關(guān)鍵：（1）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配方，解方程即可；（2）先把常數(shù)項移到等式右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配方，解方程即可；（3）將等式左邊的式子展開，移項，合并同類項，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配方，解方程即可；（4）先把二次項的系數(shù)化為1，再把常數(shù)項移到等式右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配方，解方程即可．【詳解】（1）解：，，，；∴；（2），，，，∴，∴；（3），，，，，，∴；（4），，，，，，∴．【跟蹤訓練2】．（24-25九年級下·全國·假期作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）方程二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開方即可求出解．（2）方程二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開方即可求出解．（3）將方程化為一般式，方程二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開方即可求出解．【詳解】（1）解：方程變形得：，配方得：，即，開方得：，，；（2）解：方程變形得：，配方得：，即，開方得：，解得：；，；（3）解：整理得：，配方得：，即，開方得：，，．題型三、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【例3】．（24-25九年級上·廣東潮州·階段練習）關(guān)于的一元二次方程根的情況（

）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了根的判別式．根據(jù)方程的系數(shù)與根的判別式，得到，再由根的判別式的意義判斷方程根的情況，即可解答．【詳解】解：∵，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選C．【跟蹤訓練1】．（24-25九年級上·北京海淀·期中）已知關(guān)于的方程．(1)求證：方程必有兩個不等實數(shù)根；(2)當取的整數(shù)時，存在兩個有理數(shù)根，求的值和這兩個有理數(shù)根．【答案】(1)方程必有兩個不等實數(shù)根；(2)m的值為1，這兩個有理數(shù)根為和．【分析】本題考查了根的判別式以及公式法解一元二次方程．（1）由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，進而可證出方程必有兩個不等實數(shù)根；（2）由m的取值范圍及方程存在兩個有理數(shù)根，可得出，代入后可得出原方程為，且，再利用公式法，即可求出原方程的兩個有理數(shù)根．【詳解】（1）證明：．∵，∴，即，∴方程必有兩個不等實數(shù)根；（2）解：∵當m取的整數(shù)時，存在兩個有理數(shù)根，且，∴，∴原方程為，且，∴此時原方程的解為，∴m的值為1，這兩個有理數(shù)根為和．【跟蹤訓練2】．（24-25九年級上·遼寧沈陽·階段練習）已知關(guān)于x的方程，有兩個不相等的實數(shù)根：(1)求k的取值范圍；(2)若這個方程有一個根為2，求k的值．【答案】(1)(2)3【分析】本題主要考查了一元二次方程的解以及根的判別式，利用方程根與判別式的關(guān)系得出是解題關(guān)鍵：（1）利用方程根與判別式的關(guān)系，得出根的判別式符號直接解不等式得出即可；（2）將代入，進而求出k的值，進而得出方程的解．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：；（2）解：∵方程的一個根是2，∴代入方程得：即，解得：或，∵，∴．題型四、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【例4】．（25-26九年級上·江蘇宿遷·階段練習）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．在判斷一元二次方程根的情況的問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項系數(shù)不為零；（2）有不相等的實數(shù)根時，必須滿足．利用此條件轉(zhuǎn)化即可解得參數(shù)的范圍．【詳解】解：依題意列得，解得且．故選：C．【跟蹤訓練1】．（25-26九年級上·北京西城·階段練習）如果關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式．利用一元二次方程根的判別式列不等式求解，然后進行驗證即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，當時，，解得，且；當時，原方程為一元一次方程，解得，有實數(shù)根；綜上，當時，原方程有實數(shù)根．故選：B．【跟蹤訓練2】．（25-26九年級上·廣東揭陽·階段練習）若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．C．且 D．或【答案】C【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，以及一元二次方程定義，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識．根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，得，且，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴，且，解得，∴a的取值范圍是且，故選：C．題型五、公式法解一元二次方程【例5】．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】本題考查利用公式法解一元二次方程，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．（1）把，，代入求根公式計算即可；（2）把，，代入求根公式計算即可；（3）把，，代入求根公式計算即可．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2），，，，，，；（3），，，，∴，，，．【跟蹤訓練1】．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用公式法解方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，；(2)方程沒有實數(shù)解；(3)，．【分析】（1）先計算出根的判別式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先把方程化為一般式，再計算出根的判別式的值得到，然后利用根的判別式的意義判斷方程沒有實數(shù)解；（3）先把方程化為一般式，再計算出根的判別式的值得到，然后利用求根公式得到方程的解．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2），方程化為一般式為，，，，，方程沒有實數(shù)解；（3），方程化為一般式為，，，，，，，．【點睛】本題考查了解一元二次方程公式法：熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．【跟蹤訓練2】．（22-23九年級上·全國·期中）用公式法解下列方程．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)此方程無實數(shù)根【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是先將方程化為一般形式（），計算判別式判斷根的情況，再代入求根公式求解．（1）方程已是一般形式，直接確定、、，計算，因，代入求根公式得兩個相等實數(shù)根；（2）先將方程展開整理為一般形式，確定、、，計算，代入求根公式得兩個不相等實數(shù)根；（3）先將方程整理為一般形式（或化簡為），確定、、，計算，判斷方程無實數(shù)根．【詳解】（1）解：方程為一般形式，，，，，代入求根公式：，故方程的根為：．（2）解：展開整理為一般形式：，即，，，，，代入求根公式：，故方程的根為：，．（3）解：整理為一般形式：（化簡：），，，，，∵判別式小于0，∴此方程無實數(shù)根．題型六、因式分解法解一元二次方程【例6】．（24-25九年級上·全國·期末）解一元二次方程：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)題目特點，選擇適當?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．（1）用因式分解法計算即可．（2）用因式分解法計算即可．【詳解】（1）∵∴，∴，∴，解得．（2）∵∴，∴，解得．【跟蹤訓練1】．（25-26九年級上·云南昆明·開學考試）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查利用十字相乘法因式分解來解一元二次方程：（1）利用十字相乘法分解因式即可求解；（2）利用十字相乘法分解因式即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【跟蹤訓練2】．（25-26九年級上·江蘇宿遷·階段練習）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法—因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的解法；（1）根據(jù)因式分解中的提公因式法解題即可；（2）運用十字相乘法分解因式即可；【詳解】（1）解：，，，∴；（2）解：，，∴，∴．題型七、換元法解一元二次方程【例7】．（24-25九年級上·廣東·期末）已知實數(shù)、滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程可化為，即：解得．∵，∴上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化，根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問題：(1)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120，直接寫出這四個連續(xù)的正整數(shù)．(2)已知實數(shù)、滿足，求的值．【答案】(1)這四個連續(xù)的正整數(shù)為，，，；(2)的值為．【分析】本題考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是正確理解“換元法”．（1）設(shè)這四個連續(xù)的正整數(shù)為，，，，，根據(jù)題意列方程，用換元法求解即可；（2）設(shè)，根據(jù)題意列方程，用換元法求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)這四個連續(xù)的正整數(shù)為，，，，為正整數(shù)，根據(jù)題意可得，∴，設(shè)，，則，解得或（舍去），∴，，∴，∴，，，答：這四個連續(xù)的正整數(shù)為，，，．（2）解：設(shè)，，則，∵，∴，∴，，∴，∴，答：的值為．【跟蹤訓練1】．（2025九年級上·全國·專題練習）請運用“整體換元法”解方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整體換元法解方程的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“整體換元法”設(shè)，則原方程可化為：，解新的一元二次方程，解出未知數(shù)后代入即可求解原方程的解．（2）根據(jù)“整體換元法”設(shè)，則原方程可化為：，解新的一元二次方程，解出未知數(shù)后代入即可求解原方程的解．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程可化為，解得．當時，；當時，，此方程無解．綜上所述，原方程的解為．（2）解：設(shè)，則原方程可化為，解得．當時，；當時，．綜上所述，原方程的解為．【跟蹤訓練2】．（24-25九年級上·貴州銅仁·期末）閱讀下列材料：解方程，解：設(shè)，則原方程化為，解得，．當時，，解得：；當時，，解得．原方程的解為：，，，．以上解一元二次方程的方法叫做換元法，通過換元法達到了降次或者簡化方程的目的，這體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想．(1)請用上述方法解下列方程：；(2)已知實數(shù)，滿足，求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】本題主要考查了運用換元法解方程．解決本題的關(guān)鍵是讀懂閱讀材料中的解題思路，通過換元的方法降低方程的次數(shù)，從而達到簡化方程的目的，使解方程更容易．（1）設(shè)，則原方程可化為，利用因式分解法求出未知數(shù)的值，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次主程，通過解一元一次方程求出原方程的解；（2）設(shè)，則原方程化為，通過解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根據(jù)平方的非負性把不符合條件的解舍去．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程可化為，分解因式可得：，解得：，，當時，可得：，解得：，當時，可得：，解得：，原方程的解為，；（2）解：，整理得：，設(shè)，則原方程化為，整理得：，分解因式可得：，解得：，，當時，，當時，(不符合題意，舍去)，．題型八：用合適的方法解一元二次方程【例8】．（24-25九年級上·寧夏銀川·期中）解方程：(1)（用配方法）；(2)（用公式法）；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法和配方法．（1）利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；（2）先計算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（3）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一次方程即可；（4）先計算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【詳解】（1）解：，，，，∴，解得，；（2）解：，，∵，，，∴，∴，∴，；（3）解：，，，∴或，解得：，；（4）解：，∵，，，∴，∴，∴，；【跟蹤訓練1】．（25-26九年級上·全國·期中）用適當方法解下列方程∶(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)，；(3)(4)【分析】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適的解法，如直接開平方法、因式分解法、公式法等．（1）方程，可先將方程兩邊同時除以4，再用直接開平方法求解；（2）方程，嘗試用因式分解法求解；（3）方程，用公式法求解；（4）方程，把看成一個整體，用因式分解法求解．【詳解】（1）解：（1），即，或，；（2）解：，，，；（3）解：，，，，；（4）解：，設(shè)，則方程變形為，，即，或，或，則或，解得．【跟蹤訓練2】．（25-26九年級上·四川成都·開學考試）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，換元法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．（1）用公式法求解；（2）用因式分解法求解；（3）先化為一般形式，再用公式法求解；（4）用換元法求解．【詳解】（1）解：，去括號，得，移項，得，，，，，，即，；（2），兩邊同除以2，得，方程左邊分解因式，得，所以或，解得，；（3），去括號，得,移項，得，合并同類項，得，，，，,所以，；（4）設(shè)，則原方程可化為，去括號，得，即，所以，所以或，解得：或，所以，，解得：，．【跟蹤訓練3】．（25-26九年級上·新疆·階段練習）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)原方程無實數(shù)根(3)；(4)【分析】本題考查了一元二次方程的求解，熟練掌握相關(guān)運算方法為解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法求該方程的解即可；（2）利用公式法求該方程的解即可；（3）先整理方程，再利用配方法求該方程的解即可；（4）利用因式分解法求該方程的解即可．【詳解】（1）解：，，或，；（2），，，原方程無實數(shù)根；（3），整理得：，，，，；（4），，，或，．題型九：解一元二次方程的綜合問題【例9】．（24-25九年級上·貴州遵義·階段練習）【閱讀感知】我們知道，解如的方程可以通過因式分解將其轉(zhuǎn)化為：，這樣就可以得到：或從而求出方程的解．類似的，我們也可以利用因式分解來解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通過提公因式法把它轉(zhuǎn)化為：，從而得到或，再解方程就可以得到【理解應(yīng)用】（1）將因式分解得______（2）解方程：【知識拓展】（3）試求方程組的解【答案】（1）（2）（3）或【分析】本題考查解方程和方程組，熟練掌握因式分解法解方程（組），是解題的關(guān)鍵：（1）提公因式法進行因式分解即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用平方差公式法將進行因式分解，將方程組化為兩個二元一次方程組，進行求解即可．【詳解】解：（1），∴；（2），∴，∴，∴；（3）∵，∴，∴可化為：或，解得或．【跟蹤訓練1】．（25-26九年級上·江蘇南京·開學考試）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若，求的值；(3)若方程有一個根不小于5，求的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：牢記“時，方程有實數(shù)根”；根與系數(shù)的關(guān)系，若是方程的根，則，利用因式分解法求出方程的解．（1）計算根的判別式的值，利用配方法得到，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到，先展開，再代入求解即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，結(jié)合該方程有一個根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范圍．【詳解】（1）證明：，，，，方程總有兩個實數(shù)根．（2）由是方程的根，，，解得．（3），即，，方程有一個根不小于5，，．的取值范圍是．【跟蹤訓練2】．（23-24九年級上·福建泉州·自主招生）已知關(guān)于的方程．(1)若兩根異號，且正根的絕對值較大，求整數(shù)的值；(2)若等腰的一邊長為，另兩邊的長恰好是方程的兩個根，求的周長【答案】(1)(2)等腰三角形的周長為或【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的意義，解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系，掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）利用公式法進行求解一元二次方程，得出，，再利用兩根異號，且正根的絕對值較大，得出，即可求解；（2）當邊長為3的邊為底時，可知方程有兩個相等的實數(shù)根，可求得m的值，再解方程，確定出三邊長；當邊長為3的邊為腰時，則可知方程有一個根為3，代入可求得m的值，則可求得方程的另一根，進而求得周長，注意根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理判斷是否成立．【詳解】（1）解：∵，∴，，，∵，∴，∴，，∵兩根異號，且正根的絕對值較大，∴，∴整數(shù)的值為；（2）解：①當為底邊長時，，，此時原方程為，解得：．、、能組成三角形，三角形的周長為；②當為腰長時，將代入原方程，得：，解得：，此時原方程為，解得：．、、能組成三角形，三角形的周長為，綜上所述：等腰三角形的周長為或．【高分演練】一、單選題1．（24-25九年級上·云南曲靖·期中）用公式法解方程時，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的值依次是（

）A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，，【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解答本題的關(guān)鍵．首先轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可．【詳解】解：整理得，∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的值依次是1，3，．故選：C．2．（24-25九年級上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，先移項，然后在方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，最后整理得，即可作答．【詳解】解：依題意，，移項得，，∴，故選：B3．（25-26九年級上·江蘇無錫·期中）關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則滿足（）A． B． C．，且 D．，且【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式可得且，解不等式即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，且，解得且，故選：．4．（25-26九年級上·山西運城·階段練習）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步驟：（1）化二次項系數(shù)為，當二次項系數(shù)不是時，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；（2）在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，使其中的三項成為完全平方式；（3）配方后將原方程化為的形式，然后用直接開平方的方法解方程．【詳解】解：，在方程兩邊同時除以，得：，即，配方，得：，即．故選：D．5．（25-26九年級上·山東青島·開學考試）對于實數(shù)，定義一種新運算“”：當時，；當時，．若，則實數(shù)（）A．10 B．4 C．4或 D．4或或10【答案】B【分析】本題考查新定義，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分兩種情況討論：當時，當時，再分別根據(jù)新定義列出方程，再解方程即可．【詳解】解：∵當時，則，當時，，∴當時，解得，不符合題意，舍去；當時，則，∴，∴，解得：，（舍去），∴，綜上，，故選：B．6．（24-25八年級下·安徽淮北·階段練習）已知關(guān)于x的一元二次方程的解是，，則另一個關(guān)于x的方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解．熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．換元法解一元二次方程，令，則方程即為方程，根據(jù)題意可得方程的解是，；則或，據(jù)此求解即可．【詳解】解：令，則方程即為方程，∵方程的解是，∴方程的解是，，∴或，解得，，，∴方程的解是，，．故選：B．7．（23-24九年級下·廣東深圳·開學考試）關(guān)于的方程，下列解法完全正確的是（

）甲乙丙丁兩邊同時除以（x-1）得到3．移項得1）=0，，或，．整理得，，，，，．整理得，配方得，，，．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解題關(guān)鍵是熟練掌握各方法的規(guī)則：因式分解法需保證因式分解的準確性，避免除以含未知數(shù)的式子；公式法需準確識別a、b、c的值；配方法需遵循“配方后等式兩邊加一次項系數(shù)一半的平方”的規(guī)則．本題需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同學的解法，判斷其是否符合一元二次方程的解題規(guī)則（如因式分解時不能隨意除以含未知數(shù)的式子、公式法中系數(shù)對應(yīng)準確、配方法步驟正確等），從而確定完全正確的解法．【詳解】解：甲的解法是“兩邊同時除以得到”，由于當時，，而0不能作為除數(shù)，這種操作會丟失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法錯誤；原方程移項應(yīng)為，而非，因此乙的解法錯誤；原方程整理為，，，而非28；且代入求根公式后結(jié)果也不匹配，因此丙的解法錯誤；原方程整理得，配方得，，，，丁的解法正確。綜上，只有丁的解法完全正確，故選：D．8．（24-25八年級下·浙江嘉興·階段練習）對于一元二次方程，下列說法：①若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；②若是一元二次方程的根，則；③存在實數(shù)，使得；④若是方程的一個根，則一定有成立其中正確的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程綜合．熟練掌握方程解的含義，根與判別式的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．一元二次方程的有關(guān)性質(zhì)．一元二次方程解的含義，代數(shù)變形，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，逐一分析每個命題的正確性，進行判斷即可．【詳解】命題①：∵方程有兩個不等實根，∴根判別式．∴原方程的判別式為，原方程必有兩個不等實根．∴①正確．命題②：∵是方程的根，∴，∴．∴．∴②正確．命題③：∵，∴．∴，∵，∴，∴．存在實數(shù)m、n滿足此條件（如取，）．∴③正確．命題④：∵c是方程的根，∴，∴．當時，方程成立但不一定為0．∴④錯誤．綜上，正確的命題為①②③，故選：D．二、填空題9．（24-25九年級上·北京海淀·期中）若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義．當，即時，原方程為一元一次方程，解得可得出x的值，進而可得出符合題意；當，即時，利用根的判別式，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，進而可得出且．綜上，即可得出m的取值范圍．【詳解】解：當，即時，原方程為，解得：，∴符合題意；當，即時，，解得：，∴且．綜上所述，m的取值范圍是．故答案為：．10．（22-23九年級上·江蘇·期中）已知三角形的兩邊長分別是4和7，第三邊長是方程的根，則第三邊的邊長是．【答案】9【分析】本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關(guān)系，能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的值是解題的關(guān)鍵，利用因式分解的方法得到，推出，，解得，，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊只能是9．【詳解】解：，，，，解得：；，，由于三角形兩邊之和大于第三邊，只能?。蚀鸢笧椋?．11．（24-25九年級上·江蘇蘇州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成．【答案】【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，利用配方法，首先移項，二次項系數(shù)化為1，再給等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，于是可將配方成，結(jié)合已知條件，求出p和q的值，進而即可求解．【詳解】解：，，，∴，∵方程可以配方成的形式，∴，，∴，∴為，∴，配方，得，即，故答案為：．12．（22-23九年級上·江蘇鹽城·階段練習）關(guān)于的方程的解是，（、、均為常數(shù)，），則方程的解是．【答案】，/，【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，首先把方程，整理成的形式，根據(jù)方程的解是，，可知方程的解是，，從而求出方程的解．【詳解】解：，整理得：，方程的解是，，方程的解是，，解得：，．故答案為：，．13．（21-22九年級下·安徽宣城·自主招生）為方程的兩個根，則代數(shù)式的值為．【答案】1【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題即可．【詳解】解：由題意知：，，∴．故答案為：．14．（25-26九年級上·重慶·開學考試）已知在正比例函數(shù)中，的值隨著的增大而增大，且關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為．【答案】【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象及性質(zhì)，一元二次方程根的情況，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式，算出不等式解集，求出整數(shù)解，即可解決問題．【詳解】解：∵正比例函數(shù)中，y的值隨著x的增大而增大，∴，∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即；∴，∵為整數(shù)，∴可取1，2，3；∴滿足條件的整數(shù)的值之和為：，故答案為：6．三、解答題15．（25-26九年級上·甘肅臨夏·階段練習）解方程：(1)(2)；(3)(4)．【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或．【分析】本題考查解一元二次方程的方法，熟練掌握一元二次方程的各種解法的步驟和注意點，靈活選用解法是解答的關(guān)鍵．（1）