5.4二次函數(shù)與一元二次方程第5章

二次函數(shù)教學(xué)目標01理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0的關(guān)系，能根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像確定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況02掌握直線與拋物線的交點問題——會求直線與拋物線的交點坐標，并會判斷直線與拋物線的交點個數(shù)圖像法確定一元二次方程的根的情況Q1：二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0有怎樣的關(guān)系？令y=0，得：ax2+bx+c=0當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y=0時，有一元二次方程ax2+bx+c=001問題引入Q2：觀察y=x2-3x-4的圖像，回答問題：(1)二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖像與x軸的交點A、B的坐標分別是A_______，B_______；(2)當x=_______時，函數(shù)的值y=0；(3)求一元二次方程x2-3x-4=0的解；(-1,0)(4,0)-1或4x=-1或x=401問題引入(4)二次函數(shù)y=x2-3x-4與x軸的交點，與一元二次方程x2-3x-4=0的解之間有什么關(guān)系？01問題引入二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點的橫坐標=一元二次方程ax2+bx+c=0的解Q3：(1)觀察二次函數(shù)y=x2+x-2、y=x2-6x+9、y=x2-x+1的圖像，分別說出一元二次方程x2+x-2=0、x2-6x+9=0、x2-x+1=0的根的情況。

兩個交點→兩個不同的實數(shù)根一個交點→兩個相同的實數(shù)根沒有交點→沒有實數(shù)根01問題引入(2)利用判別式法檢驗(1)中結(jié)論是否正確。

01問題引入y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸有兩個交點y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸有一個交點y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸有沒有交點ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不同的實數(shù)根ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相同的實數(shù)根ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根

圖像法確定一元二次方程的根的情況02知識精講y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交點的橫坐標=ax2+bx+c=0(a≠0)的解圖像法確定一元二次方程的根的情況02知識精講y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸有兩個交點y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸有一個交點y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸有沒有交點例1、求二次函數(shù)y=(x-5)(x-7)的圖像與x軸的交點坐標。解：令y=0，即(x-5)(x-7)=0，解得：x=5或x=7，∴二次函數(shù)y=(x-5)(x-7)的圖像與x軸的交點坐標為(5,0)和(7,0)。03典例精析例2、二次函數(shù)y=x2-6x+n的部分圖像如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一個解x1=1，求另一個解x2。解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸的一個交點為(1,0)，且對稱軸為x=3，∴另一個交點為(5，0)，∵y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交點的橫坐標=ax2+bx+c=0(a≠0)的解，∴x2-6x+n=0的另一個解x2=5。03典例精析例3、(1)求拋物線y=kx2+(2k+1)x+2的圖像與x軸的兩個交點；(2)若(1)中兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，試求出該二次函數(shù)的表達式；(3)已知拋物線y=kx2+(2k+1)x+2恒過定點，直接寫出定點的坐標。

03典例精析例3、(1)求拋物線y=kx2+(2k+1)x+2圖像與x軸的兩個交點；(2)若(1)中兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，試求出該二次函數(shù)的表達式；(3)已知拋物線y=kx2+(2k+1)x+2恒過定點，直接寫出定點的坐標。(2)∵(1)中兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，∴k=1，∴y=x2+3x+2；03典例精析03典例精析例3、(1)求拋物線y=kx2+(2k+1)x+2圖像與x軸的兩個交點；(2)若(1)中兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，試求出該二次函數(shù)的表達式；(3)已知拋物線y=kx2+(2k+1)x+2恒過定點，直接寫出定點的坐標。(3)解：∵y=kx2+(2k+1)x+2=(x2+2x)k+x+2恒過定點，∴x2+2x=0，∴x=-2或x=0，∴定點的坐標為(-2,0)或(0,2)。例4、拋物線y=ax2-2x+3與x軸有兩個交點，求a的取值范圍。

03典例精析例5、已知拋物線y=4x2+2x+c，且當-1<x<1時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍。

03典例精析例6、已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-(m-3)x-m=0(1)試判斷原方程根的情況；(2)若拋物線y=x2-(m-3)x-m與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由。（友情提示：AB=|x1-x2|）

03典例精析例6、已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-(m-3)x-m=0(1)試判斷原方程根的情況；(2)若拋物線y=x2-(m-3)x-m與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由。（友情提示：AB=|x1-x2|）

03典例精析直線與拋物線的交點問題Q1：求直線y=1與拋物線y=x2-3x+3的交點坐標直線與拋物線聯(lián)立，化簡可得一元二次方程

01問題引入Q2：求直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+7的交點坐標

01問題引入（一）求直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的交點坐標：直線與拋物線的交點問題

02知識精講直線與拋物線的交點問題∵聯(lián)立所得的一元二次方程的實數(shù)根=交點的橫坐標，∴交點個數(shù)可通過聯(lián)立所得的一元二次方程的根的情況判斷；02知識精講（二）判斷直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的交點個數(shù)：

例1、拋物線與直線y=m有交點，圖中拋物線的表達式為y=ax2+bx+c，根據(jù)圖像判斷下列方程根的情況。（1）方程ax2+bx+c=0的兩根分別為__________________;（2）方程ax2+bx+c-3=0的兩根分別為__________________;（3）方程ax2+bx+c=2的根的情況是__________________;（4）方程ax2+bx+c=4的根的情況是__________________。x1=-2.5，x2=0.5可以看作：拋物線y=ax2+bx+c與直線y=3聯(lián)立所得，故方程的兩根=拋物線y=ax2+bx+c與直線y=3交點的橫坐標。x1=-1，x2=-103典例精析例1、拋物線與直線y=m有交點，圖中拋物線的表達式為y=ax2+bx+c，根據(jù)圖像判斷下列方程根的情況。（1）方程ax2+bx+c=0的兩根分別為__________________;（2）方程ax2+bx+c-3=0的兩根分別為__________________;（3）方程ax2+bx+c=2的根的情況是__________________;（4）方程ax2+bx+c=4的根的情況是__________________?？梢钥醋鳎簰佄锞€y=ax2+bx+c與直線y=2聯(lián)立所得，故方程的根的情況需分析拋物線y=ax2+bx+c與直線y=2的交點情況。03典例精析有兩個不同的實數(shù)根x1=-2.5，x2=0.5x1=-1，x2=-1例1、拋物線與直線y=m有交點，圖中拋物線的表達式為y=ax2+bx+c，根據(jù)圖像判斷下列方程根的情況。（1）方程ax2+bx+c=0的兩根分別為__________________;（2）方程ax2+bx+c-3=0的兩根分別為__________________;（3）方程ax2+bx+c=2的根的情況是__________________;（4）方程ax2+bx+c=4的根的情況是__________________?？梢钥醋鳎簰佄锞€y=ax2+bx+c與直線y=4聯(lián)立所得，故方程的根的情況需分析拋物線y=ax2+bx+c與直線y=4的交點情況。03典例精析有兩個不同的實數(shù)根x1=-2.5，x2=0.5x1=-1，x2=-1沒有實數(shù)根例2、(1)求直線y=x+1與拋物線y=x2-1的交點坐標；(2)求直線y=2x-6與拋物線y=2x2-6x+4的交點坐標。

03典例精析例2、(1)求直線y=x+1與拋物線y=x2-1的交點坐標；(2)求直線y=2x-6與拋物線y=2x2-6x+4的交點坐標。

03典例精析例3、已知a，b是關(guān)于x的方程(x-a)(x-b)=2的兩個根，其中a<b，α<β，則實數(shù)a，b，α，β的大小關(guān)系可能是（）A.

a<α<β<b

B.

a<α<b<β

C.

α<a<β<b

D.

α<a<b<βB可以看作：拋物線y=(x-a)(x-b)與直線y=2聯(lián)立所得03典例精析課后總結(jié)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸有兩個交點y=ax2+bx+c(