2025年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：1.設(shè)矩陣A=(aij)是n階可逆矩陣，且aij=Aji，則下列說(shuō)法正確的是（）。A.|A|=-1B.A?是可逆矩陣C.A的伴隨矩陣A*是奇異矩陣D.A的所有特征值都是12.已知向量組α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，向量β?=2α?+α?,β?=α?-2α?,β?=-α?+3α?，則向量組β?,β?,β?的秩為（）。A.1B.2C.3D.不能確定3.設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則下列命題中正確的是（）。A.若|A|≠0，則|AB|=|BA|B.若秩(A)<n，則存在非零向量x使得Ax=0C.若AB=O，則A=O或B=OD.若B可逆，則AB與BA的秩相等4.設(shè)n階矩陣A滿足A2-2A-3I=O，則|A|的可能取值為（）。A.-3,1B.-1,3C.-3,0,1,3D.-1,0,2,35.齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是（）。A.秩(A)=nB.秩(A)<nC.A的行向量組線性相關(guān)D.A的列向量組線性相關(guān)6.設(shè)A是n階矩陣，λ?,λ?是A的兩個(gè)不同的特征值，α,β分別是對(duì)應(yīng)于λ?,λ?的特征向量，則下列向量中一定是A的特征向量的是（）。A.α+βB.α-βC.α+2βD.αβ7.設(shè)A是n階可逆矩陣，α是A的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則矩陣A3的特征向量是（），對(duì)應(yīng)的特征值是（）。A.α,λ3B.α,λC.Aα,λ3D.λα,λ38.n階實(shí)對(duì)稱矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是（）。A.A的所有特征值都是正數(shù)B.A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量C.A的秩為nD.A的特征值都是零二、填空題：1.設(shè)A=[12;34]，B=[56;78]，則|3A-2B|=______。2.若向量組α?=[112],α?=[13x],α?=[241]線性相關(guān)，則x=______。3.設(shè)A=[a?,a?,a?]是3×3非零矩陣，其中a?是A的第i列，且a?+2a?-a?=0，則|A|=______。4.齊次線性方程組[101;011;110]x=0的基礎(chǔ)解系為_(kāi)_____。5.設(shè)A是3×3矩陣，其特征值為1,2,-1，則|A|=______，tr(A)=______。6.將向量[101]?化為[100]?的正交變換矩陣Q（若存在）必須滿足______（寫一個(gè)條件即可）。三、解答題：1.計(jì)算行列式|A|，其中A=[123;012;211]。2.設(shè)向量組α?=[111],α?=[123],α?=[13x]。問(wèn)x取何值時(shí)，該向量組線性無(wú)關(guān)？當(dāng)x取何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？在線性相關(guān)時(shí)，求出一個(gè)向量用其余向量線性表示的表達(dá)式。3.已知矩陣A=[120;020;003]，求A的特征值和特征向量，并判斷A是否可對(duì)角化。若可對(duì)角化，求出可逆矩陣P，使得P?1AP為對(duì)角矩陣。4.解線性方程組[111;123;23x]x=[1;2;3]。5.設(shè)二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?。求該二次型的矩陣表示，并判斷它是否正定。---試卷答案一、選擇題：1.B解析：A是對(duì)稱矩陣，|A|=|A?|。因?yàn)锳可逆，所以|A|≠0且|A?|≠0。又因?yàn)锳?=A（由aij=Aji知aji=Aij=Aji），所以|A?|=|A|。因此|A|2=|A||A?|=|A|2，得|A|=1。所以A?也是可逆矩陣。A錯(cuò)誤，|A|=1。C錯(cuò)誤，因?yàn)锳可逆，|A|≠0，伴隨矩陣A*=|A|A?1≠O，所以A*是非奇異矩陣。D錯(cuò)誤，例如A=[10;02]是可逆矩陣，其特征值為1,2。2.B解析：考察新向量組能否由原向量組線性表出。設(shè)β?=x?α?+x?α?,β?=y?α?+y?α?,β?=z?α?+z?α?。由β?,β?,β?的表達(dá)式可得：[β?β?β?]=[α?α?][x?y?z?;x?y?z?]令矩陣C=[x?y?z?;x?y?z?]，則上式為B=AC。因?yàn)棣?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，所以矩陣A的秩為3。由矩陣乘法秩的性質(zhì)，有秩(B)≤min{秩(A),秩(C)}=min{3,秩(C)}。若β?,β?,β?線性相關(guān)，則向量組β?,β?,β?線性相關(guān)，秩(B)<3。結(jié)合上述不等式，必有秩(C)<3，即向量組x?α?+x?α?,y?α?+y?α?,z?α?+z?α?線性相關(guān)。反之，若β?,β?,β?線性無(wú)關(guān)，則秩(B)=3。由不等式秩(B)≤min{3,秩(C)}，必有min{3,秩(C)}=3，即秩(C)=3。因此，向量組β?,β?,β?線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣C的秩為3?，F(xiàn)在計(jì)算C的秩：C=[x?y?z?;x?y?z?]=[α?α?][x?x?;y?y?;z?z?]記D=[x?x?;y?y?;z?z?]，則C=AD。因?yàn)锳的列向量α?,α?,α?線性無(wú)關(guān)，所以矩陣A的列秩為3。由矩陣乘法列秩的性質(zhì)，有矩陣C的列秩≤秩(A)=3。計(jì)算D的秩：D的前兩列[x?y?]與[x?y?]的向量組與α?,α?線性相關(guān)（因?yàn)棣?,β?是α?,α?的線性組合）。所以[x?y?],[x?y?]線性相關(guān)，D的秩≤2。因此，矩陣C的秩≤min{3,2}=2。結(jié)合前面得出的結(jié)論：秩(C)=3或秩(C)≤2。所以秩(C)必須等于2。結(jié)論：向量組β?,β?,β?的秩等于矩陣C的秩，即秩(β?,β?,β?)=2。3.B解析：考察矩陣乘法和秩的性質(zhì)。設(shè)B=[b?b?b?]，其中b?是B的第i列。則AB=A[b?b?b?]=[Ab?Ab?Ab?]。由AB=O，得[Ab?Ab?Ab?]=[000]，即Ab?=0,Ab?=0,Ab?=0。這說(shuō)明B的每一列都是齊次線性方程組Ax=0的解向量。因?yàn)锳是非零矩陣，秩(A)≥1。齊次線性方程組Ax=0的解空間維數(shù)（即n-秩(A)）小于等于n。若B的列向量組線性無(wú)關(guān)，則秩(B)=n（這里n=3）。此時(shí)B的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成了解空間的全基，這意味著Ax=0只有零解。但由Ab?=0,Ab?=0,Ab?=0可知，B的每一列都是零向量，即B=O。這與秩(B)=n矛盾。因此，B的列向量組不可能線性無(wú)關(guān)，必是線性相關(guān)。即存在不全為零的常數(shù)c?,c?,c?，使得c?b?+c?b?+c?b?=0，即B的列向量組線性相關(guān)。4.C解析：考察特征值與行列式、跡的關(guān)系。設(shè)A的特征值為λ?,λ?,...,λ?。由A2-2A-3I=O，得(A-3I)(A+I)=O。根據(jù)矩陣可逆與特征值的關(guān)系，如果ab=O且a,b均可逆，則a和b都必須是零矩陣。這里A-3I和A+I不一定是零矩陣，但它們的乘積是零矩陣。這意味著A-3I和A+I中至少有一個(gè)是奇異矩陣（不可逆）。*若A-3I是奇異矩陣，則|A-3I|=0。λ是A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ-3是A-3I的特征值。所以至少有一個(gè)特征值λ滿足λ-3=0，即λ=3。*若A+I是奇異矩陣，則|A+I|=0。λ是A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ+1是A+I的特征值。所以至少有一個(gè)特征值λ滿足λ+1=0，即λ=-1。因此，A的特征值集合中必須包含3或-1（或兩者都有）。根據(jù)特征值的性質(zhì)，|A|=λ?λ?...λ?，tr(A)=λ?+λ?+...+λ?。*如果λ=3是特征值，那么|A|可能是3的倍數(shù)。例如，若特征值為3,1,-1，則|A|=3。若特征值為3,3,-1，則|A|=9。*如果λ=-1是特征值，那么|A|可能是-1的倍數(shù)。例如，若特征值為3,-1,-1，則|A|=-3。若特征值為1,-1,-1，則|A|=-1。*考慮A=[300;010;00-1]，滿足A2-2A-3I=[900;010;001]-[600;020;00-2]-[300;030;003]=[000;000;000]，即A=-I，此時(shí)|A|=|-I|=(-1)?=-1。其特征值為-1,-1,-1，滿足λ=-1。綜上，|A|的可能取值可以是-1,3,-3,9等等。選項(xiàng)C包含了這些可能性。5.B解析：齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的行列式等于零，或者等價(jià)地，系數(shù)矩陣A的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)n。*若秩(A)=n，則A是滿秩矩陣，由克萊姆法則，Ax=0只有零解。*若秩(A)<n，則Ax=0存在非齊次特解（基礎(chǔ)解系），其解空間維數(shù)大于零，因此存在非零解。因此，齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是秩(A)<n。6.C解析：考察特征向量的定義和性質(zhì)。設(shè)α=[a?a?...a?]?,β=[b?b?...b?]?。*Aα=λα=>A(α+2β)=Aα+2Aβ=λα+2λβ=λ(α+2β)。所以α+2β也是A的屬于特征值λ的特征向量（α,β不共線時(shí)）。*Aα=λα=>A(α-β)=Aα-Aβ=λα-λβ=λ(α-β)。所以α-β也是A的屬于特征值λ的特征向量（α,β不共線時(shí)）。*Aα=λα,Aβ=μβ(λ≠μ)。A(α+β)=Aα+Aβ=λα+μβ。λ(α+β)≠A(α+β)（除非μ=λ，與λ≠μ矛盾）。所以α+β不是A的特征向量。*Aα=λα,Aβ=μβ(λ≠μ)。A(αβ)=Aαβ=λαβ≠λβα≠βαA=βαA(除非λ=μ或βα=0，后者不成立)。所以αβ不是A的特征向量。綜上，只有選項(xiàng)C中的α+2β一定是A的特征向量。7.A解析：根據(jù)特征值與特征向量的定義，設(shè)α是A的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則Aα=λα。*計(jì)算A3α=A2Aα=A2(λα)=λA2α=λ2Aα=λ2(λα)=λ3α。所以α是A3的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值是λ3。*Aα=λα=>A?1Aα=λA?1α=>α=λA?1α=>A?1α=(1/λ)α(因?yàn)锳可逆，λ≠0)。所以α是A?1的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值是1/λ。*Aα=λα=>(A3)α=λ3α。所以α是A3的特征向量，對(duì)應(yīng)特征值λ3。*λα=λ[α]≠α(除非λ=1)。所以λα不是A的特征向量。因此，α是A3的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值是λ3。8.B解析：實(shí)對(duì)稱矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。*選項(xiàng)A錯(cuò)誤。A的所有特征值都是正數(shù)只是特征值的一個(gè)性質(zhì)，并不能保證A可對(duì)角化。例如，A=[10;010]是正定矩陣，可對(duì)角化。但A=[10;01]也可對(duì)角化，其特征值都是1。A=[10;0-1]不可對(duì)角化（特征值1,-1），但不是所有特征值都是正數(shù)。*選項(xiàng)B正確。這是實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的標(biāo)準(zhǔn)定義和充要條件。由線性代數(shù)基本定理，A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量<=>A與對(duì)角矩陣相似<=>A可對(duì)角化。*選項(xiàng)C錯(cuò)誤。秩(A)=n意味著A是滿秩矩陣，即A可逆。但可逆矩陣不一定可對(duì)角化。例如，A=[11;01]是可逆矩陣，但不可對(duì)角化。*選項(xiàng)D錯(cuò)誤。A的特征值都是零<=>A是零矩陣<=>A=O。零矩陣顯然可對(duì)角化（對(duì)角矩陣全是零），但這是特例。對(duì)于一般的實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值可以是非零的。二、填空題：1.-6解析：|3A-2B|=|3*([12;34])-2*([56;78])|=|[36;912]-[1012;1416]|=|[-7-6;-5-4]|=(-7)*(-4)-(-6)*(-5)=28-30=-2。這里計(jì)算有誤，重新計(jì)算：|3A-2B|=|[36;912]-[1012;1416]|=|[-7-6;-5-4]|=(-7)*(-4)-(-6)*(-5)=28-30=-2。還是不對(duì)。重新計(jì)算3A-2B:3A=[3*13*2;3*33*4]=[36;912]2B=[2*52*6;2*72*8]=[1012;1416]3A-2B=[3-106-12;9-1412-16]=[-7-6;-5-4]|[-7-6;-5-4]|=(-7)*(-4)-(-6)*(-5)=28-30=-2。仍然不對(duì)。重新計(jì)算行列式：|[-7-6;-5-4]|=(-7)*(-4)-(-6)*(-5)=28-30=-2?？雌饋?lái)計(jì)算過(guò)程沒(méi)問(wèn)題，但答案似乎與選項(xiàng)不符。可能是題目或計(jì)算有誤。按標(biāo)準(zhǔn)行列式計(jì)算，結(jié)果為-2。假設(shè)題目或參考答案有誤，或者考察的是|kA|=k?|A|。這里n=2,k=1。|3A-2B|=|(3I-2B)A|=|-7I|*|A|=(-7)2*|A|=49|A|。需要|A|的值。A=[12;34],|A|=1*4-2*3=4。所以|3A-2B|=49*4=196。這個(gè)結(jié)果也不在選項(xiàng)中。再次檢查行列式計(jì)算：|[-7-6;-5-4]|=28-30=-2。此步驟無(wú)誤。可能題目本身設(shè)計(jì)有問(wèn)題。暫定答案為-2，但需注意。2.5解析：向量組α?,α?,α?線性相關(guān)<=>存在不全為零的數(shù)k?,k?,k?使得k?α?+k?α?+k?α?=0。即k?[112]+k?[13x]+k?[241]=[000]。對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為：k?+k?+2k?=0①k?+3k?+4k?=0②2k?+xk?+k?=0③對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換：[112|0;13x|0;2x1|0]-R?+R?→R?:[112|0;02x-2|0;2x1|0]-2R?+R?→R?:[112|0;02x-2|0;0x-2-3|0]方程組有非零解的條件是系數(shù)矩陣的秩小于3，即增廣矩陣的秩也小于3。當(dāng)x-2=0即x=2時(shí)，系數(shù)矩陣變?yōu)閇112;020;00-3]，秩為3。當(dāng)x-2≠0即x≠2時(shí)，系數(shù)矩陣變?yōu)閇112;02x-2;00x-2]，若x-2>0，則秩為3。若x-2<0，則秩為2（因?yàn)?3≠0）。要使方程組有非零解，必須使系數(shù)矩陣的秩小于3。這意味著x-2必須小于0，即x<2。另一種方法是計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式：det=|112;13x;241|=1*(3*1-x*4)-1*(1*1-x*2)+2*(1*4-3*2)=1*(3-4x)-1*(1-2x)+2*(4-6)=3-4x-1+2x+8-12=-2x-2=-2(x+1)當(dāng)det=0時(shí)，方程組有非零解。即-2(x+1)=0=>x+1=0=>x=-1。因此，當(dāng)x=-1時(shí)，向量組線性相關(guān)。3.6,6解析：計(jì)算A的行列式|A|=|[120;020;003]|=1*2*3=6。所以A可逆（|A|≠0）。計(jì)算A的特征多項(xiàng)式p(λ)=|λI-A|=|[λ-1-20;0λ-20;00λ-3]|=(λ-1)(λ-2)(λ-3)。令p(λ)=0，得A的特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=3。對(duì)于特征值λ?=1，解(λ?I-A)x=0：[0-20;0-10;00-2][x?;x?;x?]?=[0;0;0]得x?=0,x?=0(無(wú)解),x?=0。即x=[100]?。對(duì)于特征值λ?=2，解(λ?I-A)x=0：[120;000;00-1][x?;x?;x?]?=[0;0;0]得x?=-x?,x?=0。即x=[1-10]?。對(duì)于特征值λ?=3，解(λ?I-A)x=0：[220;010;000][x?;x?;x?]?=[0;0;0]得x?=-x?,x?,x?任意。即x=[1-1t]?(t為任意常數(shù))?；A(chǔ)解系為{[100]?,[1-10]?,[1-1t]?}。共3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。因?yàn)锳有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A可對(duì)角化。對(duì)角矩陣D=[λ?00;0λ?0;00λ?]=[100;020;003]。取特征向量為列向量構(gòu)成矩陣P：P=[[111];[0-1-1];[00t]](t≠0)為了對(duì)角化，P需要可逆。P的行列式det(P)=1*(-1)*t=-t。要det(P)≠0，需t≠0。例如，取t=1，則P=[[111];[0-1-1];[001]]。計(jì)算P?1：P=[[111];[0-1-1];[001]]P?1=[[1-1-1;011;001]](通過(guò)行變換或伴隨矩陣法計(jì)算)驗(yàn)證：P?1AP=[[1-1-1;011;001]]*[[120];020;003]*[[111];[0-1-1];[001]]=[[1-1-1;011;001]]*[[111];[022];[003]]=[[1-1-1;022;003]]*[[111];[011];[001]]=[[100;010;001]]=D。所以，A可對(duì)角化，D=[[100;020;003]]，P=[[111];[0-1-1];[001]](t=1時(shí))。4.x=4解析：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換：[111|1;123|2;23x|3]-R?+R?→R?:[111|1;012|1;23x|3]-2R?+R?→R?:[111|1;012|1;01x-2|1]-R?+R?→R?:[111|1;012|1;00x-4|0]方程組有解的條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。系數(shù)矩陣的秩為2(第二行和第三行線性相關(guān):R?-R?=[00x-4|0])。增廣矩陣的秩也為2(第三行全零)。因此方程組有解。當(dāng)x=4時(shí)，第三行變?yōu)閇000|0]，方程組秩仍為2，有無(wú)窮多解。當(dāng)x≠4時(shí)，第三行變?yōu)閇001|0]，方程組秩為3，無(wú)解。所以方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)x=4。當(dāng)x=4時(shí)，方程組為：[111|1;012|1;000|0]對(duì)應(yīng)的方程組為：x?+x?+x?=1①x?+2x?=1②解②得x?=1-2x?。代入①得x?+(1-2x?)+x?=1=>x?-x?=0=>x?=x?。令x?=t(t為任意常數(shù))，則x?=t,x?=1-2t。解為：x=[x?x?x?]?=[t1-2tt]?(t∈R)。5.f(x?,x?,x?)=X?AX,A=[[111];[122];[121]],不是正定矩陣。解析：二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?可以寫成矩陣形式f(X)=X?AX，其中X=[x?x?x?]?。對(duì)應(yīng)的矩陣A=[[a??a??a??];[a??a??a??];[a??a??a??]]。對(duì)應(yīng)系數(shù)：a??=1,a??=2,a??=1,a??=a??=1,a??=a??=1,a??=a??=2。所以A=[[111];[122];[121]]。判斷A是否正定：方法一：計(jì)算順序主子式。Δ?=a??=1>0。Δ?=|[11;12]|=2-1=1>0。Δ?=|A|=|[111;122;121]|=1*(2*