2025年物理學考研量子力學沖刺押題試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。選擇正確選項前的字母填寫在題后括號內）1.已知粒子位置的不確定量Δx=?/4π，則粒子動量的最小不確定量Δp是多少？(A)?/16π(B)?/4π(C)?/2π(D)?/π2.一維無限深勢阱中，粒子處于基態(tài)（n=1）時，在勢阱寬度一半處發(fā)現(xiàn)粒子的概率為多少？(A)0(B)1/4(C)1/2(D)13.一維諧振子處于基態(tài)，其能量E?=hω/2。當它躍遷到第一激發(fā)態(tài)（n=2）時，發(fā)射的光子能量為多少？(A)hω/4(B)hω/2(C)3hω/2(D)2hω4.粒子處于狀態(tài)ψ(x)=Asin(kx+φ)，其中A、k、φ為常數(shù)，則該狀態(tài)函數(shù)所描述的粒子是：(A)具有確定動量的自由粒子(B)具有確定能量的粒子(C)波函數(shù)在x=0處為零(D)波函數(shù)在x軸上處處對稱5.兩個自旋量子數(shù)均為s=1/2的粒子組成的無相互作用體系，其總自旋S的可能取值z分量S_z的本征值為：(A)-1,0,1(B)-1,0(C)-1,1(D)0,1二、填空題（每小題4分，共20分。將答案填寫在題中橫線上）6.薛定諤時間獨立方程為________，其中?為約化普朗克常數(shù)，ψ(x,t)為波函數(shù)，V(x)為勢能。7.設粒子在一維無限深勢阱[0,a]中運動，其動量算符p?的本征值為?k，則相應的本征值為?k?的波函數(shù)ψ(x)的形式為________（用k?和a表示，不必歸一化）。8.氫原子中，電子從n=4能級躍遷到n=2能級輻射光子，該光子的波數(shù)為________（用里德伯常數(shù)R_H表示）。9.算符ā?和ā??對易關系為________。10.粒子處于自旋狀態(tài)ψ(s)=(α↑+β↓)/√2，其中α和β分別為自旋向上和向下的本征態(tài)，則粒子自旋角動量z分量S_z的期望值為________?。三、計算題（共65分）11.（10分）一個質量為m的粒子在勢能為V(x)=V?(α/x)(x>0)的場中運動，其中V?和α為常數(shù)，且x趨于無窮大時V(x)=0。設t=0時，粒子處于狀態(tài)ψ(x,0)=A(α/x)exp(-α2x2/2h2)，求粒子處于x=a處的概率密度P(x=0)。12.（15分）一維諧振子勢能V(x)=1/2mω2x2。求諧振子處于第一激發(fā)態(tài)（n=2）時，其能量E?及在x=0處和x=A?=√(?/mω)處的概率密度之比。其中?為約化普朗克常數(shù)。13.（15分）粒子在一維無限深勢阱[0,a]中運動。求粒子從n=2能級躍遷到n=1能級時，單位時間發(fā)生躍遷的概率（躍遷速率），假設波函數(shù)均為歸一化的簡正態(tài)。14.（15分）證明角動量平方算符L2和角動量z分量算符L_z對易，即[L2,L_z]=0。并用角動量算符的本征態(tài)表示波函數(shù)ψ(r,θ,φ)。15.（10分）考慮一維無限高勢壘，寬度為a。一個能量為E的粒子從x=0處入射。若E<V?（勢壘高度），求粒子透射到x=a右側的概率。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(B)3.(D)4.(A)5.(A)二、填空題6.-i??ψ(x,t)/?t=?2/2m?2ψ(x,t)/?x2+V(x)ψ(x,t)7.Asin(k?x)(A為歸一化常數(shù)，此處不要求)8.R_H(1/4-1/16)9.?10.0三、計算題11.解析思路：首先利用波函數(shù)的歸一化條件確定A的值。然后根據(jù)概率密度的定義|ψ(x,0)|2求出在x=a處的概率密度。將ψ(x,0)代入計算。答案：P(x=a)=1/πa212.解析思路：根據(jù)一維諧振子的能級公式E_n=(n+1/2)?ω，計算E?。諧振子本征態(tài)的波函數(shù)為ψ_n(x)=(√(2n/n!)*(mω/?)^(n/2)*exp(-mωx2/2?)*Hermite多項式H_n(x))。分別寫出n=1和n=2時的波函數(shù)形式，計算在x=0處和x=A?處的概率密度ψ?(0)和ψ?(A?)，然后計算其比值。答案：E?=3?ω/2;概率密度之比ψ?(A?)/ψ?(0)=113.解析思路：利用振子躍遷速率公式A??=(π/mω)*[(E?-E?)/?]3*|?n=1|e????|2，其中k=(2π/?)(E-E?)^(1/2)。對于n=2到n=1的躍遷，E=E?，k=0。計算定態(tài)波函數(shù)的矩陣元?n=1|e????=∫??ψ?(x)e????dx。將ψ?(x)=(1/√a)sin(πx/a)代入計算，得到A??=(π/mω)*(1/a2)*(1/4)=π/4ma2ω。答案：A??=π/4ma2ω14.解析思路：首先寫出L2和L_z的定義式L2=-?2(?2+1/r2?/?r(?/?r(r2))-1/r2L_z2)和L_z=-i?(?/?φ)。然后計算對易子[L2,L_z]=L2L_z-L_zL2。利用算符性質，如L2r?=-r2L_z，L_zr?=-rL_z，以及算符的乘法對易性（如[?/?r,r]=1，[?/?φ,φ]=1），逐項計算對易子。關鍵在于利用L_z的平方算符L_z2對角動量分量算符r?和θ?的對易性為零，以及L_z對徑向部分和角向部分的分離性質。答案：[L2,L_z]=0。波函數(shù)ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)，其中R(r)是徑向部分，Y(θ,φ)是球諧函數(shù)。球諧函數(shù)Y(θ,φ)滿足[L2,L_z]Y(θ,φ)=0和[L_z,Y(θ,φ)]=-i?Y(θ,φ)。因此[L2,L_z]ψ(r,θ,φ)=[L2,L_z]R(r)Y(θ,φ)+R(r)[L2,L_z]Y(θ,φ)=0。15.解析思路：利用一維無限高勢壘的透射系數(shù)公式T=1/