第=page11頁，共=sectionpages11頁2025--2026學(xué)年江蘇省南通市如皋市實(shí)驗(yàn)初中九年級（上）數(shù)學(xué)期中試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A. B. C. D.2.如圖，A，B，P是⊙O上三點(diǎn)，若∠P＝110°，則∠AOB的度數(shù)為（）

A.70° B.110° C.125° D.140°3.若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A. B. C. D.4.將拋物線向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得拋物線的表達(dá)式為（）A. B. C. D.5.如圖，一把遮陽傘撐開時，母線長為，底面半徑為，制作這把遮陽傘至少需要用布料（

）

A. B. C. D.6.如圖，過反比例函數(shù)上一點(diǎn)作軸于．若，則的值為（

）

A.3 B. C.12 D.7.如圖△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，點(diǎn)A在MB上，以AB為直徑作⊙O與MC相切于點(diǎn)D，則CD的長為（）

A. B. C.2 D.38.如圖，直線m是正五邊形的對稱軸，點(diǎn)P是直線m上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（）

A. B. C. D.9.已知直線y=kx（k＞0）與雙曲線交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則x1y2+x2y1的值為(

)A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.910.如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，，，，則的半徑為（

）

A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.已知反比例函數(shù)，若在每個象限內(nèi)隨的增大而增大，那么的取值范圍是

．12.已知點(diǎn)，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是（用“<”號連接）

．13.如圖，用一個半徑為6cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索粗細(xì)不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升了____

____cm．（結(jié)果保留）

14.如果點(diǎn)是拋物線上的兩個點(diǎn)，那么和的大小關(guān)系是

．（填“”，“”或“”）15.如圖，點(diǎn)都是上的點(diǎn)，，，則的度數(shù)為

．

16.如圖，的半徑是，是的優(yōu)弧的中點(diǎn)，弦，則的長為

，為上任意一點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，若，則與動點(diǎn)的運(yùn)動時間秒的函數(shù)表達(dá)式為

．

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)已知二次函數(shù)．

(1)將二次函數(shù)化成的形式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖象；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時x的取值范圍．18.(本小題8分)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年）規(guī)定，切線長定理由“選學(xué)”改為“必學(xué)”，并新增“會過圓外的一個點(diǎn)作圓的切線”．在學(xué)完《切線的性質(zhì)與判定》后，王老師布置一題：已知，如圖所示，及外一點(diǎn)P．

(1)按要求完成作圖步驟并準(zhǔn)確標(biāo)注字母，尺規(guī)作圖：作出線段的垂直平分線交于點(diǎn)A；以點(diǎn)A為圓心，為半徑作，與交于點(diǎn)B（點(diǎn)B位于直線上側(cè)），連接．(2)請問（1）中作圖得到的是的切線嗎？若是，請說明理由(3)設(shè)（1）中所作垂直平分線交于點(diǎn)C，若半徑為3，，求的長．19.(本小題8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫出不等式的解集；(3)點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且的面積等于面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．20.(本小題8分)如圖，為的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，交直線于D點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的直徑．21.(本小題8分)如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).

(1)求的值和圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上.

①當(dāng)時，求的值；②若到軸的距離小于2，請根據(jù)圖象直接寫出的取值范圍.22.(本小題8分)如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，且交的延長線于點(diǎn)，平分．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．23.(本小題8分)

已知拋物線為常數(shù)．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）；(2)若，兩點(diǎn)在此拋物線上，比較與的大??；(3)已知點(diǎn)，都在該拋物線上，求證：．24.(本小題8分)綜合與實(shí)踐

如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學(xué)提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？(1)【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和

，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或__

____m，_

_____m．根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空；(2)【類比探究】若，能否圍出矩形地塊？并仿照小穎的方法，在圖2中利用函數(shù)圖象說明理由．(3)【問題延伸】當(dāng)木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，求出直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)時的交點(diǎn)坐標(biāo)及的值．(4)【拓展應(yīng)用】外觀從以上積分中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問題”．若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍

．25.(本小題8分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（、為常數(shù)）的對稱軸為直線，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)、點(diǎn)均在這個拋物線上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱時，連接，求線段的長．(3)將此拋物線上、兩點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）記為圖象．當(dāng)圖象對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大先減小后增大時，設(shè)圖象G最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h，求的取值范圍；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，當(dāng)線段和圖象有公共點(diǎn)時，直接寫出的取值范圍．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】???????

17.【答案】【小題1】；【小題2】由（1）得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(-1，4)，對稱軸為：，開口向下，當(dāng)x=0時，y=3，∴交y軸正半軸3處，當(dāng)y=0時，x=1或-3，∴與x軸有兩個交點(diǎn)，綜上所述，圖像如圖所示：

【小題3】根據(jù)（2）所畫圖像可得，，－3＜x＜1.

18.【答案】【小題1】解：如圖，即為所求，【小題2】是的切線．理由如下：連接，∵是的直徑，∴，即于點(diǎn)B，∴是的切線．【小題3】連接，∵為的垂直平分線∴在中，∴，在中．

19.【答案】【小題1】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，，把的坐標(biāo)代入得，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；【小題2】解：觀察圖象可得，不等式的解集為：或；【小題3】解：連接，由一次函數(shù)的解析式為可得，∴，設(shè)，由題意可得，解得：，或．

20.【答案】【小題1】證明：連接，如圖，

∵為的直徑，∴，即，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∴，∴；【小題2】解：設(shè)交于點(diǎn)T，如圖，

∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，即的直徑為5；

21.【答案】【小題1】解：把代入，得，解得.∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.【小題2】①當(dāng)m=2時，n=11，②點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.

22.【答案】【小題1】證明：如圖連接，則，，平分，，，，交的延長線于點(diǎn)，，，是的半徑，且，是的切線．【小題2】是的直徑，，，，，，，，，，，，．

23.【答案】【小題1】解：∵，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【小題2】解：∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∵，，又∵，∴．【小題3】解：∵拋物線經(jīng)過，，∴拋物線對稱軸為直線，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，∴將代入得，∵，∴．

24.【答案】【小題1】???????42【小題2】不能圍出面積為的矩形；理由如下：的圖象，如圖中所示：∵與函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，∴不能圍出面積為的矩形．故答案為：與函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)；【小題3】如圖中直線：所示，∵直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，∴由唯一解，即：方程只有一個解，∴，解得：（負(fù)值舍去），此時：，解得：，當(dāng)時，，∴此時交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小題4】???????

25.【答案】【小題1】解：∵拋物線（、為常數(shù)）的對稱軸為直線，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；【小題2】解：∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于此拋物線的對稱軸直線對稱，∴，解得：，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∴線段的長為；【小題3】解：當(dāng)圖象G對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而先減小后增大，可知：點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在對稱軸的兩側(cè)，結(jié)合題意，點(diǎn)A在左側(cè)，點(diǎn)B在右側(cè)；可得：解得：；圖象G在