專題17整式的乘法（重難點(diǎn)題型專訓(xùn)）【知識(shí)考點(diǎn)整式的乘法】【解題知識(shí)必備】1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（1）法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.（2）注意：①系數(shù)：積的系數(shù)等于系數(shù)的積；②相同字母：相同字母的冪相乘；③單獨(dú)字母：連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（1）法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.（2）用式子表示：p(a+b+c)=pa+pb+pc（3）注意：①依據(jù)是乘法分配律；②積的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；③在做乘法運(yùn)算時(shí)，一定要注意單項(xiàng)式和多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號(hào)，不要乘錯(cuò)。3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（1）法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.（2）用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（3）注意：①不要漏乘；②符號(hào)問題；③最后結(jié)果應(yīng)化成最簡形式(是同類項(xiàng)的要合并).4.同底數(shù)冪的除法（1）法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．（2）用式子表示：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n都是正整數(shù)，m＞n）．（3）同底數(shù)冪的除法性質(zhì)的推廣：三個(gè)及以上的的同底數(shù)冪相除，即am÷an÷ap＝amnp（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m＞n+p）．（4）同底數(shù)冪除法性質(zhì)的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整數(shù)）．（5）注意：①底數(shù)a≠0，因?yàn)?不能做除數(shù)；②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應(yīng)用同底數(shù)冪除法的法則時(shí)，底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．5.零指數(shù)冪的意義（1）性質(zhì)：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即：a0=1(a≠0).（2）注意：①只有當(dāng)?shù)讛?shù)不為零時(shí)，它的零次冪才等于1.②底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但不能為0.6.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式（1）法則：單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)的冪分別相除作為商的因式；對(duì)于在被除式里含有的字母，則連它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.（2）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式分為三個(gè)步驟：①把系數(shù)相除，所得結(jié)果做為商的系數(shù)；②把同底數(shù)冪分別相除，所得結(jié)果作為商的因式；③把只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.7.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式（1）法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．（2）用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+bm÷n=a+b．（3）注意：①應(yīng)用法則就是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．②計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包含它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).③計(jì)算時(shí)不要漏項(xiàng)，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與被除式的項(xiàng)數(shù)相同．【重難點(diǎn)?？碱}型梳理】【題型01】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型02】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型03】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型04】同底數(shù)冪除法的有關(guān)運(yùn)算及逆用【題型05】零指數(shù)冪法則的有關(guān)運(yùn)算【題型06】單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型07】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【題型08】多項(xiàng)式乘積中不含某項(xiàng)的求值問題【題型09】整式乘法中的規(guī)律問題【題型10】整式乘法中的化簡求值【題型11】整式乘法的實(shí)際應(yīng)用【題型12】整式的混合運(yùn)算【特訓(xùn)13】綜合強(qiáng)化提升【特訓(xùn)14】直通中考真題【題型01】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【例1】（20252026八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：【分析】此題考查了單項(xiàng)式的乘法，熟練掌握單項(xiàng)式乘法法則是關(guān)鍵．根據(jù)單項(xiàng)式的運(yùn)算法則逐題計(jì)算即可．A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則：把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式，據(jù)此即可求出答案．故選:C．【答案】【分析】本題考查單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式及求值，根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，逆用冪的乘方，整體代入法進(jìn)行計(jì)算即可．故答案為：．【變式13】（20242025八年級(jí)上·湖北宜昌·階段練習(xí)）計(jì)算：-2【答案】4a【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，根據(jù)積的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則求解即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【解答】解：-===4a【題型02】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算運(yùn)算即可．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則；根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，可得相等的多項(xiàng)式，根據(jù)相等多項(xiàng)式的項(xiàng)相等，可得a，b的值，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．故選：．【變式22】（20242025七年級(jí)下·四川成都·期末）若規(guī)定符號(hào)abcd的意義是：abcd=ad-bc【答案】4【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．根據(jù)題意，列出式子，再將m2-3m-2=0變形為【解答】解：由題意得m==2=2m∵m2∴m2∴原式=2×2=4．故答案為：4．【變式23】（20242025八年級(jí)·黑龍江綏化·期中）計(jì)算：【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟知單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求解即可；（2）先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可得到答案．【題型03】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【答案】B【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．利用整式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．故選：B．【變式31】（20242025八年級(jí)上·河南周口·期末）若122x+1x+4=x【答案】13【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式相等的條件，代數(shù)式求值，先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開左式，再根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件求出p、【解答】解：12∵12∴x2∴p=92，∴p+q=9故答案為：132【變式32】（20242025七年級(jí)下·四川成都·期末）小明在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課后，設(shè)計(jì)了以下運(yùn)算xymn=xn-ym,‖x,y‖=3(x-y)．若M=a-2b??2a-ba+2b??-a-2b【答案】6【分析】本題考查了整式的乘法，整式的加減，根據(jù)新定義分別求得M,N，進(jìn)而根據(jù)M+N的取值與a無關(guān)，得出b=-1，再代入求值，即可求解．【解答】解：M==4=4=6N=3∴M+N=6=6=6∵M(jìn)+N的取值與a無關(guān)，∴b+1=0∴b=-1∴M+N=6×故答案為：6．【變式33】（20252026八年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：【分析】本題考查的是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；（1）先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并即可；（2）按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【題型04】同底數(shù)冪除法的有關(guān)運(yùn)算及逆用A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了冪的運(yùn)算，同底數(shù)冪的除法的逆應(yīng)用，冪的乘方的逆應(yīng)用，代數(shù)求值等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握各運(yùn)算的逆應(yīng)用．利用指數(shù)運(yùn)算法則，將所求表達(dá)式分解為已知條件的代數(shù)式，代入計(jì)算即可．故選：B．【答案】【分析】本題主要考查了積的乘方、同底數(shù)冪除法等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．先算乘方，再按照同底數(shù)冪除法法則計(jì)算即可．故答案為：．【變式42】（20242025七年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知10x=50,10y=12，則x-y【答案】281【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，根據(jù)同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵10x∴10又10∴x-y=2,9x故答案為：2；81【變式43】（20242025八年級(jí)上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知3a=4，3b(1)求3a+b(2)求32a【答案】(1)40(2)1【分析】本題考查了冪的運(yùn)算公式的逆用，能熟練利用冪的運(yùn)算公式的逆用進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．（1）由同底數(shù)冪的乘法公式逆用得3a+b（2）由冪的乘方及同底數(shù)冪的除法公式逆用得32a【解答】（1）解：∵3a=4，∴3=4=40；（2）解：∵3a=4，∴3==1．【題型05】零指數(shù)冪法則的有關(guān)運(yùn)算【答案】D【分析】本題考查了零指數(shù)冪．根據(jù)零指數(shù)冪的定義，任何非零實(shí)數(shù)的零次方都等于1，因此底數(shù)必須不為零．故選：D．A．0 B．1 C．－1 D．不能計(jì)算【答案】B故選：B．【答案】1，或2【分析】本題主要考查了0指數(shù)冪的性質(zhì)，全面分類是解題的關(guān)鍵；根據(jù)任何非0數(shù)的0次冪等于1；1的任何次冪都是1；的偶數(shù)次冪等于1這三種情況分類求解即可．綜上，滿足條件的所有整數(shù)的值為1，或2；故答案為：1，或2．【變式53】（20242025八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）計(jì)算：【答案】(1)；【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、立方根的定義計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可；（2）先根據(jù)零指數(shù)冪、絕對(duì)值、立方根的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可．；【題型06】單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【例6】（20242025八年級(jí)上·青海海北·期末）已知-5am+1b2n-1÷a3A．m=3，n=-1 B．m=1，n=4C．m=3，n=8 D．m=3，n=2【答案】D【分析】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則可得-5am+1-3b2n-1-1=-5a【解答】解：∵-5a∴-5a∴m-2=1，2n-2=2，解得：m=3，n=2，故選：D．【變式61】（20242025八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）已知2m3na2【答案】-16【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，以及求代數(shù)式的值，先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式得出6-b=0，2a-a=2，進(jìn)而求出a，b的值，再計(jì)算單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，最后再代入a，b的值計(jì)算即可．【解答】解：∵2∴4m∴6-b=0，2a-a=2，解得：b=6，a=2，∴2=4=-=-4【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算（包括積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式），解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用冪的運(yùn)算法則（同底數(shù)冪相乘除，底數(shù)不變指數(shù)相加減；積的乘方，各因式分別乘方再相乘）．【解答】解：按整式混合運(yùn)算順序計(jì)算：【變式63】（20242025八年級(jí)上·廣東東莞·期末）某科技館中“數(shù)理世界”展廳的WiFi密碼被設(shè)計(jì)成如圖所示的數(shù)學(xué)問題．小東在參觀時(shí)認(rèn)真觀察，輸入密碼后順利地連接到網(wǎng)絡(luò)，則“？”處的數(shù)字是．賬號(hào)：shulishijie密碼：前四位：SLSJ后四位：？xxx【答案】2025【分析】本題考查冪的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先化簡各式，得出密碼與指數(shù)的關(guān)系即可得答案．熟練掌握運(yùn)算法則，正確得出密碼與指數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【解答】解：x19y8∴密碼是x、y、z的指數(shù)按順序拼接而成的數(shù)字，∴x5∴密碼是2025．故答案為：2025．【題型07】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的有關(guān)運(yùn)算【例7】（20252026八年級(jí)上·全國·課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：【分析】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【變式71】（20242025七年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）已知xn+a+xn+b÷xn+1=A．-1 B．0 C．1 D．-1或1【答案】D【分析】本題考查了多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別與單項(xiàng)式相除即可．先根據(jù)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則把等式左邊化簡求出a，b的值，然后代入a+b計(jì)算即可．【解答】解：∵xn+a∴xn+a∴xa-1∴a-1=2,b-1=3或a-1=3,b-1=2，∴a=3,b=4或a=4,b=3，∴a-b=3-4=-1或a-b=4-3=1．故選D．【分析】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算．【變式73】（20242025八年級(jí)上·吉林通化·階段練習(xí)）【分析】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算方法求解即可．【題型08】多項(xiàng)式乘積中不含某項(xiàng)的求值問題【分析】本題考查的是多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算的結(jié)果中不含某項(xiàng)，先計(jì)算多項(xiàng)式的乘法，合并同類項(xiàng)，再根據(jù)不含某項(xiàng)建立方程求解即可.【答案】0【分析】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及整式的混合運(yùn)算－化簡求值，利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后根據(jù)積中不含和項(xiàng)，求出與的值，再化簡代數(shù)式，然后代入求解即可，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．；【答案】的值為6，的值為3【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再根據(jù)含和的項(xiàng)的系數(shù)都等于0，據(jù)此求解即可得．所以的值為6，的值為3．【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、積的乘方的逆運(yùn)算，求代數(shù)式的值，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（2）將m，n的值代入，再利用積的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．∵不含x項(xiàng)與項(xiàng)，【題型09】整式乘法中的規(guī)律問題【答案】(1)五；六；32(3)【分析】本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式系數(shù)的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值．故多項(xiàng)式的展開式是一個(gè)五次六項(xiàng)式，故答案為：五；六；32．(2)根據(jù)你的猜想，計(jì)算：【分析】本題考查了數(shù)字的變化，有理數(shù)的混合運(yùn)算，多項(xiàng)式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，多項(xiàng)式的乘法法則．（1）讀懂題意，尋找數(shù)字變化規(guī)律；（2）利用（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題；（3）原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．【變式92】（20252026八年級(jí)上·山西長治·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)探究日歷中的數(shù)學(xué)規(guī)律．．．．．．【分析】本題主要考查整式的運(yùn)算，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意直接進(jìn)行求解即可；故答案為7；7；；(1)分別寫出等比數(shù)列1，2，4，8的“2級(jí)等比數(shù)列”和“3級(jí)等比數(shù)列”；(2)若等比數(shù)列：，，，，．①求該等比數(shù)列的所有數(shù)之和．【答案】(1)級(jí)等比數(shù)列為：，，，級(jí)等比數(shù)列為：，，，(2)②證明見解析【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探索，整式乘法混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，理解材料提示的計(jì)算方法，掌握數(shù)字規(guī)律的計(jì)算及整式乘法混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料提示的計(jì)算方法求解即可；∴級(jí)等比數(shù)列為：，，，；∴級(jí)等比數(shù)列為：，，，；（2）①解：若等比數(shù)列：，，，，，【題型10】整式乘法中的化簡求值【例10】（20242025八年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）先化簡再求值：(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+2y)，其中【答案】-x2【分析】本題考查整式運(yùn)算中的化簡求值，先進(jìn)行多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，進(jìn)行化簡，再代值計(jì)算即可．【解答】解：原式=2=2=-當(dāng)x=3，y=12時(shí)，原式【變式101】（20242025七年級(jí)下·湖南婁底·期末）若a2+7a=5，則2a+1a+3-A．17 B．-1 C．5 D．11【答案】A【分析】本題考查整式化簡求值，先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、平方差公式去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可化簡，最后結(jié)合已知條件代入求值即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【解答】解：2a+1=2=2=∵a2∴原式=5+12=17．故選：A．【答案】，【分析】此題考查了整式的混合運(yùn)算——化簡求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則化簡，然后把x與y的值代入計(jì)算即可解答．【題型11】整式乘法的實(shí)際應(yīng)用【例11】（20242025八年級(jí)上·四川綿陽·期末）如圖是在一片長方形空地上設(shè)計(jì)一個(gè)長方形花圃的設(shè)計(jì)方案，已知空地的長比寬的2倍少1米，周邊的道路是等寬的．(1)設(shè)空地的寬是米，周邊道路的寬度是米，請(qǐng)表示出花圃的面積；(2)在（1）的條件下，若要求花圃的寬是米，請(qǐng)用表示出花圃的面積．【分析】本題考查了列代數(shù)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）理解題意，空地的長比寬的2倍少1米，設(shè)空地的寬是米，則分別表示出花圃的寬和長，再根據(jù)面積公式列式，即可作答．∵周邊道路的寬度是米，【變式111】（20242025七年級(jí)下·浙江衢州·期末）如圖，將邊長分別為2，3，5的正方形GBIR，AFNE，CJQH放置在長方形ABCD內(nèi)，陰影部分的面積分別為S1，S2，若【答案】26【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法在幾何圖形中的應(yīng)用，設(shè)AB=a，AD=b，則可得到GK=b-5，F(xiàn)G=a-5，MN=8-a，MQ=8-b，據(jù)此根據(jù)長方形面積計(jì)算公式求出S1【解答】解：設(shè)AB=a，∴GK=b-5，F(xiàn)G=a-2-3=a-5，∴S1S2∵S1∴64-8a-8b+ab=ab-5a-5b+25，∴a+b=13，∴2a+b∴長方形ABCD的周長是26，故答案為：26．【變式112】（20242025七年級(jí)下·河北石家莊·期末）如圖，某小區(qū)為改善業(yè)主的居住環(huán)境，準(zhǔn)備在一個(gè)長為3a+2b米，寬為2a+b米的長方形草坪上修建兩條寬為b米的小路．(1)求這兩條小路的總面積；（要求化成最簡形式）(2)若a=4,b=2，求這兩條小路的總面積．【答案】(1)2b(2)48平方米【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用，正確表示出這兩條小路的總面積是解題的關(guān)鍵．（1）這兩條小路的總面積等于長為3a+2b米，寬為b米的長方形面積加上長為2a+b米，寬為b米的長方形面積再減去邊長為b米的正方形面積，據(jù)此求解即可；（2）把a(bǔ)=4,b=2代入（1）所求式子中計(jì)算求解即可．【解答】（1）解：兩條小路的總面積為：b=2ab+=2（2）解：當(dāng)a=4,b=2時(shí)，2=2×=2×4+5×4×2=48平方米，即此時(shí)這兩條小路的總面積為48平方米．的遮陽簾水平向左拉伸時(shí)，恰好與在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．(2)【分析】（1）先將長方形的長和寬表示出來，再根據(jù)長方形面積公式，即可求解；本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)圖形列出式子進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握整式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【題型12】整式的混合運(yùn)算【例12】（20242025八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）計(jì)算：【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，積的乘方計(jì)算，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，最后合并同類項(xiàng)即可得到答案；（2）先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可得到答案．【變式121】（20242025七年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）計(jì)算：(1)1(2)4a【答案】(1)-(2)8【分析】本題主要考查整式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）原式先計(jì)算積的乘方和冪的乘方，然后再計(jì)算單項(xiàng)式的乘法和除塵運(yùn)算即可；（2）原式根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】（1）解：1===-（2）解：4a=4a=8b【變式122】（20242025七年級(jí)下·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知A，B均為整式，A=xy+1xy-1-2x2y2-xy+1小馬在計(jì)算(1)求A÷B的正確結(jié)果；(2)當(dāng)xy=2時(shí)，求A÷B的值．【答案】(1)xy+1(2)3【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式、合并同類項(xiàng)法則、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則．（1）先根據(jù)平方差公式和合并同類項(xiàng)法則求出A，再根據(jù)A-B=-x2y2，求出（2）把xy=2代入（1）中所求的A÷B，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】（1）解：A====-x∵A-B=-x-x∴B=-x∴A÷B=(-==xy+1；（2）當(dāng)xy=2時(shí)，A÷B=xy+1=2+1=3．【變式123】（20252026八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)-3(2)-4a(3)x-(4)-4a【答案】(1)-(2)1(3)-(4)3ab【分析】本題主要考查了積的乘方計(jì)算，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘除法計(jì)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式等計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式即可；（2）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，最后合并同類項(xiàng)即可；（3）先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可；（4）先根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可．【解答】（1）解：-=9==-（2）解：-==1（3）解：x==-（4）解；-===3ab-【特訓(xùn)13】綜合強(qiáng)化提升1.（20242025七年級(jí)下·陜西西安·期中）若2x-3ymx-ny=9y2-4A．-25 B．-1 C．1 D．25【答案】C【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，通過展開左邊多項(xiàng)式并與右邊比較系數(shù)，解出m和n的值，再計(jì)算m+n2【解答】解：2x-3y=2mx=9y∴2m=-4，解得m=-2；3n=9，解得n=3；∴m+n2故選C．2.（20242025七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，正方形ABCD和長方形EFGH的面積相等，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，F(xiàn)G過點(diǎn)D，連接DH，△DGH的面積為1．若記AE長為x，CF長為y，當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（

）A．x+y B．xy C．x2+【答案】B【分析】本題考查了三角形的面積，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，等式的性質(zhì)．連接DE，EC，設(shè)S△DEF=S，BE=m，根據(jù)題意可知S△DEC【解答】解：如圖，連接DE，EC，設(shè)S△DEF=S，∵S△DEC=12S正方形ABCD∴S△DEC∵S△DEF∴S△DEF∵S△DHE∴S△DHE∵S△DFC=1∴S+1∴xy=2，即代數(shù)式的值不變的是xy，故選：B．3.（20242025七年級(jí)下·重慶·期中）若a2-3a-2=0，則a【答案】0【分析】本題主要考查了整體思想，整式混合運(yùn)算，整體代入到代數(shù)式中求值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)條件得：a2-3a=2，用整式乘法運(yùn)算法則，求出【解答】解：∵a2∴a∴a====a=2a-=-=-=-2+2=0．故答案為：0．4.（20242025七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）聰聰計(jì)算一道整式乘法的題：x+m5x-4，由于聰聰將第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+m”抄成“-m”，得到的結(jié)果為5x2【答案】5【分析】本題考查了整式乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則即可得m=6，將m=6代入，根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則即可得．【解答】解：由題意，x-m5x-4∴4m=24，解得：m=6；∴正確的結(jié)果是：x+6=5x故答案為：5x5.（20242025七年級(jí)下·河南鄭州·期中）小鄭用6個(gè)長為m，寬為n的小長方形按如圖方式不重疊放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)長方形）用陰影表示，其面積分別表示為S1，S2，且S=S1-S2【答案】m=2n【分析】本題考查了整式的乘法與圖形面積，整式的乘法無關(guān)類型，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．設(shè)BC=x，求出S=S1-S2=2n-mx+2mn，根據(jù)當(dāng)【解答】解：設(shè)BC=x，∴S==2n==∵當(dāng)BC的長度變化時(shí)，S的值始終保持不變，∴2n-m=0即m=2n，故答案為：m=2n．6.（20242025七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）若等式x-s3x+t=3x2+mx-n恒成立，無論t【答案】27【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則把已給等式左邊展開得到3x2+t-3sx+-ts=3x2+mx-n，則m=t-3s，n=ts，據(jù)此可得【解答】解：∵x-s3x+t∴3x∴3x∴m=t-3s，∴3m+5n=3=3t-9s+5ts=3+5s∵無論t為何值，3m+5n的值始終為定值，∴3+5s=0，∴s=-3∴3m+5n=3+5s故答案為：2757.（20242025七年級(jí)下·四川成都·期中）已知代數(shù)式mx2+2x與x2+3nx+2積是一個(gè)關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，且化簡后含【答案】1【分析】由題意列式為(mx2+2x)(x2+3nx+2)，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開并合并同類項(xiàng)，再根據(jù)積是一個(gè)關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，且化簡后含x2項(xiàng)的系數(shù)為1求得【解答】解：(mx=mx4+3mnx∵代數(shù)式mx2+2x與x2+3nx+2積是一個(gè)關(guān)于x∴m=0，2m+6n=1，解得：m=0，n=1則m+n2故答案為：1368.（20242025八年級(jí)·全國·假期作業(yè)）已知單項(xiàng)式-2x3m-1y2n-3和7x【答案】6【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式和同類項(xiàng)的定義，注意相乘的結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式，只是系數(shù)和指數(shù)發(fā)生了變化，系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，把相同字母的指數(shù)相加，再根據(jù)同類項(xiàng)的定義即可求解．【解答】解：∵-2又∵單項(xiàng)式-2x3m-1y2n-3和∴3m+n-3=6m+2n-4=4

解得∴(mn)m+n∴(mn)m+n的值為6(1)求的值．【分析】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)進(jìn)行求解．（2）將（1）中的值代入代數(shù)式，再進(jìn)行多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算即可．【答案】小聰說得有道理，理由見解析【分析】本題主要考查多項(xiàng)式的乘法和合并同類項(xiàng)，根據(jù)題意將代數(shù)式展開，將同類項(xiàng)合并即可知小聰說的有道理．【解答】解：小聰說得有道理．則此題的結(jié)果與a、b無關(guān)．故小聰說得有道理．【分析】本題考查整式的乘法，熟練掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式以及積的乘方的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式以及積的乘方法則計(jì)算即可得到答案．【解答】解：存在．理由如下：12.（20242025七年級(jí)下·山東菏澤·期末）已知關(guān)于x的代數(shù)式x+2mx2-x+1(1)求m，(2)求代數(shù)式m2025【答案】(1)m=(2)2【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、積的乘方的逆運(yùn)算，求代數(shù)式的值，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)題意得出2m-1=012n（2）將m，n的值代入，再利用積的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】（1）解：x+2m==x3∵不含x項(xiàng)與x2∴2m-解得：m=1（2）m202513.（20242025八年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┘住⒁覂扇斯餐?jì)算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄錯(cuò)了a的符號(hào)，得到的結(jié)果是2x2-7x+3(1)求-2a+b(2)請(qǐng)計(jì)算這道題的正確結(jié)果．【答案】(1)-(2)2【分析】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行細(xì)心計(jì)算即可．（1）按甲乙錯(cuò)誤的說法計(jì)算得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；（2）將a，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．【解答】（1）解：甲抄錯(cuò)了a的符號(hào)的計(jì)算結(jié)果為：x-故b-乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，計(jì)算結(jié)果為：x+ax+b故a+b=2ab=∴b-解得：a=3b=∴-2a+b（2）由（1）可知a=3b=正確的計(jì)算結(jié)果為：x+3=2=2x14.（20242025七年級(jí)下·遼寧本溪·期末）已知x-2x2+mx+1(1)求m的值；(2)在（1）的條件下，求m+1m(3)計(jì)算100-1100【答案】(1)m=2(2)9(3)【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算，熟知多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出x-2x2+mx+1的結(jié)果，再根據(jù)不含x（2）先計(jì)算出m+1m（3）根據(jù)（2）所求可得原式=100【解答】（1）解：x-2==x∵x-2x2+mx+1∴m-2=0∴m=2；（2）解：m+1====9；（3）解：由（2）可得m+1m∴100-1==999999．15．（20242025七年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）先閱讀材料，再解答問題：例：已知x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，試比較解：設(shè)123456788=a，則x=(a+1)(a-2)=a∵x-問題：已知x=20242024×20242028-20242025×20242027，【答案】x=y【分析】此題主要考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，整式的加減運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)20242025=a，則20242024=a-1，20242026=a+1，20242027=a+2，20242028=a+3，20242029=a+4，進(jìn)而得x=(a-【解答】解：設(shè)20242025=a，則20242024=a-1，20242026=a+1，20242027=a+2，20242028=a+3，∴=(a==-y=20242025=a(a+4)===-∴16.（20242025七年級(jí)·湖南長沙·期中）【概念學(xué)習(xí)】我們規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運(yùn)算，記作a,b：如果ac=b，那么a,b=c；例如2【初步探究】（1）根據(jù)以上規(guī)定求出：4,64=；2024,1=【深入思考】對(duì)于相同底數(shù)的冪的乘法運(yùn)算，我們有ax例如24（2）小明發(fā)現(xiàn)5,3+設(shè)：5,3=x,5,4因?yàn)?x?5y=根據(jù)以上證明，請(qǐng)計(jì)算2024,6+（3）猜想4,14-【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由見解析【分析】本題考查有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪的乘除法的逆用，理解題中運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中運(yùn)算方法，結(jié)合有理數(shù)的乘方求解即可；（2）類比題中例題解法步驟結(jié)合同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算求解即可；（3）類比題中例題解法步驟結(jié)合同底數(shù)冪的除法運(yùn)算求解即可．【解答】解：（1）∵43=64∴4,64=3，2024,1故答案為：3，0；（2）設(shè)：2024,6=x,2024,7=y∵2024x∴2024,42=x+y∴2024,6+故答案為：42；（3）猜想4,14-設(shè)：4,14=x,4,7=y∵4x∴4,2=x∴4,14-故答案為：2．17．（20242025八年級(jí)上·福建泉州·期末）某學(xué)習(xí)小組在綜合實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)了“面積與代數(shù)恒等式”，知道很多代數(shù)恒等式可以用硬紙片拼成的圖形面積來解釋．(2)小組成員發(fā)現(xiàn)可利用（1）的結(jié)論解答下列問題：(2)①見解析，②a，b，c的值分別為10，3，2．【分析】（1）利用3個(gè)小正方形和6個(gè)長方形的面積之和等于大正方形的面積，列式即可；所以a，b，c不能成為一個(gè)三角形的三條邊長．又為整數(shù)綜上，a，b，c的值分別為10，3，2．18.（20242025八年級(jí)上·吉林·期中）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所示）就是一例．這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和．事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了(a+b)n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)(a+b)2=(1)計(jì)算：(a+b)0=(2)若(a+b)4=a4+ma3b+na(3)若(a+b)5=a5+xa4b+10a(4)直接寫出式子75【答案】(1)1(2)4，6(3)5，10(4)32【分析】本題考查了零指數(shù)冪、多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律問題，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)零指數(shù)冪計(jì)算即可得解；（2）由圖可得：(a+b)4（3）由圖可得：(a+b)5的各項(xiàng)系數(shù)為1，5，10，10，5，1，則(a+b)（4）由（3）可得：(a+b)5=a【解答】（1）解：∵a+b≠∴(a+b)0（2）解：由圖可得：(a+b)4∵(a+b)4∴m=4，n=6；（3）解：由圖可得：(a+b)5的各項(xiàng)系數(shù)為1，5，10，10，5，1∴(a+b)5∵(a+b)5∴x=5，y=10；（4）解：由（3）可得：(a+b)5∴7====32．【特訓(xùn)14】直通中考真題【答案】D【分析】本題主要考查單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，根據(jù)系數(shù)相乘，同底數(shù)冪相乘，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．故選：D．2．（2025·江蘇宿遷·中考真題）下列計(jì)算結(jié)果為的是