專題01特殊平行四邊形（2知識&6題型&7方法清單）【清單01】幾種特殊四邊形的性質(zhì)邊角對角線對稱性矩形平行且相等四個角都是直角互相平分且相等中心對稱圖形、軸對稱圖形菱形平行且四邊相等對角相等鄰角互補互相垂直平分中心對稱圖形、軸對稱圖形正方形平行且四邊相等四個角都是直角互相垂直平分且相等中心對稱圖形、軸對稱圖形【清單02】幾種特殊四邊形的常用判定方法判定方法矩形1.定義：有一角是直角的平行四邊形2.三個角是直角的四邊形3.對角線相等的平行四邊形菱形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形2.四條邊都相等的四邊形 3.對角線互相垂直的平行四邊形正方形1.定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形3.有一個角是直角的菱形【題型一】菱形的性質(zhì)與判定【答案】C故選：C．A． B． C． D．【答案】C故選：C．【例13】（2425九年級上·廣東佛山·期中）將2021個形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，使得右側(cè)菱形的頂點與左側(cè)菱形的對稱中心重合．若這些菱形的邊長為2，銳角為，則陰影部分的面積總和等于（

）【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意知，將2021個形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，得到2020個陰影菱形，且這些陰影菱形的大小完全一致，故選：C．（2）解：如圖，連接交于，即的長為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C，分別是，的中點，故選：C．【答案】【詳解】解：連接，∵點是的中點，故答案為：．（2）解：如圖，連接，交于點，是的中點，【題型二】矩形的性質(zhì)與判定【答案】D故選：D．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，連接，，由矩形性質(zhì)可得，也是中點，故選：．【答案】故答案為：．【答案】5【詳解】解：如圖，連接，故答案為：5【答案】故答案為：【詳解】（1）證明：∵點O是的中點，故答案為：1．【題型三】正方形的性質(zhì)與判定【答案】C故選：C．【例32】（2425九年級上·廣東河源·期中）將個邊長都為的正方形按如圖所示的方法擺放，點，，…，分別是正方形對角線的交點，則個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（

）【答案】A【詳解】由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，故選：A．【詳解】解：如圖，連接，，【答案】【詳解】（1）證明：∵將繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到，故答案為：．【題型四】中點四邊形A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【詳解】如圖所示，連接，，，，∵點E，F(xiàn)，G，H分別為、、、的中點，故選：C．

【答案】……故答案為：，【答案】D故不正確的選項是D，故選：D．【變式42】（2324九年級上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點，得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積是1，則第n個矩形的面積是．【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積、中點四邊形、圖形類規(guī)律探索、證明四邊形是菱形【詳解】已知第一個矩形的面積是1，【詳解】（1）解：如圖所示，連接∵點是的中點，點是的中點，∵點是的中點，點是的中點，理由如下：如圖所示，連接，【題型五】特殊平行四邊形中折疊求長度【答案】D故選：D．【答案】12∴正方形的邊長為12，故答案為：12．(2)如圖，若正方形邊長為，點為的中點，連接，求線段的長；（2）解：∵正方形邊長為，∵點為的中點，

【答案】B【詳解】如圖：

，故選：．【變式53】（2425九年級上·山西運城·期中）綜合與探究問題情境問題解決（1）如圖1，當(dāng)點F落在邊上時．①求的長．深入探究（2）的長為；如圖，【題型六】平行四邊形的動點問題【答案】或；∵以P，Q，C，D四點為頂點的四邊形是矩形，故答案為：或．故答案為：3．【變式61】（2223九年級上·山西忻州·期中）綜合與探究問題情境：如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=4cm，動點E，F(xiàn)分別從點A、C同時出發(fā)，點E以2cm/s的速度向終點B移動，點F以1cm/s的速度向點D移動，當(dāng)有一點到達終點時，另一點也停止運動設(shè)運動的時間為ts．問題解決：(1)連接EF，當(dāng)EF=5cm時，求運動的時間t的值；(2)連接DE，以點D，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形時，求t的值．【詳解】（1）解：如答圖，過點F作FG⊥AB于點G，∴∠FGE=∠FGB=90°，∵四邊形ABCD是矩形，AB=12cm，AD=4cm，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=4，∴四邊形BCFG是矩形，∴FC=GB=t，BC=FG=4，∵AE=2t，∴EG=122tt=123t，在Rt△EFG中，EF=5，由勾股定理，得∴運動的時間t的值為3或5；在Rt△ADE中，∠A=90°，由勾股定理，得∵以點D，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形，DF=12t，∴分三種情況：③當(dāng)EF=ED時，如答圖3，過點E作EM⊥DC于點M，∴DM=DF，∠DME=90°，∵四邊形ABCD是矩形，AB=12cm，AD=4cm，∴∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADME是矩形，∴DM=AE=2t，【變式62】（2324九年級上·山西運城·期中）綜合與探究

(1)當(dāng)運動停止時，的值為______．∵當(dāng)有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，所有點停止運動，此時點和點還未相遇，所以點只能在點的左側(cè)，

【題型一】“十字架”模型【模型解讀】在正方形的對邊分別取點并相連，所得兩條線段，若垂直，則相等；若相等，則垂直.簡記：垂直即相等；相等即垂直.①線段過頂點時，如圖（1）.易證△ADE≌△BAF(ASA②線段不過頂點時，如圖（2），作AN//EG,BM//HF.易證△ADN≌△BAM

(ASA)，∴AN=BM，∴(1)如圖這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？直接寫出結(jié)果．如圖，設(shè)與交于點，如圖，設(shè)與交于點，(2)試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．點P是中點，為的中點，【問題發(fā)現(xiàn)】【問題探究】【問題解決】故答案為．【題型二】對角互補模型【模型解讀】如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線AC，BD的交點，過點O作射線OM，ON，分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且∠EOF=90°，OC，EF交于點G結(jié)論：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③△(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中，判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；【詳解】（1）（2）故答案為：，6【變式21】（2425九年級上·河南周口·期中）綜合與實踐綜合實踐課上，老師給出了“鄰等對補四邊形”的定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．對于“鄰等對補四邊形”，同學(xué)們進行了如下研究．(1)操作判斷(2)遷移探究當(dāng)點在邊的延長線上時，以D，P，Q，C為頂點的四邊形能構(gòu)成鄰等對補四邊形嗎?若能構(gòu)成，寫出此時的長．（2）當(dāng)Q點在邊的延長線上時，以D，P，Q，C為頂點的四邊形能構(gòu)成鄰等對補四邊形，分兩種情況討論如下：【變式22】（2425九年級上·陜西寶雞·期中）【問題初探】【類比探究】【問題解決】故答案為：；故答案為：，；【變式23】（2425九年級上·廣東珠?！て谥校締栴}呈現(xiàn)】【問題初探】【問題引申】【創(chuàng)新拓展】如圖，取的中點，連接，【題型三】半角模型【模型解讀】如圖（1），在正方形ABCD中，E,F分別在BC,CD上，BD分別交AE,AF于M，N，若∠EAF=45°則有以下結(jié)論：①EF=BE+DF；②C△CEF=2AB；③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF如圖（2），在正方形ABCD中，E,F分別在CB的延長線、DC的延長線上，若∠EAF=45°則有以下結(jié)論：①FA平分∠DFE；②EF=DF?BE.故答案為：45；故答案為：2.8．

故答案為：．(1)在三角尺繞著點A旋轉(zhuǎn)的過程中．①請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．②四邊形AECF的面積是否為定值？如果是，求出這個值；如果不是，試說明理由．(2)如圖2，將這把三角尺角的頂點始終與點重合，角的一邊與交于點，另一邊與交于點．在旋轉(zhuǎn)的過程中，求點到線段的距離．即點A到線段的距離為2．【變式33】（2324九年級上·甘肅蘭州·期中）通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．【模型】我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決半角模型問題時，“旋轉(zhuǎn)”、“截長補短”均是常用的方法．(1)思路梳理：(2)類比引申點、、共線，如圖所示，點、、在一條直線上，(1)【發(fā)現(xiàn)】、、之間的數(shù)量關(guān)系為_______．(2)【類比引申】(3)【探究應(yīng)用】【詳解】（1）【發(fā)現(xiàn)】解：如下圖所示，理由如下：【題型四】根據(jù)垂線段最短求最值【模型解讀】在直角三角形中求線段長度的最小值時，通常利用矩形的對角線相等這一性質(zhì)將所求線段長度的最小值轉(zhuǎn)化成直角頂點與斜邊動點連線的長度的最小值，此時根據(jù)垂線段最短即可求解.

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接、，

∴要求的最小值就是要求的最小值．∵點P從B點沿著往D點移動，∴的長度最小為：．故選B．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短及面積法求直角三角形斜邊上的高，需要熟練掌握并靈活運用．正確的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】D∵為的中點，如圖，連接．∴當(dāng)最小時，最小，∴正確的有①③④．故選：D．【題型五】根據(jù)三角形三邊關(guān)系求最值【模型解讀】利用三角形三邊關(guān)系解決最值問題時，構(gòu)造出來的這個三角形要有兩條邊的長為定值，另外一邊為要求的那條邊.【答案】B故選：B．

A．2 B．0 C．8 D．9【答案】D【詳解】解：如圖，取中點，連接，，點是中點，點是的中點，故選：D．A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】B故選：．【答案】【詳解】解：如圖，取的中點，連接、、，故答案為：．【答案】A由線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，故選：A．【答案】B【詳解】解：連接、相交于H，連接，如圖，故選：B．【答案】①④⑤∴是的垂直平分線．連接，∴點M是上一定點，而M為對角線（不含B點）上任意一點，所以，無法得到是的垂直平分線，故本答案錯誤；④連接交于點O，∴點A和點C關(guān)于直線對稱，綜上所述①④⑤正確．故答案為：①④⑤．【題型六】“將軍飲馬”求最值【模型解讀】求直線同側(cè)兩點與直線上一動點所連線段和的最小值時，作其中一點關(guān)于直線的對稱點，將兩點轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè)，利用兩點之間線段最短求最小值.A．8 B．10 C．15 D．18【答案】B【詳解】解：連接交于點N，∵點D與點B關(guān)于對稱，故選：B．【答案】在線段上，故答案為：．【答案】∴點與點F關(guān)于直線對稱，故答案為：．【題型七】“費馬定理”求最值【模型解讀】“費馬點”是指到三角形三個頂點距離之和最小的點.主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于120°時，通常將其中一個小三角形繞大三角形的一個頂點旋轉(zhuǎn)60°.例如：將△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AQE，連接PQ,如圖（1）,則△APQ為等邊三角形，PA=PQ，QE=PC,即PA+PB+PC=PQ+PB+QE,當(dāng)B,P,Q,E【例7】如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為．【詳解】解：將△AMD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，∴AM＝MM′，∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，∴D′M、MM′、ME共線時最短，由于點E也為動點，【變式7】［2025新疆烏魯木齊校級期中］如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任意一點，連接AM，