專題04概率的進一步認識（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律用列舉法求概率熟練掌握列表法、樹狀圖法，能準(zhǔn)確列舉出所有等可能的結(jié)果，進而計算簡單隨機事件的概率；能根據(jù)不同情境，選擇合適的列舉方法解決概率問題。高頻考點，常以解答題形式出現(xiàn)，結(jié)合摸球、擲骰子、抽獎等實際場景考查，注重對列舉過程完整性和準(zhǔn)確性的考查。用頻率估計概率理解頻率的穩(wěn)定性，明確大量重復(fù)試驗時頻率可作為概率的估計值；能根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，用頻率估計概率，并解決相關(guān)實際問題。常以解答題形式考查，常結(jié)合統(tǒng)計圖表（如折線圖、表格等）呈現(xiàn)試驗數(shù)據(jù)；強調(diào)對“大量重復(fù)試驗”這一前提條件的理解，以及利用頻率估計概率解決實際決策類問題。概率的應(yīng)用能運用概率知識分析、解決實際生活中的問題，如游戲公平性判斷、獲獎概率計算、決策合理性分析等，體會概率在實際決策中的作用。核心考點，貫穿概率實際應(yīng)用類題目，在計算、決策類問題中高頻出現(xiàn)，常與其他知識（如統(tǒng)計）綜合考查。知識點01用列舉法求概率1.列舉法定義：在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，我們可通過列舉試驗結(jié)果的方法，分析出隨機事件發(fā)生的概率，這種方法稱為列舉法.用列舉法求概率的條件：1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個；2）每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.用列舉法求事件概率的“三步驟”：1）求出該試驗所包含的所有結(jié)果數(shù)n.2）求出該事件所包含的結(jié)果數(shù)m.2.列表法當(dāng)事件中涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，用表格不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，這種方法叫列表法.列表求概率的“三步驟”：1）列表：分清一次試驗中所涉及的兩個因素，一個為行標(biāo)，另一個為列標(biāo).2）計數(shù)：通過表格的數(shù)據(jù)，分別求出等可能的結(jié)果總數(shù)n，和事件包含的結(jié)果數(shù)m.3.樹狀圖法當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求事件發(fā)生的概率用畫樹狀圖法求概率的“四步驟”：1）定：確定該試驗的幾個步驟、順序、每一步可能產(chǎn)生的結(jié)果.2）畫：列舉每一環(huán)節(jié)可能產(chǎn)生的結(jié)果，得到樹狀圖.3）數(shù)：數(shù)出全部均等的結(jié)果數(shù)n和該事件出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m.知識點02用頻率估計概率1.頻率的穩(wěn)定性對一般的隨機事件，在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.2.用頻率估計概率一般地，在大量重復(fù)試驗中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定于某個常數(shù)p，我們稱事件A發(fā)生的概率為p.題型一用直接列舉法求概率解｜題｜技｜巧用列舉法求概率的條件：1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個；2）每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.1．（2526九年級上·全國·隨堂練習(xí)）甲口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中裝有3個相同的小球，它們分別寫有字母C，D和E；丙口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母H和I．從三個口袋中各隨機取出1個小球．(1)取出的3個小球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別是多少？(2)取出的3個小球上全是輔音字母的概率是多少？【答案】(1)取出的3個小球上恰好有1個元音字母的概率是512，恰好有2個元音字母的概率是13，恰好有3個元音字母的概率是(2)取出的3個小球上全是輔音字母的概率是16【分析】本題考查了用列舉法求概率，解題關(guān)鍵是正確理解題意．（1）根據(jù)題意列舉所有可能，再用概率公式計算即可；（2）根據(jù)題意列舉所有可能，再用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，列舉所有可能如下：ACH，ACI，ADH，ADI，AEH，AEI，BCH，BCI，BDH，BDI，BEH，BEI，共有12種情況，元音字母有：A，E，I，輔音字母有：B，C，D，H，取出的3個小球上恰好有1個元音字母：ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，共5種情況，取出的3個小球上恰好有2個元音字母：ACI，ADI，AEH，BEI，共4種情況，取出的3個小球上恰好有3個元音字母：AEI，共1種情況，取出的3個小球上恰好有1個元音字母的概率為512取出的3個小球上恰好有2個元音字母的概率為412取出的3個小球上恰好有3個元音字母的概率為112答：取出的3個小球上恰好有1個元音字母的概率是512，恰好有2個元音字母的概率是13，恰好有3個元音字母的概率是（2）解：由（1）可知，共有12種情況，取出的3個小球上全是輔音字母：BCH，BDH，共2種情況，∴取出的3個小球上全是輔音字母的概率為212答：取出的3個小球上全是輔音字母的概率是162．（2425九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）在如圖所示的電路圖中，隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3【答案】能讓燈泡L1發(fā)光的概率為1【分析】本題主要考查列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖法表示隨機事件等可能結(jié)果是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率公式的計算方法即可求解．【詳解】解：隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個的情況有，S其中能讓燈泡L1發(fā)光的是S∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為13．（2324九年級上·四川綿陽·期末）產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命，也是企業(yè)發(fā)展長遠的根本，做好產(chǎn)品質(zhì)量檢測是一件非常重要的事情．某零件廠生產(chǎn)了5件規(guī)格一樣的產(chǎn)品，因某道工序的不合理產(chǎn)生了2件次品，現(xiàn)從中不分先后一次性任意抽取3件進行檢驗．（記3件正品分別為A，B，C，2件次品分別為a，b）(1)列出“從5件產(chǎn)品中不分先后一次性任意抽取3件產(chǎn)品”的所有等可能結(jié)果；(2)求抽得的3件產(chǎn)品中至少含1件次品的概率．【答案】(1)見解析(2)9【分析】此題考查了列舉法求概率．（1）根據(jù)題意列舉出所有等可能結(jié)果即可；（2）利用概率公式進行解答即可．【詳解】（1）解：從5件產(chǎn)品中不分先后一次性任意抽取3件的所有等可能的結(jié)果有ABC，ABa，ABb，ACa，ACb，Aab，BCa，BCb，Bab，Cab．（2）解：由（1）得基本事件的總數(shù)為m=10，其中抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品的結(jié)果有n=1種．∴抽得的3件產(chǎn)品中至少含1件次品的概率為P=1-n4．（2024·江蘇南京·三模）用抽簽的方法從水平相當(dāng)?shù)?名同學(xué)甲、乙、丙中選1名去參加校文化節(jié)，事先準(zhǔn)備3張相同的小紙條依次畫上A、B、C．把3張紙條折疊后放入一個不透明的盒子中攪勻，然后讓3名同學(xué)去摸紙條，摸得畫A的紙條的同學(xué)去參加校文化節(jié)．小磊說：先抽的人中簽的概率大，后抽的人中簽的概率?。阃馑恼f法嗎？請說明理由．【答案】不同意，理由見詳解【分析】本題考查了列舉法求概率，先利用列舉法不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果數(shù)，再從中選出符合事件A結(jié)果數(shù)目，求出概率，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．先列出所有的等可能結(jié)果數(shù)A,B,C,A,C,B,B,A,C,B,C,A,【詳解】解：不同意，不妨按照甲、乙、丙的順序抽簽，共有A,B,C,A,C,B,B,A,C,B,C,A,∴PX∴甲、乙、丙中簽概率相同．題型二用列表法求概率解｜題｜技｜巧列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件包含的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求出該事件概率的方法.5．（2425九年級上·寧夏銀川·期中）一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“美”、“麗”、“靈”、“武”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．(1)若從中任取一個球，求摸出球上的漢字剛好是“美”的概率；(2)甲從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖或列表法，求甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“靈武”的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】本題主要考查了利用列表法或樹狀圖法求概率：（1）直接根據(jù)概率公式計算，即可求解；（2）根據(jù)題意，列出表格，可得一共有12種等可能結(jié)果，其中甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“靈武”的有2種，再根據(jù)概率公式計算，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：摸出球上的漢字剛好是“美”的概率為14（2）解：根據(jù)題意，列出表格如下：美麗靈武美麗美靈美武美麗美麗靈麗武麗靈美靈麗靈武靈武美武麗武靈武一共有12種等可能結(jié)果，其中甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“靈武”的有2種，所以甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“美麗”或“靈武”的概率為2126．（2526九年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）一個布袋里裝有三個小球，上面分別寫著“塔”，“山”，“石”，除文字外三個小球無其他差別．(1)從布袋里任意摸出一個小球，摸到文字恰好是“石”的概率(2)從布袋里任意摸出一個小球，記錄其文字，放回并搖勻，再從中任意摸出一個小球記錄其文字，求兩次記錄的文字有“塔”、“山”的概率．（要求列表或畫樹狀圖說明）【答案】(1)1(2)2【分析】本題考查概率公式和列表法求概率；（1）根據(jù)概率公式直接求解；（2）列表，找到所有情況及需要情況求解即可得到答案；【詳解】（1）解：從布袋里任意摸出一個小球，摸到文字恰好是“石”的概率為13（2）解：列表如下，塔山石塔塔塔山塔石塔山塔山山山石山石塔石山石石石共有9種等可能結(jié)果，其中兩次記錄的文字有“塔”、“山”的有2種，兩次記錄的文字有“塔”、“山”的概率為：297．（2526九年級上·廣東揭陽·階段練習(xí)）在一個布袋中裝有一個黃球、兩個白球（它們只有顏色不同），從中摸出兩個球，求兩個球都是白球的概率？（請用畫樹狀圖或列表法分析求解）【答案】1【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及摸到的兩個球都是白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】依題意列表得：二一黃白白黃——（黃，白）（黃，白）白（白，黃）——（白，白）白（白，黃）（白，白）——∴共有6種等可能的結(jié)果，其中兩個球都是白球的有2種，∴P（兩個白球）=28．（2526九年級上·全國·課后作業(yè)）某校數(shù)學(xué)組準(zhǔn)備了4個探究活動．活動1：在具體情境中探究拋物線模型；活動2：用變換設(shè)計圖案；活動3：探究圓周角與圓心角的關(guān)系；活動4：探究圖形與坐標(biāo)的關(guān)系．九（1）班數(shù)學(xué)老師將這4個活動分別寫在4張一樣的卡片上，并把卡片放進箱子里，搖勻后每個學(xué)生都依次從中隨機抽取1張，抽完后放回．(1)該班學(xué)生小明抽到活動2是________事件；（填序號）A．不可能

B．必然

C．隨機(2)請用列表的方法求小明和劉紅抽到不同活動的概率．【答案】(1)C；(2)34【分析】（1）直接根據(jù)事件的定義求解即可；（2）設(shè)四個活動分別為A、B、C、D，根據(jù)題意，可以列出如下的表格，從表格中找到兩個人不在同一活動的情況，根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）該班學(xué)生小明抽到活動2是隨機事件；故選：C.（2）設(shè)4個活動分別為A，B，C，D，列表如下：ABCDAAAABACADBBABBBCBDCCACBCCCDDDADBDCDD由表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和劉紅抽到不同活動的結(jié)果有12種，∴P（小明和劉紅抽到不同活動）=12【點睛】本題考查了列舉法求概率，正確的運算是解題的關(guān)鍵．題型三用樹狀圖法求概率解｜題｜技｜巧用樹狀圖可將試驗結(jié)果像樹枝分叉一樣一層一層表示出來，每個分支對應(yīng)一種可能結(jié)果.這樣由“樹根”到“樹梢”能幫助我們有序地思考，不重復(fù)、不遺漏地得出所有結(jié)果.9．（2425九年級上·安徽宿州·期中）為了檢查垃圾分類的落實情況，某居委會成立了甲、乙兩個檢查組，采取隨機抽查的方式分別對轄區(qū)內(nèi)的A，B，C，D四個小區(qū)進行檢查，并且每個小區(qū)不重復(fù)檢查，請用畫樹狀圖或列表的方法求甲組抽到A小區(qū)同時乙組抽到C小區(qū)的概率．【答案】1【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率．根據(jù)題意列出樹狀圖，找到甲組抽到A小區(qū)同時乙組抽到C小區(qū)的情況數(shù)和所有等可能的情況數(shù)，利用概率公式進行求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中甲組抽到A小區(qū)同時乙組抽到C小區(qū)的結(jié)果只有1種，∴甲組抽到A小區(qū)同時乙組抽到C小區(qū)的概率為11210．（2425九年級上·四川綿陽·期末）一個不透明的口袋中裝有四個完全相同的小球，將上面分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4．(1)從口袋中隨機摸出一個小球，求摸出小球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率？(2)先從口袋中隨機摸出1個小球，將小球上的數(shù)字記為a，在剩下的三個小球中再隨機摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為b，求a，b能使ax2+bx+2=0【答案】(1)1(2)1【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，一元二次方程根的判別式，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）根據(jù)判別式可得b2≥8a，且a≠0，再畫樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到滿足b2【詳解】（1）解：∵一共有四個小球，每個小球被摸出的概率相同，且數(shù)字是奇數(shù)的小球有2個，∴從口袋中隨機摸出一個小球，摸出小球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率為24（2）解：∵a，b能使ax∴a≠0Δ∴b2≥8a，且畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中滿足b2≥8a，且a≠0的結(jié)果數(shù)有∴a，b能使ax2+bx+2=0有兩個實數(shù)根成立11．（2425九年級上·河南開封·期末）小穎去洛陽旅游時購買了A，B，C，D四款擺件，如圖所示．每款擺件均裝在一個不透明的禮品盒內(nèi)，且這四個禮品盒完全相同．小穎先讓媽媽從四盒禮品中隨機選擇一個拿走，再讓爸爸從剩下的三個中隨機選擇一個拿走．(1)媽媽拿走的禮品盒里裝的是A款擺件的概率是．(2)請用畫樹狀圖法或列表法求媽媽和爸爸拿走后剩下的是A，D兩款擺件的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】本題考查列表法與樹狀圖法求概率以及用概率公式直接求概率，熟練掌握用列表法或畫樹狀圖法求概率的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式直接求概率即可．（2）畫樹狀圖，得到共有12種等可能的結(jié)果，其中剩下的是A，D兩款擺件的結(jié)果有2種，用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：∵有四個禮品盒，∴媽媽拿走的禮品盒里裝的是A款擺件的概率是14（2）解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下，由樹狀圖得共有12種等可能的結(jié)果，其中剩下的是A，D兩款擺件的結(jié)果有2種，∴剩下的是A，D兩款擺件的概率是21212．（2425九年級下·陜西西安·開學(xué)考試）慶祝北京冬奧會三周年暨奧林匹克歷史知識產(chǎn)權(quán)授權(quán)產(chǎn)品“冰墩墩”蛇年新春特別版“蛇墩墩”系列新品在北京發(fā)布，現(xiàn)場發(fā)布了五個形象的“蛇墩墩”手辦，產(chǎn)品在設(shè)計上則采用了“五福臨門”的?意．小明收集了如圖所示的五張印有“蛇墩墩”圖案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“祿星蛇墩墩”，C．“壽星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“財星蛇墩墩”（除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)將五張卡片背面朝上，洗勻放好．(1)小明從五張卡片中隨機抽取一張卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______；(2)小明從五張卡片中隨機抽取一張卡片，不放回，記下卡片正面內(nèi)容后，再將剩下四張卡片洗勻后從中隨機抽取一張卡片，記下卡片正面內(nèi)容，請用列表法或畫樹狀圖法，求小明兩次抽取的卡片中都沒有抽到“福星蛇墩墩”的概率．【答案】(1)1(2)3【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）先列表或畫樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩次抽取的卡片都沒有抽到“福星蛇墩墩”的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵一共有5張卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1張，且每張卡片被抽到的概率相同，∴小明從中隨機抽取一張卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率為15（2）解：畫樹狀圖下：則小明兩次抽取的卡片中都沒有抽到“福星蛇墩墩”的概率為1220題型四幾何概型解｜題｜技｜巧13．（2324九年級上·廣東東莞·期末）玩具廠商生產(chǎn)了一款由大小相等的小正方形格子構(gòu)成的飛鏢游戲板，還對其設(shè)計了兩種玩法．一種是向飛鏢板（如圖1）隨機投擲一枚飛鏢，另一種是將飛鏢板對折（如圖2），并先后隨機投擲兩枚飛鏢．請判斷這兩種玩法中飛鏢投中黑色區(qū)域的概率是否相等，并說明理由．【答案】不相等．理由見解析【分析】本題主要考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，用分數(shù)表示即可，注意每種情況發(fā)生的可能性相等．先直接根據(jù)概率公式求出投擲一枚飛鏢投中黑色區(qū)域的概率，然后再用列表法求出先后隨機投擲兩枚飛鏢投中黑色區(qū)域的概率，進行比較即可．【詳解】解：不相等．理由如下：投擲一枚飛鏢投中黑色區(qū)域的概率為：28先后投擲兩枚飛鏢的結(jié)果可列表為：白白白黑白(白，白)(白，白)(白，白)(白，黑)白(白，白)(白，白)(白，白)(白，黑)白(白，白)(白，白)(白，白)(白，黑)黑(黑，白)(黑，白)(黑，白)(黑，黑)∵共有16種等可能的結(jié)果，飛鏢投中黑色區(qū)域的結(jié)果有7種，∴先后隨機投擲兩枚飛鏢投中黑色區(qū)域的概率為：716∵14∴這兩種玩法對飛鏢投中黑色區(qū)域的概率不相等.14．（2324九年級上·浙江杭州·期中）有一個轉(zhuǎn)盤如圖，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動兩次，求

(1)第一次指針落在白色區(qū)域的概率為__________．(2)用畫樹狀圖或列表法求指針一次落在白色區(qū)域，另一次落在灰色區(qū)域的概率．【答案】(1)1(2)3【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)白色區(qū)域所占比例，利用概率公式可得答案．（2）將轉(zhuǎn)盤分成4個圓心角為90°的部分，畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及指針一次落在白色區(qū)域，另一次落在灰色區(qū)域的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：∵轉(zhuǎn)盤灰色扇形和白色扇形的圓心角分別為270°和90°，∴白色扇形區(qū)域面積是總區(qū)域的14∴第一次指針落在白色區(qū)域的概率是14（2）如圖，將轉(zhuǎn)盤分成4個圓心角為90°的部分，

畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中指針一次落在白色區(qū)域，另一次落在黑色區(qū)域的結(jié)果有6種，∴指針一次落在白色區(qū)域，另一次落在灰色區(qū)域的概率為61615．（2223七年級下·四川達州·期末）如圖是一大一小的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，甲盤被平均分成6等份，乙盤被平均分成4等份，每個轉(zhuǎn)盤均被涂上紅、黃、藍三種顏色，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的顏色即為轉(zhuǎn)出的顏色，小明與小穎參與游戲；小明轉(zhuǎn)動甲盤，小穎轉(zhuǎn)動乙盤．(1)小明轉(zhuǎn)出的顏色為紅色的概率為______；(2)小明轉(zhuǎn)出的顏色為黃色的概率為______；(3)小穎轉(zhuǎn)出的顏色為黃色的概率為______；(4)兩人均轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)出的顏色為紅色，則勝出，你認為該游戲公平嗎？為什么？【答案】(1)1(2)1(3)1(4)不公平，見解析【分析】（1）根據(jù)甲盤被平均分成6等份，其中紅色有1等份，再根據(jù)概率公式即可得出答案；（2）根據(jù)甲盤被平均分成6等份，其中黃色有3等份，再根據(jù)概率公式即可得出答案；（3）根據(jù)乙盤被平均分成4等份，其中黃色有2等份，然后根據(jù)概率公式即可得出答案；（4）根據(jù)概率公式先求出小明和小穎轉(zhuǎn)出的顏色為紅色的概率，然后進行比較，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵甲盤被平均分成6等份，其中紅色有1等份，∴小明轉(zhuǎn)出的顏色為紅色的概率為16故答案為：16（2）解：∵甲盤被平均分成6等份，其中黃色有3等份，∴小轉(zhuǎn)出的顏色為黃色的概率為36故答案為：12（3）解：∵乙盤被平均分成4等份，其中黃色有2等份，∴小穎轉(zhuǎn)出的顏色為黃色的概率為24故答案為：12（4）解：不公平，因為小明轉(zhuǎn)出的顏色為紅色的概率為16，小穎轉(zhuǎn)出的顏色為紅色的概率為1而14所以不公平．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．（2122七年級下·山東淄博·期中）向如圖所示的等邊三角形區(qū)域內(nèi)扔沙包（區(qū)域中每個小等邊三角形除顏色外完全相同），沙包隨機落在某個等邊三角形內(nèi)．(1)扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是________；(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為12【答案】(1)3(2)2個，理由見解析【分析】（1）由圖中共有16個等邊三角形，其中陰影部分的三角形有6個，利用概率公式計算可得；(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為12，所以圖形中陰影部分的小等邊三角形要達到8【詳解】（1）解：圖中共有16個等邊三角形，其中陰影部分的三角形有6個，∴扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是616故答案為：38（2）解：涂黑2個；∵圖形中有16個小等邊三角形，要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為12∴所以圖形中陰影部分的小等邊三角形要達到8個，已經(jīng)涂黑了6個，∴還需要涂黑2個；如圖所示：【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件(A)；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件(A)發(fā)生的概率．題型五利用頻率估計概率解｜題｜技｜巧頻率與概率是兩個不同的概念，概率是伴隨著隨機事件客觀存在的，只要有一個隨機事件存在，那么這個隨機事件的概率就一定存在;而頻率是通過試驗得到的，它隨著試驗次數(shù)的變化而變化.當(dāng)試驗的重復(fù)次數(shù)充分大時，頻率在概率附近擺動.為了求出隨機事件的概率，我們可以通過多次重復(fù)試驗，用所得的頻率來估計概率.17．（2425九年級上·廣東江門·期末）在一個不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外無其他差別的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001503005008001000摸到紅球的次數(shù)m6193b301480601摸到紅球的頻率ma0.620.590.6020.600.601(1)上表中的a=，b=；(2)“摸到紅球”的概率的估計值是（精確到0.1）；(3)如果袋中有24個紅球，那么袋中除了紅球外，還有多少個其它顏色的球？【答案】(1)0.61,177(2)0.6(3)16個【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．（1）利用頻率=頻數(shù)÷樣本容量直接求解即可；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當(dāng)n很大時，摸到白球的頻率接近0.6；（3）根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到紅球的概率為0.6，然后利用概率公式計算其它顏色的球的個數(shù)．【詳解】（1）解：a=61÷100=0.61，b=300×0.59=177，故答案為：0.61，（2）由表格的數(shù)據(jù)可得，“摸到紅球”的概率的估計值是0.6．故答案為：0.6；（3）24÷0.6-24=16(個)，答：除紅球外，還有大約16個其它顏色的小球．18．（2425九年級上·寧夏銀川·期末）某漁民準(zhǔn)備將自家的魚塘轉(zhuǎn)讓出去，現(xiàn)在需要通過估計魚塘中魚的數(shù)量來估算魚塘的價值．他從魚塘中打撈了200條魚．在每一條魚身上做好標(biāo)記后，把這些魚放歸魚塘，經(jīng)過一段時間后，再從魚塘中打撈魚．通過多次實驗得到數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問題：每次打撈魚數(shù)50100200300500每次打撈魚中帶標(biāo)記的魚數(shù)4111931n打撈到帶標(biāo)記的魚的頻率0.080m0.0950.1030.100(1)表中m=______，n=______；(2)隨機從魚塘中打撈一條魚，根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計打撈到帶標(biāo)記的魚的概率為______（精確到0.1）；(3)若每條魚大約40元，則這片魚塘的價值大約是多少？【答案】(1)0.110，50(2)0.1(3)這片魚塘的價值大約是80000元．【分析】本題考查利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)÷總數(shù)求解即可；（2）利用頻率估計概率即可；（3）用200除以打撈到的魚是帶標(biāo)記的魚的概率可得總條數(shù)，再計算總錢數(shù)即可．【詳解】（1）解：m=11÷100=0.110，n=500×0.100=50；故答案為：0.110，50；（2）解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計打撈到帶標(biāo)記的魚的概率為0.1；故答案為：0.1；（3）解：這個魚塘中魚約有200÷0.1=2000（條），2000×40=80000（元），答：這片魚塘的價值大約是80000元．19．（2324八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）工廠質(zhì)檢員對甲員工近期生產(chǎn)的產(chǎn)品進行抽檢，統(tǒng)計合格的件數(shù)，得到如下表格：抽取件數(shù)（件）501002003005001000合格頻數(shù)4994192285m950合格頻率0.980.940.960.950.95n(1)表格中m的值為，n的值為．(2)估計任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率．(3)該工廠規(guī)定，若每被抽檢出一件不合格產(chǎn)品，需在相應(yīng)員工獎金中扣除給工廠2元的材料損失費，今天甲員工被抽檢了460件產(chǎn)品，估計要在他獎金中扣除多少材料損失費？【答案】(1)475，0.95(2)估計任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率為0.05(3)46元【分析】本題考查了利用頻率估計概率的方法：（1）根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率，即可求解；（2）根據(jù)6次次襯衫從50件增加到1000件時，襯衣合格的頻率趨近于0.95，所以估計襯衣合格的概率為0.95，即可；（3）用2乘以被抽檢出一件不合格產(chǎn)品的數(shù)量，即可求解．【詳解】（1）解：m=500×0.95=475，n=950故答案為：475，0.95（2）解：∵抽取件數(shù)為1000時，合格的頻率趨近于0.95，∴估計襯衣合格的概率為0.95，∴估計襯衣不合格的概率為1-0.95=0.05故答案為0.05．（3）解：2×460×1-0.95即估計要在他獎金中扣除46元材料損失費．20．（2324九年級上·浙江杭州·期中）某園林基地，特地考察一種花卉移植的成活率，對本基地這種花卉移植成活的情況進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖．請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，回答下列問題：(1)這種花卉成活的頻率穩(wěn)定在附近，估計成活概率為（精確到0.1）．(2)該園林基地已經(jīng)移植這種花卉10000棵．①估計這批花卉成活的棵數(shù)；②根據(jù)某大型小區(qū)需要成活99000棵這種花卉，估計還需要移植多少棵？【答案】(1)0.9，0.9(2)①估計這種花卉成活9000棵；②估計還要移植棵【分析】本題考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量，理解概率的意義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)統(tǒng)計圖可得頻率，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可得概率；（2）①用10000乘以成活的概率即可；②用移植的總棵數(shù)減去已經(jīng)移植的棵數(shù)．【詳解】（1）解：由圖可知，這種花卉成活的頻率穩(wěn)定在0.9附近，估計成活概率為0.9；故答案為：0.9，0.9；（2）①10000×0.9=9000（棵），答：估計這種花卉成活9000棵；②99000÷0.9-10000=100000（棵），答：估計還要移植棵．題型六游戲公平性解｜題｜技｜巧游戲雙方獲勝的概率相等，說明游戲是公平的，否則說明游戲不公平.21．（2425九年級上·安徽六安·期末）小華和妹妹做游戲，游戲規(guī)則如下：小華先將3枚勛章放在如圖所示3×3的方格中，然后妹妹再從其余六個小正方形中任選一個放置勛章，若勛章所在方格構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，則小華獲勝，否則妹妹獲勝．問上述游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．【答案】不公平，理由見詳解【分析】本題考查了概率的計算與游戲公平性的判斷，具體涉及以下知識點：等可能事件概率的計算，游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)，軸對稱圖形的概念應(yīng)用，理解這些是計算相關(guān)概率的關(guān)鍵前提．分別計算出小華獲勝和妹妹獲勝的概率，通過找出妹妹放置勛章后能使圖形成為軸對稱圖形的所有情況，來計算小華獲勝的概率；用總情況數(shù)減去小華獲勝的情況數(shù)得到妹妹獲勝的情況數(shù)，進而計算妹妹獲勝的概率【詳解】解：妹妹從其余六個小正方形中任選一個放置勛章，所以總共有6種等可能的結(jié)果．通過觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)妹妹放置勛章后能使圖形成為軸對稱圖形的情況有4種，小華獲勝的概率：P小華獲勝妹妹獲勝的概率：P妹妹獲勝因為23所以此游戲規(guī)則不公平．22．（2425九年級上·寧夏銀川·期中）如圖，有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、B，轉(zhuǎn)盤A被均勻分成4等份，每份標(biāo)上1、2、3、4四個數(shù)字；轉(zhuǎn)盤B被均勻分成6等份，每份標(biāo)上1、2、3、4、5、6六個數(shù)字．有人為甲、乙兩人設(shè)計了一個游戲，其規(guī)則如下：（1）同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A與B．（2）轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字（如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止），用所指的兩個數(shù)字作乘積，如果所得的積是偶數(shù)，那么甲勝；如果所得的積是奇數(shù)，那么乙勝．你認為這樣的規(guī)則是否公平？請你說明理由；如果不公平，請你設(shè)計一個公平的規(guī)則，并說明理由．【答案】不公平，設(shè)計一個公平的規(guī)則見解析，理由見解析【分析】本題考查了利用列舉法求概率，熟練掌握列舉法是解題關(guān)鍵．先畫出樹狀圖，則可得用所指的兩個數(shù)字作乘積的所有等可能的結(jié)果，再找出所得的積是偶數(shù)的結(jié)果、所得的積是奇數(shù)的結(jié)果，然后利用概率公式求出甲勝、乙勝的概率，由此即可得這樣的規(guī)則不公平．設(shè)計一個公平的規(guī)則：（1）同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A與B；（2）轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字（如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止），用所指的兩個數(shù)字求和，如果所得的和是偶數(shù)，那么甲勝；如果所得的和是奇數(shù)，那么乙勝．同樣的方法求出甲勝、乙勝的概率，由此即可得．【詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，用所指的兩個數(shù)字作乘積，共有24種等可能的結(jié)果，其中，所得的積是偶數(shù)的結(jié)果有18種，所得的積是奇數(shù)的結(jié)果有6種，則甲勝的概率是P=1824=34因為34所以這樣的規(guī)則不公平．設(shè)計一個公平的規(guī)則：（1）同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A與B；（2）轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字（如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止），用所指的兩個數(shù)字求和，如果所得的和是偶數(shù)，那么甲勝；如果所得的和是奇數(shù)，那么乙勝．這樣的規(guī)則是公平的，理由如下：由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，用所指的兩個數(shù)字求和，共有24種等可能的結(jié)果，其中，所得的和是偶數(shù)的結(jié)果有12種，所得的和是奇數(shù)的結(jié)果有12種，則甲勝的概率是P=1224=12因為12所以這樣的規(guī)則公平．23．（2425九年級上·廣東潮州·期末）如圖，兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤A被分成3等份，轉(zhuǎn)盤B被分成2等份，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1，2，3，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是1，2．小王與小張兩名同學(xué)用這兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，游戲規(guī)則如下：同時用力轉(zhuǎn)動A，B兩個轉(zhuǎn)盤．兩個轉(zhuǎn)盤停止后，將指針?biāo)竻^(qū)域的兩數(shù)相乘（當(dāng)指針落在兩個扇形的交線上時，當(dāng)作指向右邊的扇形），如果積為2(1)用列表法或畫樹狀圖求小王獲勝的概率；(2)你認為這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，請你改變游戲規(guī)則，使這個游戲?qū)﹄p方都公平．【答案】(1)2(2)不公平，規(guī)則見解析【分析】1列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；2修改使雙方獲勝的概率相等即可．本題考查的是游戲公平性的判斷以及列表法與樹狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，列表如下：12311232246一共有6種等可能結(jié)果，其中兩個數(shù)的積為2的倍數(shù)有4種結(jié)果，所以，P(積為2的倍數(shù))=4因此小王獲勝的概率是2（2）解：不公平，游戲規(guī)則修改為：兩個轉(zhuǎn)盤停止后，將指針?biāo)竻^(qū)域的兩數(shù)相加，如果和為2的倍數(shù)，則小王獲勝：否則，小張獲勝(答案不唯一)24．（2425九年級上·福建·期中）已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球的概率是12，得到紅球或黃球的概率是3(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；(2)設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色，若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝．從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．【答案】(1)盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)為2個，1個和1個(2)游戲不公平，理由見解析【分析】本題考查的是根據(jù)概率求數(shù)量和游戲公平性的判斷．（1）根據(jù)概率計算出各小球的數(shù)量即可；（2）列表求出甲、乙獲勝的概率，然后比較解答即可．【詳解】（1）解：紅球的個數(shù)為4×12=2個，黃球的個數(shù)為藍球個數(shù)為4-2-1=1個，答：盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)為2個，1個和1個；（2）解：游戲不公平，理由為：列表為：紅1紅2黃藍紅1紅1，紅1紅2，紅1黃，紅1藍，紅1紅2紅1，紅2紅2，紅2黃，紅2藍，紅2黃紅1，黃紅2，黃黃，黃藍，黃藍紅1，藍紅2，藍黃，藍藍，藍由表格可知共有16種等可能結(jié)果，甲勝出的結(jié)果數(shù)有6種，乙勝出的結(jié)果數(shù)有10種，故甲勝的概率為616=38，∵38∴游戲不公平．題型七概率中的“放回”與“不放回”問題解｜題｜技｜巧對于“放回”和“不放回”的題目，易錯點在于不知道如何判斷是“放回”還是“不放回”，只要判斷正確，然后結(jié)合樹狀圖等方法就能迎刃而解.25．（2425九年級上·全國·期末）一個不透明的袋子中裝有兩個黃球和兩個紅球，任意摸出一球后放回，再任意摸出一球，求兩次都摸到紅球的概率．【答案】1【分析】通過列表將兩次摸球的所有組合情況呈現(xiàn)出來，然后找出滿足兩次都摸到紅球的組合數(shù)量，最后依據(jù)概率公式計算出兩次都摸到紅球的概率．本題主要考查利用列表法求概率，熟練掌握用列表法不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果，并根據(jù)概率公式準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)兩個黃球為黃1、黃2，兩個紅球為紅1、紅2，列表如下：第一次摸球╲第二次摸球黃1黃2紅1紅2黃1（黃1，黃1）（黃1，黃2）（黃1，紅1）（黃1，紅2）黃2（黃2，黃1）（黃2，黃2）（黃2，紅1）（黃2，紅2）紅1（紅1，黃1）（紅1，黃2）（紅1，紅1）（紅1，紅2）紅2（紅2，黃1）（紅2，黃2）（紅2，紅1）（紅2，紅2）從表中可以看出，總共有4×4=16種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到紅球的結(jié)果有4種．∴兩次都摸到紅球的概率P=4故答案為：1426．（2223九年級上·全國·期中）將如圖所示的牌面數(shù)字分別是2，3，4，5的四張撲克牌背面朝上，洗勻后放在桌面上．(1)從中隨機抽出一張牌，牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是________；(2)從中隨機抽出兩張牌，兩張牌面數(shù)字的和是5的概率是________；(3)先隨機抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機抽取一張，將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字，請用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是4的倍數(shù)的概率．【答案】(1)1(2)1(3)1【分析】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）根據(jù)概率公式計算即可得解；（2）根據(jù)概率公式計算即可得解；（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：2，3，4，5共有4張牌，隨意抽取一張為偶數(shù)的概率為24故答案為：12（2）解：2，3，4，5共有4張牌，從中隨機抽出兩張牌，結(jié)果有：2和3，2和4，2和5，3和4，3和5，4和5，共6種情況，其中兩張牌面數(shù)字的和是5的情況有1種為2和3，故從中隨機抽出兩張牌，兩張牌面數(shù)字的和是5的概率是16故答案為：16（3）解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有16種可能結(jié)果：22，23，24，25，32，33，34，35，42，43，44，45，52，53，54，55，其中恰好是4的倍數(shù)的共有4種，即24，32，44，52，所以兩位數(shù)恰好是4的倍數(shù)的概率是41627．（2021九年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場券．于是，老師就設(shè)計了這樣的一個游戲：一口袋裝有除顏色外均相同的2個白球1個紅球和1個藍球，通過摸球來決定誰去觀看演出．方案如下：第一次隨機從口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，兩人勝負規(guī)則如下：摸到“一白一紅”，則小穎去觀看；摸到“一紅一藍”，則小亮去觀看．(1)這個方案公平嗎?請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由；(2)你若認為這個方案不公平，那么請你改變兩人勝負規(guī)則，設(shè)計一個公平的方案．【答案】(1)這個游戲公平，詳見解析(2)拿出一個白球或放進一個藍球，其他不變．游戲就公平了．【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．畫出樹狀圖，求出他們各自獲勝的概率是解答本題的關(guān)鍵．（1）畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式即可求出概率，比較概率即可得出結(jié)論；（2）讓二者的概率相同即可．【詳解】（1）解：游戲方案不公平．由樹狀圖可以看出：共有12種可能，摸到“一白一紅”有4種，摸到“一紅一藍”的情況有2種，故小穎獲勝的概率為412=13，小亮獲勝的概率為212（2）拿出一個白球或放進一個藍球，其他不變．游戲就公平了．28．（2425九年級上·內(nèi)蒙古烏海·期末）某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計概率”的試驗時，在一個不透明的布袋中裝有除顏色外完全相同的紅球和白球共5個，組員小華做摸球試驗，他將球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，再放回布袋中，不斷重復(fù)上述過程．下表是試驗中的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)．摸球次數(shù)10204060100150200紅球出現(xiàn)次數(shù)591826416181紅球出現(xiàn)的頻率0.50.450.450.4330.410.4070.405(1)從這個布袋中隨機摸出一個球，估計這個球恰好是紅球的概率約為________（保留一位小數(shù)）；(2)從這個布袋中隨機摸出一個球，不放回，再摸出一個球，請用畫樹狀圖法或列表法求摸出的兩個球恰好是“一紅一白”的概率．【答案】(1)0.4(2)3【分析】本題考查了利用頻率估計概率的方法，列表法與樹狀圖法求概率，理解頻率和概率的意義以及用頻率估計概率的方法是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)大量的試驗結(jié)果穩(wěn)定在0.4左右即可得出結(jié)論；（2）先求出袋中紅白球的個數(shù)，再列表得出所有等可能的結(jié)果，繼而利用概率公式求解即可．【詳解】（1）從這個布袋中隨機摸出一個球，這個球恰好是紅球的概率為0.4，故答案為：0.4；（2）∵袋子中紅球的個數(shù)約為5×0.4=2（個），∴袋子中白球有3個，列表如下：紅紅白白白紅（紅，紅）（白，紅）（白，紅）（白，紅）紅（紅，紅）（白，紅）（白，紅）（白，紅）白（紅，白）（紅，白）（白，白）（白，白）白（紅，白）（紅，白）（白，白）（白，白）白（紅，白）（紅，白）（白，白）（白，白）由表可知共有20種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個球恰好“一紅一白”的有12種結(jié)果，∴摸出的兩個球恰好“一紅一白”的概率為：P=1220期中重難突破練（測試時間：15分鐘）29．（2024·廣東廣州·中考真題）善于提問是應(yīng)用人工智能解決問題的重要因素之一．為了解同學(xué)們的提問水平，對A，B兩組同學(xué)進行問卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對每名同學(xué)的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：A組75788282848687889395B組75778083858688889296(1)求A組同學(xué)得分的中位數(shù)和眾數(shù)；(2)現(xiàn)從A、B兩組得分超過90分的4名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)參與訪談，求這2名同學(xué)恰好來自同一組的概率．【答案】(1)A組同學(xué)得分的中位數(shù)為85分，眾數(shù)為82分；(2)1【分析】本題考查了中位數(shù)與眾數(shù)，列表法或樹狀圖法求概率，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）由題意可知，A、B兩組得分超過90分的同學(xué)各有2名，畫樹狀圖法求出概率即可．【詳解】（1）解：由題意可知，每組學(xué)生人數(shù)為10人，∴中位數(shù)為第5、6名同學(xué)得分的平均數(shù)，∴A組同學(xué)得分的中位數(shù)為84+862∵82分出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，∴眾數(shù)為82分；（2）解：由題意可知，A、B兩組得分超過90分的同學(xué)各有2名，令A(yù)組的2名同學(xué)為A1、A2，B組的2名同學(xué)為B1畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，其中這2名同學(xué)恰好來自同一組的情況有4種，∴這2名同學(xué)恰好來自同一組的概率41230．（2024·山東青島·中考真題）學(xué)校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想?yún)⒓?，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復(fù)上述過程．(1)小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是______；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．【答案】(1)1(2)樹狀圖見解析，該游戲?qū)﹄p方公平【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結(jié)果數(shù)，再分別找到兩次數(shù)字之和大于4和小于4的結(jié)果，再依據(jù)概率計算公式計算出兩人獲勝的概率即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵一共有3張牌，其中寫有數(shù)字1的牌有1張，且每張牌被摸到的概率相同，∴小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是13故答案為：13（2）解：畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，一共有6種（和為4的不符合題意）等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的數(shù)字之和大于4的結(jié)果數(shù)有3種，兩次摸到的數(shù)字之和小于4有3種，∴小明獲勝的概率為36=1∴小明和小紅獲勝的概率相同，∴該游戲?qū)﹄p方公平．31．（2024·河北·中考真題）甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有a+b,2a+b,a-b，除正面的代數(shù)式不同外，其余均相同．a(chǎn)+b2a+ba-ba+b2a+2b2a2a+ba-b2a(1)將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，當(dāng)a=1,b=-2時，求取出的卡片上代數(shù)式的值為負數(shù)的概率；(2)將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機抽取一張．請在表格中補全兩次取出的卡片上代數(shù)式之和的所有可能結(jié)果（化為最簡），并求出和為單項式的概率．【答案】(1)1(2)填表見解析，4【分析】（1）先分別求解三個代數(shù)式當(dāng)a=1,b=-2時的值，再利用概率公式計算即可；（2）先把表格補充完整，結(jié)合所有可能的結(jié)果數(shù)與符合條件的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：當(dāng)a=1,b=-2時，a+b=-1，2a+b=0，a-b=1--2∴取出的卡片上代數(shù)式的值為負數(shù)的概率為：13（2）解：補全表格如下：a+b2a+ba-ba+b2a+2b3a+2b2a2a+b3a+2b4a+2b3aa-b2a3a2a-2b∴所有等可能的結(jié)果數(shù)有9種，和為單項式的結(jié)果數(shù)有4種，∴和為單項式的概率為49【點睛】本題考查的是代數(shù)式的值，正負數(shù)的含義，多項式與單項式的概念，利用列表法求解簡單隨機事件的概率，掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．32．（2024·江蘇蘇州·中考真題）一個不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節(jié)，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分攪勻．(1)若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為______；(2)若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）【答案】(1)1(2)1【分析】本題考查了利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次事件的概率，解題的關(guān)鍵是：（1）用標(biāo)有“夏”書簽的張數(shù)除以書簽的總張數(shù)即得結(jié)果；（2）利用樹狀圖畫出所有出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再找出1張為“春”，1張為“秋”的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：∵有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節(jié)，∴恰好抽到“夏”的概率為14故答案為：14（2）解：用樹狀圖列出所有等可的結(jié)果：等可能的結(jié)果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．∵在12個等可能的結(jié)果中，抽取的書簽1張為“春”，1張為“秋”出現(xiàn)了2次，∴P（抽取的書簽價好1張為“春”，1張為“秋”）=133．（2024·陜西·中考真題）一個不透明的袋子中共裝有五個小球，其中3個紅球，1個白球，1個黃球，這些小球除顏色外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球記下顏色后放回，記作隨機摸球一次．(1)隨機摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是________．(2)隨機摸球2次，用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率．【答案】(1)0.3(2)9【分析】本題考查求頻率、畫樹狀圖或列表法求概率、概率公式，熟練掌握畫樹狀圖或列表法求概率的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“頻數(shù)除以總數(shù)等于頻率”求解即可；（2）畫出樹狀圖可得，共有25種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是紅球有9種結(jié)果，再利用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，摸出黃球的頻率是3÷10=0.3，故答案為：0.3；（2）解：畫樹狀圖得，共有25種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是紅球有9種結(jié)果，∴兩次摸出的小球都是紅球的概率為92534．（2023·福建·中考真題）為促進消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動．活動規(guī)定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會．抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若摸得黃球，則不中獎．同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會．(1)求該顧客首次摸球中獎的概率；(2)假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由【答案】(1)1(2)應(yīng)往袋中加入黃球，見解析【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球的概率