第一章有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)一單項(xiàng)式及相關(guān)概念1.

單項(xiàng)式：表示數(shù)或字母的積的式子叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。2.

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)稱(chēng)為這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。3.

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。知識(shí)點(diǎn)二多項(xiàng)式及整式相關(guān)概念1.

多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。2.

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。3.

整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式。知識(shí)點(diǎn)三同類(lèi)項(xiàng)及合并同類(lèi)項(xiàng)1.

同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng)。2.

合并同類(lèi)項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。合并同類(lèi)項(xiàng)的法則是同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。知識(shí)點(diǎn)四去括號(hào)法則如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。知識(shí)點(diǎn)五整式的加減1.

幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加、減連接，然后進(jìn)行運(yùn)算。2.

整式加減實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)。3.

整式加減的一般步驟：如果有括號(hào)，那么先去括號(hào)；觀察有無(wú)同類(lèi)項(xiàng)；利用加法的交換律和結(jié)合律，分組同類(lèi)項(xiàng)；合并同類(lèi)項(xiàng)。易錯(cuò)點(diǎn)1多項(xiàng)式系數(shù)、指數(shù)中字母求值1.

確定系數(shù)、指數(shù)時(shí)，要明確單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)是系數(shù)，所有字母指數(shù)和是次數(shù)，多項(xiàng)式里每一項(xiàng)的系數(shù)（包括符號(hào)）和次數(shù)需準(zhǔn)確判斷。2.

字母求值時(shí)，代入前先化簡(jiǎn)式子，保證代入的數(shù)值與字母對(duì)應(yīng)，計(jì)算過(guò)程中符號(hào)和運(yùn)算順序不能出錯(cuò)?！敬鸢浮?【分析】本題考查多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)，根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中最高次項(xiàng)的次數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為組成多項(xiàng)式的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)求解即可．故答案為：．易錯(cuò)點(diǎn)2已知同類(lèi)項(xiàng)求指數(shù)中字母或代數(shù)式的值1.

確定同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，要嚴(yán)格遵循所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的原則，不能遺漏或錯(cuò)誤判斷字母及指數(shù)。2.

求字母或代數(shù)式的值時(shí)，先根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)定義列方程，再求解，過(guò)程中注意符號(hào)和運(yùn)算準(zhǔn)確性，代入后要檢驗(yàn)是否符合同類(lèi)項(xiàng)要求。【答案】25【分析】此題主要考查了同類(lèi)項(xiàng)的定義．根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，可得x的指數(shù)要相等，y的指數(shù)也要相等，即可得到m，n的值，再代入所求式子計(jì)算即可．故答案為：25．易錯(cuò)點(diǎn)3整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題1.易錯(cuò)總結(jié)在整式加減的無(wú)關(guān)型問(wèn)題中，常因?qū)ν?lèi)項(xiàng)合并不徹底，導(dǎo)致誤判結(jié)果與某些字母有關(guān)；化簡(jiǎn)過(guò)程中，去括號(hào)時(shí)忽略括號(hào)前的負(fù)號(hào)，使各項(xiàng)符號(hào)出錯(cuò)，進(jìn)而影響對(duì)“無(wú)關(guān)”結(jié)論的判斷。2.注意事項(xiàng)一是仔細(xì)合并同類(lèi)項(xiàng)，確保所有同類(lèi)項(xiàng)都正確合并；二是在去括號(hào)、添括號(hào)時(shí)，嚴(yán)格遵循符號(hào)變化規(guī)則，準(zhǔn)確處理每一項(xiàng)的符號(hào)，化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式后，再根據(jù)結(jié)果判斷與哪些字母無(wú)關(guān)。(2)【知識(shí)點(diǎn)】整式的加減運(yùn)算、整式的加減中的化簡(jiǎn)求值、整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題【分析】本題考查了整式的加減于化簡(jiǎn)求值；（1）根據(jù)去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可求解；易錯(cuò)點(diǎn)4與單項(xiàng)式有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題1易錯(cuò)總結(jié)常因忽略單項(xiàng)式系數(shù)的符號(hào)規(guī)律（如正負(fù)交替），或誤判字母的指數(shù)變化（如指數(shù)遞增/遞減的間隔），導(dǎo)致規(guī)律歸納錯(cuò)誤；也會(huì)因未驗(yàn)證規(guī)律是否適用于所有項(xiàng)，僅通過(guò)前幾項(xiàng)就草率下結(jié)論。2.注意事項(xiàng)先分別分析單項(xiàng)式的系數(shù)（符號(hào)、絕對(duì)值）和字母部分（種類(lèi)、指數(shù)）的變化規(guī)律，再整合；歸納出規(guī)律后，需代入后續(xù)項(xiàng)驗(yàn)證正確性，確保規(guī)律具有普遍性，避免以偏概全?！局R(shí)點(diǎn)】單項(xiàng)式規(guī)律題【分析】本題考查單項(xiàng)式規(guī)律題，分別找到單項(xiàng)式的系數(shù)和字母指數(shù)的變化規(guī)律求解即可．易錯(cuò)點(diǎn)5與圖形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題1.易錯(cuò)總結(jié)易因只觀察圖形表面特征，忽略數(shù)量變化的本質(zhì)規(guī)律（如小圖形增減的實(shí)際數(shù)量）；也常因未統(tǒng)一計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致不同圖形階段的數(shù)量統(tǒng)計(jì)混亂，無(wú)法準(zhǔn)確歸納出代數(shù)式。2.注意事項(xiàng)先按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（如個(gè)數(shù)、層數(shù)）統(tǒng)計(jì)不同階段圖形的數(shù)量，列出數(shù)據(jù)；再對(duì)比數(shù)據(jù)找變化規(guī)律，嘗試用代數(shù)式表示；最后代入后續(xù)圖形驗(yàn)證，確保規(guī)律能準(zhǔn)確反映數(shù)量變化。例題6．如圖，是一幅平面鑲嵌圖案，它由相同的黑色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案：第1個(gè)圖案有1個(gè)正方形，4個(gè)等邊三角形；第2個(gè)圖案有2個(gè)正方形，7個(gè)等邊三角形；第3個(gè)圖案有3個(gè)正方形，10個(gè)等邊三角形，以此類(lèi)推…(1)第n個(gè)圖案有________個(gè)正方形，________個(gè)等邊三角形．(2)現(xiàn)有2024個(gè)等邊三角形，如按此規(guī)律鑲嵌圖案，要求等邊三角形剩余最少，則需要正方形多少個(gè)？(2)674個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】圖形類(lèi)規(guī)律探索本題以等邊三角形和正方形的拼圖為背景，關(guān)鍵是考查規(guī)律性問(wèn)題的解決方法，探究規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題．【詳解】（1）第1個(gè)圖案：正方形有1個(gè)，等邊三角形有4個(gè)，……（2）要使等邊三角形剩余最少，則最少為1塊，∴按此規(guī)律鑲嵌圖案，等邊三角形剩余最少1塊，這時(shí)需要正方形674個(gè)．易錯(cuò)點(diǎn)6與數(shù)字有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題1.易錯(cuò)總結(jié)易忽略數(shù)字序列的符號(hào)規(guī)律（如正負(fù)交替），或誤判數(shù)字間的運(yùn)算關(guān)系（如錯(cuò)把和差關(guān)系當(dāng)倍數(shù)關(guān)系）；也常因僅依據(jù)前23項(xiàng)就歸納規(guī)律，未驗(yàn)證是否適配后續(xù)項(xiàng)，導(dǎo)致規(guī)律片面。2.注意事項(xiàng)先拆分?jǐn)?shù)字的符號(hào)、絕對(duì)值分別找規(guī)律，再整合；列出前56項(xiàng)數(shù)據(jù)，對(duì)比分析運(yùn)算關(guān)系（和、差、積、冪）；歸納后代入后續(xù)項(xiàng)驗(yàn)證，確保規(guī)律對(duì)整個(gè)序列成立。例題7．觀察下列等式：請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：．(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：（n為正整數(shù)）；(3)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算、數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題目所給等式，總結(jié)出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給的前幾個(gè)等式，即可寫(xiě)出第五個(gè)等式；（2）根據(jù)題目所給的等式，總結(jié)出變化規(guī)律，即可解答；…，一、單選題A．或 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多項(xiàng)式的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)定義，根據(jù)三次三項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式需滿(mǎn)足最高次數(shù)為3且共有三個(gè)項(xiàng)。通過(guò)分析各項(xiàng)的次數(shù)及存在性，確定有理數(shù)m的值，進(jìn)而求出常數(shù)項(xiàng)．∴該多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為．故選：B．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，同類(lèi)項(xiàng)的定義，代數(shù)式求值，根據(jù)題意可得單項(xiàng)式與是同類(lèi)項(xiàng)且兩個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此求出a、b、c的值進(jìn)一步即可得到答案．故選：C．A． B． C． D．【答案】C故選：C．【答案】A故選：A．5．（2025·河南鄭州·三模）烷烴是一類(lèi)由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，如圖是這類(lèi)化合物中前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有4個(gè)氫原子，第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有6個(gè)氫原子，第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有8個(gè)氫原子……按照這一規(guī)律，這類(lèi)化合物中某種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中碳原子和氫原子的個(gè)數(shù)之和不可能是（

）A．101 B．251 C．300 D．380【答案】C從根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)氫原子的個(gè)數(shù)依次增加個(gè)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出模型中氫原子和碳原子的個(gè)數(shù)，總結(jié)規(guī)律即可解決問(wèn)題．，故選C．二、填空題【答案】1【分析】本題考查了同類(lèi)項(xiàng)的定義，解一元一次方程，代數(shù)式求值，理解題意，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義（兩個(gè)單項(xiàng)式含有相同字母且相同字母的指數(shù)相同），得出方程求解，然后代入代數(shù)式求解即可．故答案為：．【答案】【分析】本題考查多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，次數(shù)的求解．多項(xiàng)式中含有單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)即為多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，包含的單項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)為多項(xiàng)式的次數(shù)．根據(jù)多項(xiàng)式的性質(zhì)進(jìn)行解答．多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中最高次項(xiàng)的次數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為組成多項(xiàng)式的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)．故答案為：．【答案】故答案為：．【分析】本題考查數(shù)字的變化類(lèi)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字因數(shù)和字母的指數(shù)的變化特點(diǎn)，寫(xiě)出相應(yīng)的單項(xiàng)式．根據(jù)題目中的單項(xiàng)式可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字因數(shù)和字母的指數(shù)的變化特點(diǎn)，即可寫(xiě)出第n個(gè)單項(xiàng)式，從而可以寫(xiě)出第2025個(gè)單項(xiàng)式．10．（2425七年級(jí)下·江蘇徐州·開(kāi)學(xué)考試）觀察下面三幅圓點(diǎn)圖，按照這樣的規(guī)律，第10幅圖中有個(gè)圓點(diǎn)，第n幅圖中有個(gè)圓點(diǎn)．【分析】本題考查了圖形的變化類(lèi)問(wèn)題，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和總結(jié)能力．根據(jù)圖形找出規(guī)律求解即可．……，三、解答題(1)______，______，______；【答案】(1)1；3；2(2)2022【分析】此題考查同類(lèi)項(xiàng)的定義，多項(xiàng)式的次數(shù)的定義，已知代數(shù)式的值求整式的值，根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義，多項(xiàng)式的次數(shù)的定義列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵；(1)寫(xiě)出n的值；并將多項(xiàng)式按x的升冪排列；(2)求該多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)之和．(2)【分析】本題考查了多項(xiàng)式的概念及降冪排列．多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)．（1）利用多項(xiàng)式的定義即可求出n的值，然后根據(jù)升冪排列的定義求解；（2）計(jì)算各項(xiàng)系數(shù)之和即可求解．13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）按照規(guī)律填上所缺的單項(xiàng)式并回答問(wèn)題：(2)試寫(xiě)出第2024個(gè)單項(xiàng)式；(3)試寫(xiě)出第個(gè)單項(xiàng)式．【答案】(1)【分析】此題考查了找單項(xiàng)式規(guī)律．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．（1）通過(guò)觀察題意可得：每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式，字母是a，a的指數(shù)比前面那個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)大的值，系數(shù)比前面那個(gè)單項(xiàng)式系數(shù)的絕對(duì)值大，奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)；由此可解出本題；（2）根據(jù)觀察出的規(guī)律可以得到第2024個(gè)單項(xiàng)式即可；【詳解】（1）解：根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)后面的單項(xiàng)式為：；(1)若多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，求a，b的值；(2)【分析】本題考查整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵：（1）去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù)多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，得到含有字母的項(xiàng)的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可；（2）去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)后，再將的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．∵多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，(1)若多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，求a、b的值；(2)(3)62【分析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題，熟知整式的加減計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先把原多項(xiàng)式去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān)得到含字母x的項(xiàng)的系數(shù)為0，據(jù)此列式求解即可；（2）把原多項(xiàng)式去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可；∵多項(xiàng)式的值與字母x的取值無(wú)關(guān)，16．（2025·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)都為a的正方形內(nèi)分別排列著一些大小相等的圓．(1)根據(jù)圖中的規(guī)律，第4個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是________，第n個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是________．(2)如果把正方形內(nèi)除去圓的部分都涂上陰影①第1個(gè)正方形中陰影部分的面積為_(kāi)_______，第n個(gè)正方形中陰影部分的面積為_(kāi)_______（用含a的代數(shù)式表示，結(jié)果保留）．【答案】(1)16，【分析】本題考查了圖形類(lèi)找規(guī)律，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，整式的加減，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）分別求出前幾個(gè)圖形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)而求得第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)；……第個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是．②從以上計(jì)算看出各個(gè)正方形中陰影部分的面積均相等，與圓的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)．17．（2324七年級(jí)上·山西臨汾·期中）觀察以下等式：……請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律完成下列問(wèn)題：(1)第6個(gè)等式為_(kāi)______，第10個(gè)等式為_(kāi)_______；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：_______（用含n的式子表示）；【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）觀察題干式子，直接作答即可；（2）根據(jù)（1）以及題干過(guò)程，即可作答．……，18．（2025·安徽蚌埠·三模）[觀察思考]圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層．[規(guī)律總結(jié)]（1）如果圖1中的圓圈共有10層，我們從上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是；[問(wèn)題解決]（2）如果圖1中的圓圈共有12層，我們從上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖4的方式填上一