1/12021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：概率（解答題）一、解答題1．（2021·北京·高一期末）一個盒子中裝有形狀、大小完全相同的6個小球，其中4個白球，2個黑球．（Ⅰ）如果每次從盒子中取出1個小球，記錄小球顏色后放回盒子中，再取1個小球，求連續(xù)兩次取出的小球都是白球的概率；（Ⅱ）如果—次從盒子中取出2個小球，求2個小球顏色不相同的概率．2．（2021·北京市第八中學(xué)京西校區(qū)高一期末）某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在、兩家餐廳用餐的滿意度，從在、兩家都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了人，每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行評分，滿分均為分.整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以為組距分為組：、、、、[40,50)、，得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)23515[40,50)4035（1）在抽樣的人中，求對餐廳評分低于的人數(shù)；（2）從對餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出人，求人中恰有人評分在范圍內(nèi)的概率.（3）如果從、兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由.3．（2021·北京市第四中學(xué)順義分校高一期末）某校高一年級1000名學(xué)生全部參加了體育達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理并按分?jǐn)?shù)段，，，，，進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖如下（I）估計該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)；（II）現(xiàn)從體育成績在和的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求其中恰有1人體育成績在的概率.4．（2021·北京市第八中學(xué)京西校區(qū)高一期末）有一個數(shù)學(xué)難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，2人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，求：（1）2人都未解決的概率；（2）問題得到解決的概率.5．（2021·北京石景山·高一期末）某籃球隊在本賽季已結(jié)束的8場比賽中，隊員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如下：（1）求甲在比賽中得分的均值和方差；（2）從甲比賽得分在分以下的場比賽中隨機(jī)抽取場進(jìn)行失誤分析，求抽到場都不超過均值的概率．6．（2021·北京市第四中學(xué)順義分校高一期末）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績.乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示.（I）若甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求a的值;（II）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率;（III）當(dāng)時，試比較甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差的大小.（結(jié)論不要求證明）7．（2021·北京·高一期末）某網(wǎng)上電子商城銷售甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年，現(xiàn)從該商城已售出的甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機(jī)抽取50個，統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的數(shù)據(jù)如下：型號甲乙首次出現(xiàn)故障的時間x(年)硬盤數(shù)(個)212123假設(shè)甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立.（1）從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機(jī)抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（2）某人在該商城同時購買了甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，試估計恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年(即)的概率.8．（2021·北京房山·高一期末）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大?。ńY(jié)論不要求證明）9．（2021·北京昌平·高一期末）某班倡議假期每位學(xué)生每天至少鍛煉一小時.為了解學(xué)生的鍛煉情況，對該班全部34名學(xué)生在某周的鍛煉時間進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:鍛煉時長（小時）56789男生人數(shù)（人）12434女生人數(shù)（人）38621（Ⅰ）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這個班級女生在該周的平均鍛煉時長;（Ⅱ）若從鍛煉8小時的學(xué)生中任選2人參加一項活動，求選到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）試判斷該班男生鍛煉時長的方差與女生鍛煉時長的方差的大小.（直接寫出結(jié)果）

2021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：概率（解答題）參考答案1．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）按照相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概率.（Ⅱ）利用古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（Ⅰ）從盒子中取出1個小球是白球的概率為，由于抽取的方式是有放回的抽取，所以連續(xù)兩次取出的小球都是白球的概率為.（Ⅱ）2個小球顏色不相同即個白球個黑球，所以—次從盒子中取出2個小球，2個小球顏色不相同的概率為【點睛】本小題主要考查相互獨立事件概率計算，考查古典概型概率計算，屬于基礎(chǔ)題.2．（1）20人；（2）；（3）餐廳用餐，理由見解析.【分析】（1）計算前三個小矩形的面積和，即得結(jié)果；（2）列舉從這5人中隨機(jī)選出2人的所有情況，利用古典概型的概率公式計算即可；（3）分別計算兩個餐廳得分低于分的人數(shù)所占的比例，再選擇比例低的即可.【詳解】（1）由餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，得對餐廳評分低于分的頻率為：，∴對餐廳評分低于的人數(shù)為人；（2）對餐廳評分在范內(nèi)的有人，設(shè)為、，對餐廳評分在范圍內(nèi)的有人，設(shè)為、、，從這人中隨機(jī)選出人的選法為：、、、、、、、、、，共種，其中恰有人評分在范圍內(nèi)的選法包括：、、、、、，共種，故人中恰有人評分在范圍內(nèi)的概率為；（3）從兩個餐廳得分低于分的人數(shù)所占的比例來看，由（1）得，抽樣的人中，餐廳評分低于的人數(shù)為，∴餐廳評分低于分的人數(shù)所占的比例為，餐廳評分低于分的人數(shù)為，∴餐廳得分低于分的人數(shù)所占的比例為，∴會選擇餐廳用餐.3．（I）750；（II）【分析】（I）根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)，從而可以估計出該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生頻率，進(jìn)而得到學(xué)生人數(shù).（II）利用列舉法可得基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個數(shù)，從而可求概率.【詳解】（I）根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為，所以該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)估計為：.（II）體育成績在和的人數(shù)分別為、3，分別記為若隨機(jī)抽取2人，則所有的基本事件為：，故基本事件的總數(shù)為.其中恰有1人體育成績在的基本事件的個數(shù)有6個，設(shè)為：“恰有1人體育成績在”，則.【點睛】思路點睛：古典概型的概率的計算，關(guān)鍵是基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個數(shù)的計算，計算時可采用枚舉法、樹形圖等幫助計數(shù)（個數(shù)較少時），也可以利用排列組合的方法來計數(shù)（個數(shù)較大時）.4．（1）；（2）【分析】（1）由兩個獨立事件同時發(fā)生的概率等于兩個事件分別發(fā)生的概率乘積，即可求出2人都未解決的概率；（2）根據(jù)問題能得到解決的對立事件為兩人都未解決問題，再根據(jù)對立事件概率和等于，即可求解.【詳解】解：（1）由題意知：甲、乙兩人都未能解決的概率為：；（2）問題能得到解決，即至少有人能解決問題，其對立事件為兩人都未解決問題，問題得到解決的概率為：.5．(1)15，32.25（2）【分析】（1）由已知中的莖葉圖，代入平均數(shù)和方差公式，可得得答案；（2）根據(jù)古典概型計算即可求解.【詳解】（1）這8場比賽隊員甲得分為：7，8，10，15，17，19，21，23故平均數(shù)為：，方差:.(2)從甲比賽得分在分以下的場比賽中隨機(jī)抽取場,共有15中種不同的取法，其中抽到場都不超過均值的為得分共6種，由古典概型概率公式得.6．（I）；（II）；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.【分析】（I）先求解出甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績，根據(jù)平均成績相同求解出的值；（II）先確定出的所有可取值，再求解出滿足條件的的取值，根據(jù)滿足條件的取值個數(shù)與總的可取值個數(shù)的比值求解出對應(yīng)概率；（III）根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況直接判斷出甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大小.【詳解】（I）因為，且，所以，所以；（II）記“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，因為乙組平均成績超過甲組平均成績，所以，所以，所以的可取值有：，共個數(shù)，又因為，集合中共有個元素，所以；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.（理由如下：因為，所以，，因為，所以）7．（1）；（2）【分析】（1）由頻率表示概率即可求出；（2）先分別求出從甲、乙兩種品牌隨機(jī)抽取一個，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率.【詳解】解：（1）在圖表中，甲品牌的個樣本中，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為：，設(shè)從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機(jī)抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)為事件，利用頻率估計概率，得，即從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機(jī)抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為：；（2）設(shè)從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機(jī)抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年為事件，從該商城銷售的乙品牌固態(tài)硬盤中隨機(jī)抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年為事件，利用頻率估計概率，得：，則,某人在該商城同時購買了甲?乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第3年的概率為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用頻率表示概率.8．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，利用頻率估計概率的思想可求得結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，則估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為；（2）由題意，分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，用表示“這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，則事件包含的基本事件有：、、、，共個基本事件，所以，；（3）．【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的問題有如下方法：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.9．（Ⅰ）小時（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（