2/22021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：函數(shù)解答題一．解答題（共17小題）1．（2020秋?房山區(qū)期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）求解關(guān)于的不等式．2．（2020秋?海淀區(qū)期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（Ⅱ）解不等式．3．（2020秋?西城區(qū)校級(jí)期末）已知是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成的集合：對(duì)任何，（其中為函數(shù)的定義域），均有成立．（Ⅰ）已知函數(shù)，判斷與集合的關(guān)系，并說明理由；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得，，屬于集合？若存在，求的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）對(duì)于實(shí)數(shù)，，用表示集合中定義域?yàn)閰^(qū)間，的函數(shù)的集合，定義：已知是定義在，上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對(duì)區(qū)間，的任意劃分：，和式恒成立，則稱為，上的“絕對(duì)差有界函數(shù)”，其中常數(shù)稱為的“絕對(duì)差上界”，的最小值稱為的“絕對(duì)差上確界”，符號(hào)．求證：集合中的函數(shù)是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，并求的“絕對(duì)差上確界”．4．（2020秋?大興區(qū)期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）判斷在內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．5．（2020秋?順義區(qū)期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）確定的解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式．

6．（2020秋?石景山區(qū)期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域及的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅲ）判斷在上的單調(diào)性，并給予證明．7．（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域：（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．8．（2020秋?豐臺(tái)區(qū)期末）已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且（1）．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）若，，請(qǐng)寫出的最大值；（Ⅲ）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．9．（2020秋?西城區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的范圍；（3）求函數(shù)的值域．10．（2020秋?昌平區(qū)期末）已知函數(shù)且．（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（Ⅲ）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．11．（2020秋?西城區(qū)期末）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（Ⅲ）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．12．（2020秋?西城區(qū)期末）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若（a），求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．13．（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，．（1）①直接寫出函數(shù)的奇偶性；②寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并用定義證明；（2）計(jì)算：；（4）（2）（2）；（9）（3）（3）；（3）由（2）中的各式概括出和對(duì)所有不等于0的實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)等式，并加以證明．14．（2020秋?東城區(qū)期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的單調(diào)性；（只需寫出結(jié)論）（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范圍．15．（2020秋?房山區(qū)期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”．（Ⅰ）判斷函數(shù)是否為上的“1距增函數(shù)”？說明理由；（Ⅱ）寫出一個(gè)的值，使得是區(qū)間上的“距增函數(shù)”；（Ⅲ）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若為上的“2021距增函數(shù)”，求的取值范圍．16．（2020秋?豐臺(tái)區(qū)期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在區(qū)間，，使得在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)且值域?yàn)椋?，那么稱在區(qū)間，上具有性質(zhì)．（Ⅰ）分別判斷函數(shù)和在區(qū)間，上是否具有性質(zhì)；（不需要解答過程）（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求的最大值．17．（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有”．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，．（Ⅰ）求（2）的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)．（?。┳C明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ⅱ）若對(duì)任意，，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

2021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：函數(shù)解答題參考答案一．解答題（共17小題）1．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，解可得函數(shù)的定義域，由奇偶性的定義可得結(jié)論，（Ⅱ）根據(jù)題意，原不等式變形可得，則有，解可得的取值范圍，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)，則有，解可得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（Ⅱ）由，得，因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以有，解得，因此不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】（Ⅰ）任取，，且，由作差法證明可得結(jié)論，（Ⅱ）根據(jù)題意，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，，結(jié)合的單調(diào)性可得，變形可得答案．【解答】解：（Ⅰ）證明：任取，，且，則，，，且，，．即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（Ⅱ）根據(jù)題意，對(duì)于，有，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有，即，解可得．不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及性質(zhì)的應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】（Ⅰ）利用已知條件，通過任取，，，證明成立，說明屬于集合．（Ⅱ）若，則有，然后可求出當(dāng)，時(shí)，．（Ⅲ）直接利用新定義加以證明，并求出的“絕對(duì)差上確界”的值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，，，則，因?yàn)?，，所以，所以，所以函?shù)屬于集合．（Ⅱ）若函數(shù)，，屬于集合，則當(dāng)，，時(shí)，恒成立，即，對(duì)，，恒成立，所以，對(duì)，，恒成立，因?yàn)椋?，，所以，所以，即，所以的取值范圍為，．（Ⅲ）取，，則對(duì)區(qū)間，的任意劃分，和式，所以集合中的函數(shù)是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，且的“絕對(duì)差上確界”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的新定義，解題中需要一定的閱讀理解能力，屬于中檔題．4．【分析】先設(shè)，然后利用作差法比較與的大小即可判斷，若為奇函數(shù)，則，代入可求，然后結(jié)合奇函數(shù)定義進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷．【解答】解：在內(nèi)的單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，存在使得為奇函數(shù)，若為奇函數(shù)，則，故，此時(shí)，，故為奇函數(shù)，此時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，定義法的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵．5．【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，，代入可求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；（2）先設(shè)，然后利用作差法比較與的大小即可判斷；（3）結(jié)合在區(qū)間上是減函數(shù)且為奇函數(shù)即可直接求解．【解答】解：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，，故，，證明：（2）設(shè)，則，所以，故在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)且為奇函數(shù)，由得，所以，解得，，故不等式的解集，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求解不等式，屬于中檔題．6．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，然后求出的取值范圍，再求出的值；（Ⅱ）先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)，可得，從而判斷為偶函數(shù)；（Ⅲ）先判斷的單調(diào)性，然后設(shè)，利用定義法證明的單調(diào)性即可．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)，則有，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，；（Ⅱ），其定義域?yàn)椋瑒t，則為偶函數(shù)；（Ⅲ）在上為減函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，又由，則，所以，所以，故在上為減函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性和利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．7．【分析】（1）分段去掉絕對(duì)值，即可求解值域；（2）對(duì)進(jìn)行討論，根據(jù)圖象有交點(diǎn)，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)．則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，可得值域?yàn)?，．?）當(dāng)，當(dāng)時(shí)，的圖象與函數(shù)的圖象恒有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，則，可得．則．故得實(shí)數(shù)的取值范圍是或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，是中檔題．8．【分析】（Ⅰ）利用函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且（1），列出方程組，求解即可；（Ⅱ）利用是單調(diào)遞增函數(shù)，求出的范圍，利用恒成立的解法，可得到的取值范圍，進(jìn)而得到答案；（Ⅲ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)榈膱D象過原點(diǎn)，且（1），所以，解得．（Ⅱ）因?yàn)椋允菃握{(diào)遞增函數(shù)，對(duì)，，所以，故的最大值為．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，所以，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：令，，，且，則，因?yàn)?，，且，所以，所以，即，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，即在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，涉及了指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式恒成立的求解，證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義以及證明的一般步驟．9．【分析】（1）可看出的定義域?yàn)?，即在原點(diǎn)有定義，并且是奇函數(shù)，從而得出，從而得出；（2）由即可得出，從而求出的范圍；（3）分離常數(shù)得出，根據(jù)即可求出的范圍，即得出的值域．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?；在原點(diǎn)有定義，且是奇函數(shù)；；；；（2）由得：；；（3）；；，；；的值域?yàn)椋军c(diǎn)評(píng)】考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，指數(shù)函數(shù)的值域，分離常數(shù)法的運(yùn)用．10．【分析】（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的定義即可求解；（Ⅱ）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解值域；（Ⅲ）對(duì)分類討論，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)且的定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?，．（Ⅲ）若?duì)任意，恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，則有恒成立，因?yàn)?，所以，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則有恒成立，因?yàn)?，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)值域的求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式恒成立問題，屬于中檔題．11．【分析】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解出即可；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．【解答】（Ⅰ）解：令，則由題意得：，解得：或，故函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)是，；（Ⅱ）解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“”成立，故在上的最小值是7；（Ⅲ）證明：不妨設(shè)，則，，，，故，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，考查圖象交點(diǎn)問題，是基礎(chǔ)題．12．【分析】（Ⅰ）將代入解析式，解指數(shù)方程即可求出得值；（Ⅱ）先判斷奇偶性，然后分析定義域并計(jì)算、得數(shù)量關(guān)系，結(jié)合定義可得結(jié)論；（Ⅲ）先求出在，上得最大值，再根據(jù)要使對(duì)于，恒成立，即，求出得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)椋╝），所以，所以且，所以，所以；（Ⅱ）為奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)?，所以定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)；（Ⅲ）因?yàn)?，又因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，所以在，上單調(diào)遞減，所以（1），又因?yàn)閷?duì)于，恒成立，所以，即．所以得最小值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算的能力，屬于中檔題．13．【分析】（1）①由冪函數(shù)的奇偶性及奇偶性的性質(zhì)可直接判斷；②利用增函數(shù)的定義即可證明；（2）代入計(jì)算即可得結(jié)論；（3）由（2）歸納出等式，代入即可證明．【解答】解：（1）①函數(shù)為奇函數(shù)．②的單調(diào)遞增區(qū)間為，，證明：任取，，且，則因?yàn)?，，且，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）經(jīng)過代入計(jì)算可得，（4）（2）（2），（9）（3）（3）．（3）由（2）中的各式概括出和對(duì)所有不等于0的實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)等式為，證明：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．14．【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求得值，并驗(yàn)證其成立即可；（Ⅱ）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)即可判斷；（Ⅲ）由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，由△即可求得的取值范圍．【解答】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，解得．則，驗(yàn)證，滿足題意．（Ⅱ）為增函數(shù)．（Ⅲ）由奇函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，不等式恒成立，得恒成立，即恒成立．由恒成立，有△，得．所以，的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查不等式恒成立問題，屬于中檔題．15．【分析】要判斷函數(shù)是否為上的“1距增函數(shù)”，只要任意，檢驗(yàn)是否成立即可判斷；（Ⅱ）結(jié)合已知函數(shù)及，即可求解；（Ⅲ）由已知結(jié)合函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論及絕對(duì)值不等式性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)是上的“1距增函數(shù)”，任意，有，且，所以，因此是上的“1距增函數(shù)”．（Ⅱ）（答案不唯一，不小于4即可）（Ⅲ）因?yàn)闉樯系摹?021距增函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，由定義恒成立即恒成立，由絕對(duì)值幾何意義可得，當(dāng)時(shí)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，由定義恒成立即恒成立，由絕對(duì)值幾何意義可得，當(dāng)時(shí)，由定義恒成立即恒成立當(dāng)時(shí)，顯然成立當(dāng)時(shí)，可得綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題．16．【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)題中給出的信息判斷即可；（Ⅱ）根據(jù)題意，在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，利用換元法設(shè)，轉(zhuǎn)化為在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方法1：利用二次方程根的分布列出不等關(guān)系，求解即可；方法2：利用換元法，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域問題，求解即可．利用的表達(dá)式結(jié)合的范圍，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間，上不具有性質(zhì)，在區(qū)間，上具有性質(zhì)．（Ⅱ）方法1：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，則在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．設(shè)，即在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．所以，即．解得所以，實(shí)數(shù)的取值范圍．方法2：因?yàn)楹瘮?shù)在，單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，則在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．設(shè)，即在，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．所以，實(shí)數(shù)的取值范圍．因?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，取最大值1．【