1/12021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：統(tǒng)計(jì)（解答題）一、解答題1．（2021·北京市第八中學(xué)京西校區(qū)高一期末）某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在、兩家餐廳用餐的滿意度，從在、兩家都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了人，每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行評分，滿分均為分.整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以為組距分為組：、[10,20)、、、、，得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)2[10,20)35154035（1）在抽樣的人中，求對餐廳評分低于的人數(shù)；（2）從對餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出人，求人中恰有人評分在范圍內(nèi)的概率.（3）如果從、兩家餐廳中選擇一家用餐，你會(huì)選擇哪一家？說明理由.

2．（2021·北京房山·高一期末）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級某班班主任對本班名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)；（Ⅱ）估計(jì)這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)；（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間，這樣推斷是否合理？說明理由．3．（2021·北京市第四中學(xué)順義分校高一期末）某校高一年級1000名學(xué)生全部參加了體育達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理并按分?jǐn)?shù)段，，，，，進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖如下（I）估計(jì)該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)；（II）現(xiàn)從體育成績在和的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求其中恰有1人體育成績在的概率.

4．（2021·北京石景山·高一期末）某籃球隊(duì)在本賽季已結(jié)束的8場比賽中，隊(duì)員甲得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如下：（1）求甲在比賽中得分的均值和方差；（2）從甲比賽得分在分以下的場比賽中隨機(jī)抽取場進(jìn)行失誤分析，求抽到場都不超過均值的概率．5．（2021·北京市第四中學(xué)順義分校高一期末）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績.乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示.（I）若甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求a的值;（II）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率;（III）當(dāng)時(shí)，試比較甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差的大小.（結(jié)論不要求證明）6．（2021·北京房山·高一期末）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個(gè)城市月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計(jì)甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個(gè)記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大小．（結(jié)論不要求證明）7．（2021·北京昌平·高一期末）某班倡議假期每位學(xué)生每天至少鍛煉一小時(shí).為了解學(xué)生的鍛煉情況，對該班全部34名學(xué)生在某周的鍛煉時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:鍛煉時(shí)長（小時(shí)）56789男生人數(shù)（人）12434女生人數(shù)（人）38621（Ⅰ）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這個(gè)班級女生在該周的平均鍛煉時(shí)長;（Ⅱ）若從鍛煉8小時(shí)的學(xué)生中任選2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，求選到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）試判斷該班男生鍛煉時(shí)長的方差與女生鍛煉時(shí)長的方差的大小.（直接寫出結(jié)果）

2021北京高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：統(tǒng)計(jì)（解答題）參考答案1．（1）20人；（2）；（3）餐廳用餐，理由見解析.【分析】（1）計(jì)算前三個(gè)小矩形的面積和，即得結(jié)果；（2）列舉從這5人中隨機(jī)選出2人的所有情況，利用古典概型的概率公式計(jì)算即可；（3）分別計(jì)算兩個(gè)餐廳得分低于分的人數(shù)所占的比例，再選擇比例低的即可.【詳解】（1）由餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，得對餐廳評分低于分的頻率為：，∴對餐廳評分低于的人數(shù)為人；（2）對餐廳評分在范內(nèi)的有人，設(shè)為、，對餐廳評分在范圍內(nèi)的有人，設(shè)為、、，從這人中隨機(jī)選出人的選法為：、、、、、、、、、，共種，其中恰有人評分在范圍內(nèi)的選法包括：、、、、、，共種，故人中恰有人評分在范圍內(nèi)的概率為；（3）從兩個(gè)餐廳得分低于分的人數(shù)所占的比例來看，由（1）得，抽樣的人中，餐廳評分低于的人數(shù)為，∴餐廳評分低于分的人數(shù)所占的比例為，餐廳評分低于分的人數(shù)為，∴餐廳得分低于分的人數(shù)所占的比例為，∴會(huì)選擇餐廳用餐.2．（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性.【分析】（Ⅰ）首先求學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率，再根據(jù)樣本容量乘以頻率=人數(shù)，計(jì)算結(jié)果；（Ⅱ）首先估算學(xué)習(xí)時(shí)間在分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果；（Ⅲ）根據(jù)樣本的代表性作出判斷.【詳解】（Ⅰ）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率為則名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)為．（Ⅱ）學(xué)習(xí)時(shí)間在小時(shí)以下的頻率為，學(xué)習(xí)時(shí)間在小時(shí)以下的頻率為，所以分位數(shù)在，，則這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為．（Ⅲ）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．3．（I）750；（II）【分析】（I）根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)，從而可以估計(jì)出該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生頻率，進(jìn)而得到學(xué)生人數(shù).（II）利用列舉法可得基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)，從而可求概率.【詳解】（I）根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為，所以該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為：.（II）體育成績在和的人數(shù)分別為、3，分別記為若隨機(jī)抽取2人，則所有的基本事件為：，故基本事件的總數(shù)為.其中恰有1人體育成績在的基本事件的個(gè)數(shù)有6個(gè)，設(shè)為：“恰有1人體育成績在”，則.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：古典概型的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)可采用枚舉法、樹形圖等幫助計(jì)數(shù)（個(gè)數(shù)較少時(shí)），也可以利用排列組合的方法來計(jì)數(shù)（個(gè)數(shù)較大時(shí)）.4．(1)15，32.25（2）【分析】（1）由已知中的莖葉圖，代入平均數(shù)和方差公式，可得得答案；（2）根據(jù)古典概型計(jì)算即可求解.【詳解】（1）這8場比賽隊(duì)員甲得分為：7，8，10，15，17，19，21，23故平均數(shù)為：，方差:.(2)從甲比賽得分在分以下的場比賽中隨機(jī)抽取場,共有15中種不同的取法，其中抽到場都不超過均值的為得分共6種，由古典概型概率公式得.5．（I）；（II）；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.【分析】（I）先求解出甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績，根據(jù)平均成績相同求解出的值；（II）先確定出的所有可取值，再求解出滿足條件的的取值，根據(jù)滿足條件的取值個(gè)數(shù)與總的可取值個(gè)數(shù)的比值求解出對應(yīng)概率；（III）根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況直接判斷出甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大小.【詳解】（I）因?yàn)椋?，所以，所以；（II）記“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，因?yàn)橐医M平均成績超過甲組平均成績，所以，所以，所以的可取值有：，共個(gè)數(shù)，又因?yàn)?，集合中共有個(gè)元素，所以；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.（理由如下：因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以?．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，利用頻率估計(jì)概率的思想可求得結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，則估計(jì)甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為；（2）由題意，分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，用表示“這兩個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，則事件包含的基本事件有：、、、，共個(gè)基本事件，所以，；（3）．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解古典概型概率的問題有如下方法：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.7．（Ⅰ）小時(shí)（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)即可；（Ⅱ）列舉出任選2人的所有情況，再由古典概型的概率公式