1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的基本性質(zhì)章節(jié)綜合一、單選題1．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）如圖所示的是函數(shù)（）的圖像，是圖像上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交圖像于另一點(diǎn)（，可重合）.設(shè)線段的長為，則函數(shù)的圖像是 B．C． D．2．（2021·北京·清華附中高一期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．（2021·北京二中高一期末）設(shè)函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)是的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．（2021·北京二中高一期末）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A． B．C． D．二、填空題6．（2021·北京二中高一期末）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值為_____________.三、解答題7．（2021·北京師大附中高一期末）已知集合，稱為的第個(gè)分量.對于的元素，定義與的兩種乘法分別為：給定函數(shù)，定義上的一種變換.（1）設(shè)，求和；（2）設(shè)，對于，設(shè)，對任意且，定義①當(dāng)時(shí)，求證：中為0的分量個(gè)數(shù)不可能是2個(gè)；②若的任一分量都只能取或，設(shè)的第1個(gè)分量為，求的最小正周期的最小值，并求出此時(shí)所有的.8．（2021·北京二中高一期末）已知二次函數(shù)過點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，，（1）①直接寫出函數(shù)的奇偶性；②寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并用定義證明；（2）計(jì)算：；；；（3）由（2）中的各式概括出和對所有不等于0的實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)等式，并加以證明．10．（2021·北京·清華附中高一期末）已知函數(shù)，，且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直線與x軸交于點(diǎn)T，且與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).求的最大值.（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

參考答案1．A【詳解】時(shí)，時(shí)表示遞減的一次函數(shù)所以選A.點(diǎn)睛：(1)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)圖像時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.如能求出具體解析式就可簡化問題(2)在運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實(shí)現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系2．A【分析】根據(jù)該分段函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，由的奇函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為時(shí)有兩解，結(jié)合函數(shù)圖像即可得解.【詳解】由，所以為奇函數(shù)，根據(jù)對稱性可得時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)即可，令，可得，若則，即有兩解，結(jié)合對稱性可得：如圖所示可得：，所以.故選：A3．C【解析】根據(jù)偶函數(shù)得，，再根據(jù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，，，又在上單調(diào)遞減，，，即.故選：C.4．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由可得在上為奇函數(shù)，由時(shí)，為增函數(shù)，進(jìn)行分析判斷即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，，所以為奇函數(shù)，由時(shí)，為增函數(shù)，由在上為奇函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，，由，可得，可得，所以，由可得，所以，可得，故對任意實(shí)數(shù)是的充要條件.故選：A5．B【分析】利用函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)分別對各選項(xiàng)逐一判斷即可得解.【詳解】對于A，函數(shù)圖象總在x軸上方，不是奇函數(shù)，A不滿足；對于B，函數(shù)在R上遞增，且，該函數(shù)是奇函數(shù)，B滿足；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上遞減，C不滿足；對于D，函數(shù)定義域是非零實(shí)數(shù)集，而，D不滿足.故選：B6．4【詳解】由題意可知定點(diǎn)A（1,1）,所以m+n=1,因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí)，的最小值為4.7．（1），；（2）①見解析；②，或.【分析】（1）根據(jù)定義計(jì)算可得相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果.（2）①利用反證法結(jié)合分量的特征可證明該結(jié)論.②先求出，找出一般規(guī)律后可求出，結(jié)合解析式的形式可得到何時(shí)的最小正周期有最小值.【詳解】（1），，故，．（2）①：當(dāng)時(shí)，，，故，即，同理，類似的求法，有：，若中為0的分量個(gè)數(shù)是2個(gè)，不妨設(shè)，則，兩式相加后有，故，矛盾．故中為0的分量個(gè)數(shù)不可能是2個(gè)．②：由①的計(jì)算可知：，；類似地，有：，；也就是：而，，也就是：，，依次類推則有的第一個(gè)分量為：，故，其中或，當(dāng)?shù)姆柦惶娉霈F(xiàn)時(shí)，的最小正周期有最小值，此時(shí)或，最小正周期的最小值為，對應(yīng)的或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題為與三角函數(shù)有關(guān)的新定義題，解決此類問題關(guān)鍵是弄清楚新運(yùn)算的性質(zhì)與三角函數(shù)中三角變換公式之間的聯(lián)系，從而得到一般規(guī)律，注意本題中，因此我們可由有限歸納法來總結(jié)規(guī)律.8．(1)；(2).【分析】(1)由給定最小值及取最小值的x值寫出函數(shù)解析式，再由圖象過點(diǎn)求解即得；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論得時(shí)，不等式恒成立，再構(gòu)造函數(shù)并探討其最值即可得解.【詳解】(1)因二次函數(shù)在時(shí)，取得最小值，必有a>0，則，而函數(shù)圖象過點(diǎn)，即，解得，，所以函數(shù)的解析式為；(2)由(1)知，，函數(shù)的圖象恒在直線的上方，等價(jià)于，，令，，二次函數(shù)圖象對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，，由得或，于是得，，即時(shí)，在上遞減，，于是得，當(dāng)，即時(shí)，，解得或，于是得，綜上得或所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．（1）①奇函數(shù)；②，，證明見解析；（2）0，0，0；（3），證明見解析【解析】（1）①利用奇偶性定義可判斷；②任取，計(jì)算化簡并判斷正負(fù)即可得出；（2）直接計(jì)算即可求出；（3）由（2）可得出，代入解析式計(jì)算即可證明.【詳解】（1）①的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，，是奇函數(shù)；②任取，則，，∵，，，，，在單調(diào)遞增，∵是奇函數(shù)，在也單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），，；（3）由（2）可推出，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）在定義域內(nèi)任??；（2）計(jì)算并化簡整理；（3）判斷的正負(fù)；（4）得出結(jié)論，若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.10．（Ⅰ）;（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用函數(shù)的解析式，得到關(guān)于的方程組