微積分上考試題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域是（）A.\((-2,2)\)B.\([-2,2]\)C.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)2.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價無窮小D.等價無窮小3.設(shè)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)=（）A.\(f(x_0)\)B.\(f^\prime(x_0)\)C.\(f^\prime(\Deltax)\)D.\(f(x_0+\Deltax)\)4.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(y^\prime=3x^2\)B.\(y^\prime=x^2\)C.\(y^\prime=3x\)D.\(y^\prime=3\)5.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)=（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)6.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(0\)7.函數(shù)\(y=\sinx\)的一個原函數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)8.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)的關(guān)系是（）A.相等B.不相等C.互為相反數(shù)D.無法確定9.曲線\(y=x^2\)與\(y=x\)所圍成圖形的面積為（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)10.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)=（）A.\(1\)B.\(0\)C.\(\infty\)D.不存在答案：1.B2.A3.B4.A5.B6.A7.B8.A9.A10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.函數(shù)極限存在的條件有（）A.左極限存在B.右極限存在C.左、右極限都存在且相等D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義3.下列函數(shù)在\(x=0\)處可導(dǎo)的有（）A.\(y=|x|\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=x^3\)4.求導(dǎo)公式\((uv)^\prime\)=（）A.\(u^\primev+uv^\prime\)B.\(u^\primev^\prime\)C.\(u^\primev-uv^\prime\)D.\(uv^\prime-u^\primev\)5.下列積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}xdx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-\pi}^{\pi}\cosxdx\)6.原函數(shù)與不定積分的關(guān)系正確的有（）A.原函數(shù)不唯一B.不定積分是原函數(shù)的全體C.一個函數(shù)的原函數(shù)只有一個D.原函數(shù)相差一個常數(shù)7.下列函數(shù)中，單調(diào)遞增的有（）A.\(y=e^x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\lnx\)（\(x\gt0\)）D.\(y=-x\)8.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx=\int_{a}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）9.曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線方程為（）A.\(y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)（\(f^\prime(x_0)\)存在）B.\(x-x_0=f^\prime(x_0)(y-f(x_0))\)（\(f^\prime(x_0)\)存在）C.當(dāng)\(f^\prime(x_0)\)不存在時，切線方程可能為\(x=x_0\)D.當(dāng)\(f^\prime(x_0)\)不存在時，切線不存在10.下列極限中，結(jié)果為\(1\)的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)C.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+1}{x}\)答案：1.AB2.ABC3.BD4.A5.AB6.ABD7.ABC8.ABCD9.AC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是\(x\neq1\)。（）2.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量。（）3.函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)一定可導(dǎo)。（）4.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）5.\(\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)）。（）6.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號無關(guān)。（）7.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是凹函數(shù)。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）9.曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率就是\(f^\prime(x_0)\)。（）10.極限\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)存在，則\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)。（）答案：1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，對\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x\)。2.計(jì)算\(\int(2x+\frac{1}{x})dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)）和\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)，則\(\int(2x+\frac{1}{x})dx=2\times\frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C=x^2+\ln|x|+C\)。3.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime\gt0\)，即\(2x-4\gt0\)，解得\(x\gt2\)，此時函數(shù)單調(diào)遞增；令\(y^\prime\lt0\)，即\(2x-4\lt0\)，解得\(x\lt2\)，此時函數(shù)單調(diào)遞減。所以單調(diào)遞增區(qū)間是\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,2)\)。4.計(jì)算\(\int_{0}^{2}(x+1)dx\)。答案：根據(jù)積分運(yùn)算\(\int_{0}^{2}(x+1)dx=\int_{0}^{2}xdx+\int_{0}^{2}1dx\)。\(\int_{0}^{2}xdx=[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}=2\)，\(\int_{0}^{2}1dx=[x]_{0}^{2}=2\)，所以結(jié)果為\(2+2=4\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性和凹凸性。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\lt0\)在\((0,+\infty)\)恒成立，所以函數(shù)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞減；再求二階導(dǎo)\(y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}\gt0\)在\((0,+\infty)\)恒成立，所以函數(shù)在\((0,+\infty)\)是凹函數(shù)。2.定積分和不定積分有哪些聯(lián)系與區(qū)別？答案：聯(lián)系：不定積分是所有原函數(shù)，定積分是原函數(shù)在區(qū)間上的增量，牛頓-萊布尼茨公式建立了兩者聯(lián)系。區(qū)別：不定積分結(jié)果是函數(shù)族，定積分結(jié)果是數(shù)值；不定積分側(cè)重于求原函數(shù)，定積分與區(qū)間上的累積量