專題27.3相似三角形的判定【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷兩個(gè)三角形是否相似】 1【題型2補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似】 2【題型3裁剪使兩個(gè)三角形相似】 3【題型4尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似】 4【題型5格點(diǎn)中判斷兩三角形相似】 5【題型6確定與已知三角形相似的三角形】 6【題型7確定哪兩個(gè)三角形相似】 7【題型8確定相似三角形的對(duì)數(shù)】 8【題型9坐標(biāo)系中確定使兩三角形相似的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 9【題型10相似三角形的證明】 11知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．【題型1判斷兩個(gè)三角形是否相似】【例1】（23-24九年級(jí)·四川遂寧·期中）下列條件中，能使△ABC∽△DEFA．∠C＝98°，∠E＝98°，ACBCB．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，F(xiàn)D＝6C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5【變式1-1】（23-24九年級(jí)·四川眉山·期中）下列判斷中，不正確的有（

）A．三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似B．兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似C．有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似【變式1-2】（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形．若OA：OC-=OB：OD，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A．①與②相似 B．①與③相似C．①與④相似 D．②與④相似【變式1-3】（23-24九年級(jí)·上海浦東新·期末）下列命題中，說(shuō)法正確的是（

）A．如果一個(gè)直角三角形中有兩邊之比為1:2，那么所有這樣的直角三角形一定相似B．如果一個(gè)等腰三角形中有兩邊之比為1:2，那么所有這樣的等腰三角形一定相似C．如果一個(gè)直角三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2，那么所有這樣的直角三角形一定相似D．如果一個(gè)等腰三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2，那么所有這樣的等腰三角形一定相似【題型2補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似】【例2】（23-24九年級(jí)·山東泰安·開學(xué)考試）已知P是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，連接BP，則下列不能判定△ABP∽△ACB的是（A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC【變式2-1】（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AD=時(shí)，△ABC【變式2-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定△A．CA平分∠BCD B．ADAB=DCAC C．A【變式2-3】（23-24九年級(jí)·河南鶴壁·階段練習(xí)）直線DE與△ABC的邊AB相交于點(diǎn)D，與AC邊相交于點(diǎn)E①∠AED=∠B，②DE∥BC，③ADAB=DEBC，④【題型3裁剪使兩個(gè)三角形相似】【例3】（23-24九年級(jí)·海南·期末）點(diǎn)P是ΔABC斜邊BC上的一個(gè)點(diǎn)(不與B,C重合),過(guò)點(diǎn)P作直線PD截ΔABC,使截得的三角形與ΔABC相似,滿足這樣的條件的截線共有【變式3-1】（23-24九年級(jí)·山西·期中）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④【變式3-2】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的三角形與△ABC不相似的是（

）A． B．C． D．【變式3-3】（2024九年級(jí)·浙江·專題練習(xí)）如圖，在△ABC紙片中，∠A．

B．

C．

D．

【題型4尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似】【例4】（23-24九年級(jí)·陜西寶雞·期末）如圖，在△ABC中，∠B=2∠A，利用尺規(guī)作圖法在邊AC上求作一點(diǎn)【變式4-1】（23-24九年級(jí)·河南·期末）如圖，已知鈍角△ABC中∠(1)請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在AC上定一點(diǎn)P，使得△ABP(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)述作圖的合理性．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，D為邊AB上任意一點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)E，使得△DEA【變式4-3】（23-24九年級(jí)·陜西榆林·期末）如圖，等腰△ABC的頂角∠A=108°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點(diǎn)D，使得△【題型5格點(diǎn)中判斷兩三角形相似】【例5】（23-24九年級(jí)·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，下圖中與△ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（23-24九年級(jí)·上海寶山·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D、M、N都是格點(diǎn)，從A、B、C、D四個(gè)格點(diǎn)中選取三個(gè)構(gòu)成一個(gè)與△AMN相似的三角形，某同學(xué)得到兩個(gè)三角形：①△ABC；②A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是【變式5-2】（23-24九年級(jí)·山東威海·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有5個(gè)格點(diǎn)三角形，分別是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④【變式5-3】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、【題型6確定與已知三角形相似的三角形】【例6】（2024·黑龍江大慶·中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是

【變式6-1】（23-24九年級(jí)·廣西賀州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)A．△BOC B．△AOB C．△DOC【變式6-2】（23-24九年級(jí)·福建福州·期末）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點(diǎn)O，寫出一個(gè)與△ACD相似的三角形，這個(gè)三角形可以是【變式6-3】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），DE，AB交于點(diǎn)F，則下列一定與A．△BDF B．△BEF C．△ABC【題型7確定哪兩個(gè)三角形相似】【例7】（23-24九年級(jí)·上?！て谀┤鐖D，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在邊AC上，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E，邊DE交BC于點(diǎn)F，連接CE，下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（

A．△BAD與△BCE B．△C．△BAC與△BDE D．△【變式7-1】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，∠AOD=90°，OA=A．△OAB∽△OCAC．△BAC∽△【變式7-2】（2024·遼寧鞍山·一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判斷中，錯(cuò)誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【變式7-3】（23-24九年級(jí)·上海靜安·期中）將兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個(gè)三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（

）△ABC與△ADEB．△ABD與△AEC C．△ABE與△ACD D．△AEC與△ADC【題型8確定相似三角形的對(duì)數(shù)】【例8】（23-24九年級(jí)·廣西貴港·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊的中點(diǎn)，AF⊥CD于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式8-1】（23-24九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE與CD相交于點(diǎn)F．則圖中相似三角形共有（

）

A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【變式8-2】（23-24九年級(jí)·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是等腰Rt△ABC斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作等腰Rt△ADE，斜邊AE交BC于A．2 B．3 C．4 D．5【變式8-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AD于G

，AF⊥BE于F

，圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）

A．5 B．7 C．8 D．10【題型9坐標(biāo)系中確定使兩三角形相似的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例9】（23-24九年級(jí)·江蘇·期中）平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2和x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，在第二象限內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAO和

A．2 B．3 C．4 D．5【變式9-1】（2024·江西九江·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A,C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則

【變式9-2】（2024·湖北宜昌·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（

）

A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【變式9-3】（23-24九年級(jí)·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面內(nèi)點(diǎn)P使得△ABP與△ABO相似，則不與點(diǎn)O【題型10相似三角形的證明】【例10】（23-24九年級(jí)·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BC