第第頁上海市黃浦區(qū)立達(dá)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的1．如果ab=2A．34 B．43 C．322．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，下列各比例式不一定能推得DEA．ADBD=AECE B．ADAB=3．已知c為非零向量，a=2A．|a|=C．3a+2b4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，那么cosB的值是（）A．22 B．32 C．15．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)c＞0 B．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞0C．b＝2a D．9a+3b+c＝06．如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB寬為20米，拱橋的最高點(diǎn)O到水面AB的距離為4米．如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，那么CD寬為（）A．45米 B．10米 C．46米 D．12米二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．計(jì)算：12(8．如果x?yy的值是黃金分割數(shù)，那么xy的值為9．計(jì)算：sin230°+cos245°＝．10．拋物線y＝x2﹣2x+1的對(duì)稱軸是直線．11．拋物線y＝（m+3）x2+x﹣1在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么m的取值范圍是．12．如圖，飛機(jī)在目標(biāo)B的正上方A處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)C的俯角α=30°，如果地面目標(biāo)B、C之間的距離為6千米，那么飛機(jī)離地面的高度AB等于千米．（結(jié)果保留根號(hào)）13．如果一個(gè)斜坡的坡度i=1：33，那么該斜坡的坡角為14．如圖，過△ABC的重心G作上ED∥AB分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、D，聯(lián)結(jié)AD，如果AD平分∠BAC，AB=6，那么EC＝．15．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，那么AFCF＝16．如圖，已知一張三角形紙片ABC，AB=5，BC=2，AC=4，點(diǎn)M在AC邊上．如果過點(diǎn)M剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙片，可以有四種不同的剪法，設(shè)AM=x，那么x的取值范圍是．17．如圖，將正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG，則AGBG＝三、解答題（本大題共7題，滿分78分）18．計(jì)算：tan19．如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且DE＝23（1）如果AC＝6，求AE的長(zhǎng)；（2）設(shè)AB=a，AC=b，試用20．如圖，已知拋物線y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)O與點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P（2，m）（m＞0），若△PAB的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長(zhǎng)AB=115mm，支撐板長(zhǎng)CD=70mm，板AB固定在支撐板頂點(diǎn)C處，且CB=35mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，∠CDE=60°．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，3≈1.7）（1）若∠DCB＝70°時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB=70°調(diào)整為90°，再將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．22．已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：DECF（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形．試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得DECF23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）（如圖），經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線y＝x2+bx+5與y軸相交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求∠ABC的正弦值；（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．24．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=26，BC＝42，cosB＝513（1）求線段AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)線段CM＝x，AGGC（3）聯(lián)結(jié)DM，當(dāng)∠NMC＝2∠DMN時(shí)，求線段CM的長(zhǎng)．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵ab=23，b是∴a：∴bc故答案為：D.【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求解。若b2=ac，則b是a，2．【答案】C【解析】【解答】

解：

A：ADBD=AECE可以推得DE∥BC，A符合；

B：ADAB=AEAC可以推得DE∥BC，B符合；

C：3．【答案】B【解析】【解答】解：∵a=2∴a=?∴a∥b，|a|=23|b|，故答案為：B.

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)分析判定．4．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，∴BC＝AB2∴cosB＝BCAB故答案為：B．

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求解。5．【答案】D【解析】【解答】解：A、由圖像可知：a<0，c>0，∴ac<0，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由對(duì)稱軸可知：x=1，∴另一個(gè)交點(diǎn)為：x=3，從圖像可得：x>3時(shí)，y<0，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由對(duì)稱軸可知：x=?b∴b=?2a，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由B選項(xiàng)證明可得：當(dāng)x=3時(shí)，y=0，即9a+3b+c=0，選項(xiàng)正確；故答案為：D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)分析判定．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口方向由a的正負(fù)決定，對(duì)稱軸是直線x=?b6．【答案】B【解析】【解答】解：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線為y軸，過O點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，∵O點(diǎn)到水面AB的距離為4米，∴A、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，∵水面AB寬為20米，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），將A代入y＝ax2，﹣4＝100a，∴a＝﹣125∴y＝﹣125x2∵水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD，∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1，∴﹣1＝﹣125x2∴x＝±5，∴CD＝10，故答案為：B．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的拱橋問題求解。以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線為y軸，過O點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，確定A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），用待定系數(shù)法求解析式，再求出C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求CD的長(zhǎng)．7．【答案】1【解析】【解答】解：1==故答案為：12

【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算律即可得出答案。8．【答案】5【解析】【解答】解：∵x?yy∴x?yy∴x?y+yy∴xy故答案為：5+1【分析】由黃金比得x?yy9．【答案】3【解析】【解答】解：sin故答案為：3【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入后計(jì)算。10．【答案】x＝1【解析】【解答】解：拋物線的對(duì)稱軸是直線x=??2故答案為：直線x=【分析】拋物線的對(duì)稱l軸是直線x=?b11．【答案】m＞﹣3【解析】【解答】解：∵二次函數(shù)y=(∴這個(gè)二次函數(shù)圖象開口向上，∴m+3＞0，∴m＞-3，故答案為：m＞-3．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解。由于二次函數(shù)的圖象在對(duì)稱軸右側(cè)部分是上升的，可以確定二次函數(shù)的圖象的開口向上，解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)．12．【答案】2【解析】【解答】解：∵地面目標(biāo)C的俯角α=30°∴∠ACB=30°，∴tan30°=ABBC∴AB=BCtan30°=6×33=故答案為：23【分析】先求出∠ACB=30°，再利用正切函數(shù)的定義式變形計(jì)算．13．【答案】60°【解析】【解答】∵tanα=1：33=3∴坡角=60°．故答案為：60°.【分析】根據(jù)坡度的意義，坡度就是該斜坡坡角的正切值，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，即可得出答案。14．【答案】8【解析】【解答】解：聯(lián)結(jié)CG并延長(zhǎng)與AB交于H，∵G是△ABC∴CG∴CG∵ED∴CGCH=23∴EC∴DE=∵AD平分∠∴∠EAD=∠BAD∴∠EAD=∠ADE∴DE=AE=4∴23∴EC=8

故答案為：8.【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)證明DEAB=23，由AD平分∠BAC和ED∥AB可證DE=AE15．【答案】1【解析】【解答】解：過D作BF的平行線，交AC邊于G，如下圖所示：

∵D為BC中點(diǎn)，DG∥BF，

∴∠CGD=∠CFB，

又∵∠C=∠C，

∴△CDG∽△CBF，

∴CGCF=CDCB=12，即：CG=12CF=FG，

又E為AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，DG∥BF，

同理可得：△AEF∽△ADG，

∴AEAD=AFAG=12，即：AF=12AG=FG，

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)、中線的性質(zhì)求解。過D作BF的平行線，交AC邊于G，得出DG∥BF，根據(jù)D為BC中點(diǎn)可得出△CDG∽△CBF，即CGCF=CDCB=12，CG=12FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=12AG=FG16．【答案】7≤x＜4【解析】【解答】解：如圖所示：①過點(diǎn)M作MG∥AB交BC于點(diǎn)G，作ME∥CB交∴?CMG~?CAB，此時(shí)，點(diǎn)M在線段AC上，且不能與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合，∴0<AM<4，即0<x<4；②過點(diǎn)M作∠AMD=∠ABC，交AB于點(diǎn)D，則?AMD~此時(shí)，點(diǎn)M在線段AC上，且不能與點(diǎn)A重合，∴0<AM≤4，即0<x≤4；③過點(diǎn)M作∠CMF=∠CBA，交BC于點(diǎn)F，∵∠C=∠C，∴?CMF~∵當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，AM取得最小值，CF=CB，∴CBCM∴2CM∴CM=1，∴AM=AC?CM=3，∵點(diǎn)M不能與點(diǎn)C重合，∴3≤AM<4，即3≤x<4；綜上可得x的取值范圍為：3≤x<4，故答案為：3≤x<4．【分析】分三種情況計(jì)算：①過點(diǎn)M作MG∥AB交BC于點(diǎn)G，作ME∥CB交AB于點(diǎn)E，此時(shí)，點(diǎn)M在線段AC上，且不能與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合，可確定x的取值范圍；②過點(diǎn)M作∠AMD=∠ABC，交AB于點(diǎn)D，此時(shí)，點(diǎn)M在線段AC上，且不能與點(diǎn)A重合，可確定x的取值范圍；③過點(diǎn)M作∠CMF=∠CBA，交BC于點(diǎn)F，?CMF~?CBA，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，17．【答案】5【解析】【解答】證明：延長(zhǎng)EA，CG交于點(diǎn)M，如圖所示：∵對(duì)折正方形ABCD得折痕EF，∴設(shè)AE=DE=12∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=AD=CD=2a，∠D=90°∴EC=∵四邊形ABCD為正方形，∴DM∥∴∠EMC=∠BCG，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM=∠BCG，∴∠EMC=∠ECM，∴EM=EC=5∴AM=ME?AE=∵M(jìn)A∴△∴AGGB故答案為：5?1【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)求解。延長(zhǎng)EA，CG交于點(diǎn)M，利用折疊的性質(zhì)可設(shè)AE=DE=12AD=a，即AD=2a，利用勾股定理得到EC=DE2+C18．【答案】解：tan===【解析】【分析】先利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再計(jì)算即可。19．【答案】（1）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∵DE＝23∴AE＝4；（2）解：由（1）知，DEBC∴DE＝23∵BC=∴DE【解析】【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解；（2）利用平面向量的三角形法則解答．先用a、b的線性組合表示向量BC→，再表示向量DE20．【答案】（1）解：∵拋物線y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）與x軸交于原點(diǎn)O，∴0＝a（0﹣2）2﹣4，解得a＝1，∴拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣2）2﹣4，當(dāng)y＝0時(shí)，0＝（x﹣2）2﹣4，解得x1＝0，x2＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）；（2）解：∵y＝（x﹣2）2﹣4，頂點(diǎn)為B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣4），∵點(diǎn)P（4，m）（m＞0），點(diǎn)A（4，0），∴[m解得m＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解。把原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出a，并令y=0求出點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）由頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解得m即可．21．【答案】（1）解：過點(diǎn)C作CG∥DE，過點(diǎn)A作AH⊥CG于H，則點(diǎn)A到直線DE的距離為：AH+CF．在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝CFCD∴CF＝CD?sin60°＝70×32＝353∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝AHAC∴AH＝AC?sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．∴點(diǎn)A到直線DE的距離為AH+CF＝59.4+64≈123.5≈124（mm）．（2）解：如圖所示，虛線部分為旋轉(zhuǎn)后的位置，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，則B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．在Rt△B′C′D中，∵tan∠B′DC′＝B'∴∠B′DC′＝26.6°．∴CD旋轉(zhuǎn)的角度為∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．【解析】【分析】（1）構(gòu)造直角三角形，再解直角三角形求解。過點(diǎn)C作CG∥DE，過點(diǎn)A作AH⊥CG于H，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CN、AF，即可求出點(diǎn)A到直線DE的距離．（2）先畫出圖形，再解直角三角形BCD得出∠CDB=26.6°，即可得出答案；22．【答案】（1）證明：如圖（1），∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DECF（2）解：當(dāng)∠B+∠EGC＝180°時(shí)，DECF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DF∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴∴∴即當(dāng)∠B+∠EGC＝180°時(shí)，DECF【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定求證。由矩形的性質(zhì)得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可證得△ADE∽△DCF，從而證得結(jié)論；(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求證。在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．利用平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠CDM，結(jié)合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，進(jìn)而得出∠CMF＝∠AED即可證得△ADE∽△DCM，從而證得結(jié)論；23．【答案】（1）解：將A(5,0)代入y=x2+bx+5得：

0=25+5b+5，

解得：b=?6，（2）解：設(shè)BC與x軸交于F，過F作FE⊥AB于E，如圖所示：

拋物線y=x2?6x+5與y軸交于B(0,5)，

設(shè)BC解析式為y=mx+n，

將B(0,5)，C(3,?4)代入得：

5=n?4=3m+n，解得m=?3n=5，

∴BC解析式為y=?3x+5，

令y=0，得x=53，

∴F(53,0)，

∴AF=OA?OF=103，（3）解：拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為D，m）2+m，且CD＝m﹣（﹣4）＝m+4，AD＝m若△DCA與△ABC相似，只需三邊對(duì)應(yīng)成比例，故分三種情況：1若△ABC∽△DCA，如圖：ABDC=解得：m＝﹣23∴D（3，m），∴平移后的新拋物線的表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣3）2﹣23＝x2﹣6x+25②若△ABC∽△DAC，則ABAD=AC③若△ABC∽△ACD，如圖：ABAC=解得m＝2，∴D（4，2），∴平移后的新拋物線的表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣3）2+2＝x2﹣4x+11；綜上所述，△DCA與△ABC相似y＝x2﹣6x+256或y＝x2【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解。將A(5，（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出BC的解析式，求出BC與x軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)，過F作FE⊥AB于E，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理求出EF、BF的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義式即可得出答案；（3）根據(jù)平移確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，分三種情況：△ABC∽△DCA或△ABC∽△DAC或△ABC∽△DAC，根據(jù)相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例列方程，求出D的坐標(biāo)即可得出答案．24．【答案】（1）解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，∵在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，cosB=∴BH＝10，AH＝24，∴CH＝BC﹣BH＝32．∵在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，AC=A∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，AE=∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠DCA，在Rt△ADE中，cos∠∴A