第第頁四川省達(dá)州市重點中學(xué)2023-2024學(xué)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題：(每小題4分，共40分。)1．下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2+1C．(x?1)(2．已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD相交于點O，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)OA=OB時，四邊形ABCD是矩形D．當(dāng)∠ABD=∠CBD時，四邊形ABCD是矩形3．端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，媽媽買了2只紅豆粽、3只堿水粽、5只咸肉粽，粽子除內(nèi)部餡料不同外其他均相同，小穎隨意吃一個，吃到紅豆粽的概率是()A．110 B．15 C．134．如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值（）A．22 B．2 C．4 D．5．已知△ABC如圖所示，則下列4個三角形中，與△ABC相似的是（）A． B．C． D．6．若a5=b7=A．14 B．42 C．7 D．147．某城市前年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到今年底增加到363公頃。設(shè)綠化面積平均每年的增長率為x，由題意，所列方程正確的是（）A．300(1+x)C．300(1+2x)8．張華在一次數(shù)學(xué)活動中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子x+1x（x＞0）的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長是1x，矩形的周長是2（x+1x）；當(dāng)矩形成為正方形時，就有x=1x（x＞0），解得x=1，這時矩形的周長2（x+1x）=4最小，因此x+1x（A．10 B．5 C．15 D．209．如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC>BC），下列結(jié)論錯誤的是（）A．ACAB=BCAC B．BC210．.如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分。）11．菱形的兩條對角線長分別是方程x2-14x+48=0的兩實根，則菱形的面積為。12．已知關(guān)于x的方程x2-mx-6=0的一個根為2，則m=，另一根是.13．關(guān)于x的方程kx2?2x+1=014．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DEBC=215．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則AEED的值是16．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2）．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2014個正方形的面積為三、解答題：（本大題4個小題，共86分）解答時每小題需給出必要的演算過程或推理步驟。17．解方程：（1）2x2-2x-1=0（2）(x－2)2－3(x－2)＝0．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（-1，2），B（-3，4）C（-2，6）（1）畫出△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1（2）以原點O為位似中心，畫出將△A1B1C1三條邊放大為原來的2倍后的△A2B2C2．19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k-1）x-k-1=0．（1）試判斷此一元二次方程根的存在情況；（2）若方程有兩個實數(shù)根x1和x2，且滿足1x20．第三屆亞洲沙灘運動會服務(wù)中心要在某校選拔一名志愿者．經(jīng)筆試、面試，結(jié)果小明和小穎并列第一．評委會決定通過抓球來確定人選．抓球規(guī)則如下：在不透明的布袋里裝有除顏色之外均相同的2個紅球和1個綠球，小明先取出一個球，記住顏色后放回，然后小穎再取出一個球．若取出的球都是紅球，則小明勝出；若取出的球是一紅一綠，則小穎勝出．你認(rèn)為這個規(guī)則對雙方公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖的方法進(jìn)行分析．21．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．（1）若商場只要求保證每天的盈利為4320元，同時又可使顧客得到實惠，每千克應(yīng)漲價多少元？（2）若該商場經(jīng)理想讓這種水果每天的盈利為4600元，商場經(jīng)理的想法能實現(xiàn)嗎？如果能請求出每千克應(yīng)漲價多少元，如果不能請說明理由。22．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE．（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．23．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分線，BE⊥AE，垂足為點E．

求證：BE2=DE?AE．24．閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點．解決問題：（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；（2）如圖2在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強(qiáng)相似點E；（3）拓展探究：如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點，當(dāng)BC=3時，試求出AB的值．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．（1）求直線AB的解析式；（2）當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似。（3）當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為165

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得(x?1)(x+2)2．【答案】D【解析】【解答】解：A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可以得到該結(jié)論正確；B、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以得到該選項正確；C、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷該選項正確；D、不能得到一個角是直角，故錯誤，故選D．【分析】利用矩形的判定、四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．3．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得吃到紅豆粽的概率是22+3+5=15，4．【答案】A【解析】【解答】解：作D關(guān)于AE的對稱點D'，過D'作D'P'⊥AD于P'，如圖所示：∵DD'⊥AE，∴∠AFD=∠AFD'，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D'AF，∴D'是D關(guān)于AE的對稱點，AD'=AD=4，∴D'P'即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD'=45°，∴AP'=P'D'，∴在Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2=AD'2，AD'2=16，∵AP'=P'D'，2P'D'2=AD'2，即2P'D'2=16，∴P'D'=22，即DQ+PQ的最小值為22，故答案為：A【分析】作D關(guān)于AE的對稱點D'，過D'作D'P'⊥AD于P'，先根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明△DAF≌△D'AF得到D'是D關(guān)于AE的對稱點，AD'=AD=4，進(jìn)而根據(jù)軸對稱-最短距離問題得到D'P'即為DQ+PQ的最小值，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAD'=45°，從而結(jié)合題意運用勾股定理即可求解。5．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得AB=AC=6，∴∠A=180°?∠B?∠C=30°，∠C=75°，

A．三角形各角的度數(shù)分別是52.5°，52.5°，75°，不與△ABC相似，A不符合題意；C．三角形各角的度數(shù)分別為30°，75°，75°，與△D．三角形各角的度數(shù)分別為40°，70°，70°，不與△ABC相似，D不符合題意；【分析】由題意得AB=AC=6，∠B=75°，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合題意得到∠A=180°?∠B?∠C=30°，6．【答案】D【解析】【解答】解：∵a∴a=5k,∵3a?2b+c=3∴3×5k?2×7k+8k=3，解得k=1∴a=∴2a+4b?3c=2×5故答案為：D【分析】先根據(jù)比例的性質(zhì)得到a=5k,b=7k,7．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)綠化面積平均每年的增長率為x，由題意得300(1+x)2=363，

8．【答案】A【解析】【解答】解：∵x>0，∴在原式中分母分子同除以x，即x2在面積是25的矩形中設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長是25x矩形的周長是2(當(dāng)矩形成為正方形時，就有x=25x（解得x=5，這時矩形的周長2(∴x2+25x（x>0故答案為：A【分析】根據(jù)分式的混合運算結(jié)合題意進(jìn)行計算即可求解。9．【答案】B【解析】【解答】解：∵AC＞BC，∴AC是較長的線段，根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，故A不符合題意；AC2=AB?BC，故B符合題意，ACABBCAC故答案為：B．

【分析】根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，再化簡并逐項判斷即可。10．【答案】D【解析】【解答】解：∵BM⊥AC于點M，CN⊥AC于點N，P為BC邊的中點，∴點P是Rt△MBC和Rt△∴MP=NP=12BC∵BM⊥AC于點M，CN⊥AC于點N，∴∠AMB=∠ANC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMB∴AMAB=AN∵BM⊥AC于點M，CN⊥AC于點N，P為BC邊的中點，∴點P是Rt△MBC和Rt△∴MP=NP=BP=CP=1∴點M，N，B，C共圓，∴∠NPM=2∠ABM，Rt△ABM中，∠A=60°∴∠ABM=30°，∴∠NPM=60°，∵PN=PM，∴△PMN是等邊三角形，③當(dāng)∠ABC=45°時，△∴BN=22BC故答案為：D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)結(jié)合題意即可判斷①；進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△AMB∽△ANC，從而即可判斷②；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到MP=NP=BP=CP=1211．【答案】24【解析】【解答】解：由題意得菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，

∵菱形的兩條對角線長分別是方程x2-14x+48=0的兩實根，

∴x1x2=48，

∴菱形的面積為1212．【答案】1；-3【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2-mx-6=0的一個根為2，

∴4-2m-6=0，

解得m=-1，

∴x2+x-6=0，

∴2+x2=-1，

∴x2=-3，

∴13．【答案】k＜1且k≠0【解析】【解答】解：由題意得k≠0，△=4-4k＞0，

∴k＜1且k≠0，

故答案為：k＜1且k≠0

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合一元二次方程根的判別式即可求解。14．【答案】18【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵DEBC∴S△∴S△故答案為：18【分析】先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△ADE∽△ABC，進(jìn)而即可求解。15．【答案】3【解析】【解答】解：∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥∴∠ABE=∠ECD=45°，∠BAE=∠EDC=30°，∴△ABE∴AEED∵AC=AB，∴AEED∵tan∠D=∴AEED故答案為：3【分析】先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到∠ABE=∠ECD=45°，∠BAE=∠EDC=30°，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△ABE∽△DCE16．【答案】(【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的點A的坐標(biāo)為(1,0)，點∴OA=1，OD=2，由勾股定理得AD=5，OA∵∠ADO+DAO=90°，∠DAO+BAA∴∠ADO=BAA由題意得∠DOA=ABA則△DOA∴A1∵AD=AB=5∴A1則第二個正方形的面積為S1同理可得第三個正方形的面積為S2依此類推，第n個正方形的面積為Sn則第2014個正方形的面積為：S2014故答案為：5?【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出AD=5，OAOD=12，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△DOA∽△ABA1即可求出17．【答案】（1）解：這里a=2，b=-2，c=-1?！遙2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12＞0∴x=2+122×2=即x1=1+32x2=（2）解：（x-2）（x-2-3）=0（x-2）（x-5）=0x-2=0，或x-5=0x1=2，x2=5?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)題意運用公式法解一元二次方程即可求解；

（2）根據(jù)題意運用因式分解法解一元二次方程即可求解。18．【答案】（1）解：見解析：如圖：△A1B1C1即為所求。（2）解：見解析：如圖：△A2B2C2即為所求?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓喝鐖D所示：

【分析】（1）根據(jù)作圖-旋轉(zhuǎn)先描出A1，B1，C1點，進(jìn)而連線畫圖即可求解；

（2）根據(jù)作圖-位似先描出A2，B2，C2點，進(jìn)而連線畫圖即可求解。19．【答案】（1）解：∵△=（2k-1）2-4（-k-1）=4k2-4k+1+4k+4=4k2+5＞0，

∴此一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2=1-2k，x1?x2=-k-1，

∵1x1+1x2=1

∴x1+x2=x【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式結(jié)合題意即可求解；

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意即可求解。20．【答案】解：根據(jù)題意，列出樹狀圖如下：由此可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中，兩紅球及一紅一綠各有4種結(jié)果

P（都是紅球）=49P（1紅1綠球）=49【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出樹狀圖，進(jìn)而即可得到共有9種等可能的結(jié)果，其中，兩紅球及一紅一綠各有4種結(jié)果，再根據(jù)等可能事件的概率即可求解。21．【答案】（1）解：設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，則（10+x）（400-20x）=4320

解得x=2或x=8，

為了使顧客得到實惠，所以x=2（2）解：該商場經(jīng)理想法不能實現(xiàn)。設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，則（10+x）（400-20x）=4600該方程無解，所以不可能。【解析】【分析】（1）設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，進(jìn)而根據(jù)“每千克盈利10元，每天可售出400千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，要求保證每天的盈利為4320元”即可列出一元二次方程，從而即可求解；

（2）根據(jù)題意列出一元二次方差，從而根據(jù)方程無解即可求解。22．【答案】（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AEBD是矩形；（2）當(dāng)∠BAC=90°時，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可．23．【答案】證明：∵BE⊥AE∴∠E=900

∵∠C=900

∵∠ADC=∠BDE（對頂角相等）

∴∠CAD=∠DBE

∵AD是∠CAB的角平分線

∴∠CAD=∠BAD

∴∠BAD=∠DBE

∵∠E=∠E

∴△DBE∽△BAE相似

∴BE/DE=AE/BE

∴BE2=DE?AE【解析】【分析】先根據(jù)對頂角得到∠CAD=∠DBE，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD=∠BAD，再結(jié)合題意運用相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解。24．【答案】（1）解：點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE＋∠DEA=125°，

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC＋∠DEA=125°．

∴∠ADE=∠BEC，