2025年高三數(shù)學高考思維定勢突破模擬試題一、選擇題（共10題，每題6分，共60分）1.函數(shù)與反函數(shù)的非常規(guī)應用題目：已知函數(shù)$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}(x\neq1)$，其反函數(shù)為$f^{-1}(x)$。若函數(shù)$y=f(x)$與$y=f^{-1}(x)$的圖像交于點$P(a,b)$，則$a+b$的值為（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$突破點：多數(shù)考生易陷入“求反函數(shù)表達式”的思維定勢，需注意原函數(shù)與反函數(shù)圖像交點若在直線$y=x$上，則$a=b$，代入原式可快速求解；若不在$y=x$上，則需聯(lián)立方程。本題中$f(x)$的反函數(shù)為自身變形，通過$f(a)=b$且$f(b)=a$可推導出$a+b=3$。2.立體幾何中的動態(tài)思維轉(zhuǎn)換題目：在棱長為$2$的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$在側(cè)面$BCC_1B_1$內(nèi)（含邊界）運動，且滿足$\angleAPB=45^\circ$，則點$P$的軌跡長度為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$\sqrt{2}\pi$突破點：傳統(tǒng)立體幾何問題多考查靜態(tài)位置關系，本題需將“定角條件”轉(zhuǎn)化為平面幾何中的圓軌跡問題。以$AB$為弦，在平面$BCC_1B_1$內(nèi)構(gòu)造圓周角為$45^\circ$的圓弧，結(jié)合正方體棱長計算軌跡半徑與圓心位置，最終得出軌跡為半圓，長度為$\pi$。3.概率統(tǒng)計中的貝葉斯定理應用題目：某醫(yī)院使用兩種檢測方法診斷肺癌：方法A的準確率為$90%$（患病者$90%$呈陽性，健康者$10%$呈陽性），方法B的準確率為$80%$。已知人群中肺癌患病率為$0.1%$，若某人用方法A檢測呈陽性，則其實際患病的概率約為（）A.$0.8%$B.$1.2%$C.$8.3%$D.$90%$突破點：考生易直接使用“準確率”作為患病概率，忽略先驗概率。需用貝葉斯公式$P(患病|陽性)=\frac{P(陽性|患病)P(患病)}{P(陽性|患病)P(患病)+P(陽性|健康)P(健康)}$，代入數(shù)據(jù)計算得$0.83%$，約為$0.8%$。4.圓錐曲線的參數(shù)方程與幾何意義題目：在平面直角坐標系中，曲線$C$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=2+3\cos\theta\y=1+4\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)），點$M$在曲線$C$上，且到直線$l:2x-y+1=0$的距離最小，則點$M$的直角坐標為（）A.$\left(\frac{6}{5},\frac{1}{5}\right)$B.$\left(\frac{16}{5},\frac{21}{5}\right)$C.$\left(2-\frac{6\sqrt{5}}{5},1-\frac{8\sqrt{5}}{5}\right)$D.$\left(2+\frac{6\sqrt{5}}{5},1+\frac{8\sqrt{5}}{5}\right)$突破點：常規(guī)解法為代入點到直線距離公式求最值，但若將曲線$C$視為橢圓$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{16}=1$，利用“橢圓上到直線距離最短的點與直線斜率相關”的幾何性質(zhì)，可通過平移直線$l$與橢圓相切快速求解。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）5.多空題：函數(shù)與導數(shù)的綜合應用題目：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3bx$在$x=1$處有極值，且其圖像在點$(0,f(0))$處的切線與直線$2x+y-3=0$平行。（1）$a+b=$；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M-m=$。突破點：第一空易通過$f'(1)=0$和$f'(0)=-2$聯(lián)立求解$a=\frac{1}{2}$，$b=-1$，得$a+b=-\frac{1}{2}$；第二空需打破“極值點必為最值點”的定勢，需比較$f(0)$、$f(1)$、$f(2)$的大小，最終$M-m=4$。6.數(shù)學文化與數(shù)列創(chuàng)新題目：《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根$9$節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，已知上$4$節(jié)的容積共$3$升，下$3$節(jié)的容積共$4$升，則第$5$節(jié)的容積為________升。突破點：傳統(tǒng)等差數(shù)列問題多已知首項和公差，本題需設第$5$節(jié)容積為$a$，公差為$d$，則上$4$節(jié)可表示為$(a-4d)+(a-3d)+(a-2d)+(a-d)=4a-10d=3$，下$3$節(jié)為$(a+3d)+(a+4d)+(a+5d)=3a+12d=4$，聯(lián)立解得$a=\frac{107}{126}$，避免繁瑣的首項計算。三、解答題（共6題，共60分）7.三角函數(shù)與實際情境融合題目：某無人機在距離地面$100$米的高度沿水平方向勻速飛行，在$A$處觀測地面目標$P$的俯角為$30^\circ$，飛行$5$秒后到達$B$處，觀測目標$P$的俯角為$45^\circ$。已知無人機飛行速度為$v$米/秒，$\tan75^\circ=2+\sqrt{3}$。（1）求無人機飛行的速度$v$（結(jié)果保留根號）；（2）若無人機繼續(xù)飛行，判斷是否存在點$C$，使得觀測$P$的俯角為$60^\circ$，并說明理由。突破點：考生易直接用正切函數(shù)列方程，但需注意俯角與直角三角形的對應關系。第（1）問通過構(gòu)建兩個直角三角形，利用$100\cot30^\circ-100\cot45^\circ=5v$求解；第（2）問需判斷方程$100\cot60^\circ=100\cot30^\circ-5v-tv$是否有正數(shù)解，打破“三角問題必有解”的思維定勢。8.概率統(tǒng)計與貝葉斯定理綜合題目：某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲生產(chǎn)線的次品率為$2%$，乙生產(chǎn)線的次品率為$3%$。已知甲生產(chǎn)線產(chǎn)量是乙生產(chǎn)線的$2$倍，現(xiàn)從總產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品。（1）求該次品來自甲生產(chǎn)線的概率；（2）若用某種檢測方法對次品進行溯源，該方法對甲生產(chǎn)線次品的識別準確率為$95%$，對乙生產(chǎn)線次品的識別準確率為$90%$，求檢測結(jié)果顯示“來自甲生產(chǎn)線”的概率。突破點：第（1）問需用全概率公式計算總次品率，再用貝葉斯公式求后驗概率；第（2）問需結(jié)合條件概率公式，區(qū)分“實際來自甲且檢測為甲”與“實際來自乙但檢測為甲”兩種情況，避免混淆“準確率”與“條件概率”。9.數(shù)學建模與優(yōu)化問題題目：某外賣平臺騎手負責配送$A$、$B$、$C$三個小區(qū)的訂單，三個小區(qū)在同一條直線上，位置坐標分別為$0$、$5$、$12$（單位：千米）。騎手從出發(fā)點$O$（坐標$0$）出發(fā)，配送完畢后返回出發(fā)點，每個小區(qū)至少配送$1$單，且訂單總量不超過$10$單。已知配送$1$單的平均時間為$10$分鐘，行駛速度為$30$千米/小時，設騎手向$C$小區(qū)方向行駛的最遠距離為$x$千米（$x\geq12$）。（1）建立騎手總耗時$T$（分鐘）關于$x$的函數(shù)模型；（2）當$x$為何值時，總耗時$T$最?。客黄泣c：考生易忽略“返回出發(fā)點”的約束，需明確行駛路程為$2x$千米，總耗時=行駛時間+配送時間，其中配送時間與訂單總量相關，但題目要求“訂單總量不超過10單”，需討論訂單量對函數(shù)的影響，最終得出$T=4x+10n$（$n$為訂單數(shù)），當$x=12$、$n=1$時$T$最小。10.開放探究性壓軸題題目：已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）若$a=1$，證明：當$x\geq0$時，$f(x)\geq1$；（2）請從以下兩個問題中任選一個作答，并說明理由：①是否存在實數(shù)$a$，使得$f(x)$在$(-\infty,0)$上有且僅有一個極值點？②是否存在實數(shù)$a$，使得$f(x)$有三個零點？突破點：第（1）問常規(guī)用導數(shù)求最值；第（2）問需打破“三次函數(shù)才有三個零點”的定勢，$f(x)=0$可轉(zhuǎn)化為$e^x=ax^2$，通過圖像交點分析，當$a<0$時$e^x=ax^2$無正根，僅有負根，故不存在三個零點；而極值點問題需討論$f'(x)=e^x-2ax$的零點情況，存在$a<0$使得$f(x)$在$(-\infty,0)$有一個極值點。四、選考題（共1題，10分）11.坐標系與參數(shù)方程的逆向應用題目：在極坐標系中，曲線$C$的極坐標方程為$\rho=2\cos\theta+4\sin\theta$，直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=1+t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數(shù)，$\alpha$為傾斜角）。（1）求曲線$C$的直角坐標方程；（2）若直線$l$與曲線$C$交于$M$、$N$兩點，且$|MN|=2\sqrt{5}$，求$\alpha$的值。突破點：第（1）問常規(guī)轉(zhuǎn)化為圓的方程$(x-1)^2+(y-2)^2=5$；第（2）問易忽略直線過定點$(1,1)$且該點在圓上，此時$|MN|$為直徑或弦長，通過幾何法快速得出$\alpha=45^\circ$或$135^\circ$，避免聯(lián)立參數(shù)方程的復雜計算。五、思維定勢突破策略總結(jié)概念辨析：如反函數(shù)與原函數(shù)的交點、貝葉斯定理中的先驗概率，需回歸定