2025年高三數(shù)學(xué)高考推理與證明專題模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．邏輯推理基礎(chǔ)已知命題(p)："若(a>b)，則(2^a>2^b-1)"，命題(q)："函數(shù)(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的圖像關(guān)于(x=\frac{\pi}{12})對稱"，則下列命題為真命題的是（）A．(p\landq)B．(\negp\landq)C．(p\lor\negq)D．(\negp\land\negq)2．歸納推理應(yīng)用我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載"粟米之法"："粟率五十，糲米三十，粺米二十七，糳米二十四..."（粟米50斤可換糲米30斤，糲米30斤可換粺米27斤，以此類推）．若甲用粟米兌換糳米，兌換過程中米的損耗忽略不計，則100斤粟米可兌換糳米的斤數(shù)為（）A．19.2B．24C．36D．483．類比推理創(chuàng)新在平面幾何中，"正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和為定值"，類比到空間幾何中可得到結(jié)論（）A．正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面距離之和為定值B．正六面體內(nèi)任意一點(diǎn)到六個面距離之和為定值C．正八面體內(nèi)任意一點(diǎn)到八個面距離之和為定值D．正多面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各面距離之和為定值4．反證法原理用反證法證明"若(a+b+c<6)，則(a,b,c)中至少有一個小于2"時，應(yīng)假設(shè)（）A．(a,b,c)都大于2B．(a,b,c)都不小于2C．(a,b,c)至多有一個小于2D．(a,b,c)至少有一個大于25．?dāng)?shù)學(xué)文化與歸納推理南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中記載了"三角垛"："三角垛，下廣一面，上尖，高七層．問：計幾何？"其規(guī)律是每層的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成數(shù)列1，3，6，10，15，...，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A．21B．28C．36D．456．邏輯推理與概率某外賣平臺智能調(diào)度系統(tǒng)通過歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：騎手接到訂單后，在雨天準(zhǔn)時送達(dá)的概率為0.7，晴天準(zhǔn)時送達(dá)的概率為0.9．若明天降水概率為40%，則騎手明天配送訂單準(zhǔn)時送達(dá)的概率為（）A．0.78B．0.82C．0.86D．0.887．類比推理與空間幾何在平面直角坐標(biāo)系中，方程(x^2+y^2=r^2)表示圓心在原點(diǎn)、半徑為(r)的圓，其面積為(\pir^2)．類比到空間直角坐標(biāo)系中，方程(x^2+y^2+z^2=r^2)表示球心在原點(diǎn)、半徑為(r)的球，其體積為（）A．(\frac{4}{3}\pir^3)B．(\pir^3)C．(\frac{2}{3}\pir^3)D．(\frac{1}{3}\pir^3)8．?dāng)?shù)學(xué)歸納法應(yīng)用已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則推測其通項(xiàng)公式為（）A．(a_n=\frac{1}{n})B．(a_n=\frac{1}{n+1})C．(a_n=n)D．(a_n=n^2)二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分）9．邏輯推理綜合已知函數(shù)(f(x)=x^3-ax^2+bx+c)，則下列命題正確的有（）A．若(f(x))在(x=1)處取得極值，則(f'(1)=0)B．若(f'(x)=0)，則(x=1)是(f(x))的極值點(diǎn)C．若(f(x))為奇函數(shù)，則(a=c=0)D．若(f(x))的圖像關(guān)于點(diǎn)((1,0))對稱，則(f(0)+f(2)=0)10．歸納推理與數(shù)學(xué)文化《周髀算經(jīng)》中記載"勾股定理"："勾廣三，股修四，徑隅五"．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出"割圓術(shù)"："割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣"．下列說法正確的有（）A．"勾股定理"體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想B．"割圓術(shù)"體現(xiàn)了極限的思想C．"勾三股四弦五"是勾股定理的特例D．"割圓術(shù)"可用于推導(dǎo)球的體積公式11．類比推理與現(xiàn)實(shí)情境某快遞公司為優(yōu)化配送路線，對區(qū)域內(nèi)配送點(diǎn)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)分析，將配送點(diǎn)抽象為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)．若點(diǎn)(A(x_1,y_1))與點(diǎn)(B(x_2,y_2))的"配送距離"定義為(d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)，則下列結(jié)論正確的有（）A．若(A,B,C)三點(diǎn)共線，則(d(A,B)+d(B,C)=d(A,C))B．對于任意三點(diǎn)(A,B,C)，都有(d(A,B)+d(B,C)\geqd(A,C))C．點(diǎn)(A(1,2))到直線(x+y-4=0)的"配送距離"最小值為1D．以點(diǎn)(O(0,0))為中心，"配送距離"為2的點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積為812．反證法與立體幾何在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E,F)分別為棱(A_1D_1,C_1D_1)的中點(diǎn)，則下列命題中，可用反證法證明的有（）A．直線(EF)與直線(AC)不垂直B．直線(EF)與平面(ABCD)不平行C．平面(EFC)與平面(ADD_1A_1)相交D．三棱錐(E-ABC)的體積不等于正方體體積的(\frac{1}{4})三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．?dāng)?shù)學(xué)文化與歸納推理我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有"雞兔同籠"問題："今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？"若將問題改編為"上有30頭，下有(m)足"，且雉兔數(shù)量均為正整數(shù)，則(m)的取值范圍是________．14．類比推理與數(shù)列在等差數(shù)列({a_n})中，若(a_{10}=0)，則有(a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1+a_2+\cdots+a_{19-n})（(n<19)，(n\in\mathbb{N}^*)）成立．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列({b_n})中，若(b_9=1)，則有________成立（寫出一個正確的結(jié)論即可）．15．反證法與不等式用反證法證明"若(x>0,y>0)且(x+y>2)，則(\frac{1+y}{x})與(\frac{1+x}{y})中至少有一個小于2"時，假設(shè)內(nèi)容為________．16．邏輯推理與概率某高校為調(diào)查學(xué)生對"數(shù)學(xué)文化"課程的興趣，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，其中男生60人，女生40人．男生中有30人感興趣，女生中有25人感興趣．若從該樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，則該學(xué)生是男生且對課程感興趣的概率為________；若已知選取的學(xué)生對課程感興趣，則該學(xué)生是女生的概率為________．（本小題第一空2分，第二空3分）四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）邏輯推理與函數(shù)已知函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2})，(g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2})．（1）判斷函數(shù)(f(x))與(g(x))的奇偶性；（2）證明：對任意(x,y\in\mathbb{R})，都有([g(x)]^2-[f(x)]^2=1)；（3）若(f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x))，類比三角函數(shù)中的兩角和公式，寫出一個類似的等式，并證明你的結(jié)論．18．（12分）數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{a_n})（(n\in\mathbb{N}^*)）．（1）計算(a_2,a_3,a_4)的值，并推測數(shù)列({a_n})的單調(diào)性；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意(n\in\mathbb{N}^*)，都有(a_n\geq\sqrt{2})；（3）證明：對任意(n\in\mathbb{N}^*)，都有(|a_{n+1}-\sqrt{2}|<\frac{1}{4}|a_n-\sqrt{2}|)．19．（12分）類比推理與立體幾何在平面幾何中，"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半"，類比到空間幾何中，研究三棱錐的類似性質(zhì)．（1）提出一個合理的類比猜想；（2）證明你的猜想；（3）若三棱錐(P-ABC)中，(PA\perpPB)，(PB\perpPC)，(PC\perpPA)，且(PA=a)，(PB=b)，(PC=c)，求該三棱錐外接球的體積．20．（12分）反證法與不等式已知(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a+b+c=3)．（1）證明：(ab+bc+ca\leq3)；（2）用反證法證明：(a,b,c)中至少有一個不大于1；（3）若(a,b,c)成等比數(shù)列，證明：(a=b=c=1)．21．（12分）數(shù)學(xué)文化與概率統(tǒng)計《史記·天官書》中記載："魁枕參首，魁下六星，兩兩相比者，名曰三能．三能色齊，君臣和；不齊，為乖戾．"古人通過觀測"三能星"的顏色變化判斷朝政興衰．現(xiàn)代天文學(xué)研究表明，恒星顏色變化與其表面溫度相關(guān)，溫度由高到低依次呈現(xiàn)藍(lán)色、白色、黃色、橙色、紅色．某天文觀測站觀測到一組"三能星"（三顆恒星）的顏色數(shù)據(jù)，每顆恒星顏色為藍(lán)色、白色、黃色的概率分別為0.2，0.5，0.3，且各恒星顏色相互獨(dú)立．（1）求三顆恒星顏色均為白色的概率；（2）記三顆恒星中藍(lán)色恒星的顆數(shù)為(X)，求(X)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若三顆恒星顏色"齊"（即顏色全部相同）時，觀測站發(fā)出"和諧信號"，否則發(fā)出"異常信號"．若連續(xù)觀測三次，求恰有兩次發(fā)出"和諧信號"的概率．22．（12分）邏輯推理與數(shù)學(xué)建模某物流公司為提高配送效率，對無人機(jī)配送路線進(jìn)行優(yōu)化．如圖，某區(qū)域內(nèi)有三個配送點(diǎn)(A,B,C)，其中(A,B)兩點(diǎn)相距10千米，(\angleACB=90^\circ)，無人機(jī)從(C)點(diǎn)出發(fā)，依次前往(A,B)兩點(diǎn)配送貨物，最后返回(C)點(diǎn)．（1）若(