專題05一元二次方程、不等式【基礎(chǔ)回顧】知識點1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系方程的判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)的圖象方程的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根不等式的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R知識點2.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.知識點3．簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．【必備知識】1．一元二次不等式恒成立問題(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立?a>0且Δ<0；(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立?a<0且Δ<0；(3)若a可以為0，需要分類討論，一般優(yōu)先考慮a＝0的情形．2．對于不等式ax2＋bx＋c>0，需要討論a＝0時的情形．題型一求解一元二次不等式對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)．(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．【例題精講】1．集合A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x2﹣5x+6≤0}，則A∩B＝（）A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|﹣2≤x≤3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2＜x≤3}【答案】C【解答】解：已知集合A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝{x|2≤x≤3}，故A∩B＝{x|﹣2≤x＜3}∩{x|2≤x≤3}＝{x|2≤x＜3}．故選：C．2．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，則（?RA）∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣3，﹣2} C．{1，2，3} D．{2，3}【答案】A【解答】解：因為集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，所以?RA＝{x|x≤﹣1或x≥6}，則（?RA）∩B＝{﹣3，﹣2，﹣1}．故選：A．3．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，則A∪B＝（）A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[﹣1，3]【答案】B【解答】解：集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|x≥﹣1}＝[﹣1，+∞）．故選：B．4．不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，則bx2﹣ax+1＞0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|?1＜x＜1C．{x|x＜﹣3或x＞﹣1} D．{x|x＜?1或x＞【答案】B【解答】解：已知不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，即﹣1，3是方程x2﹣ax+b＝0的兩根，則a=2b=?3則bx2﹣ax+1＝﹣3x2﹣2x+1＞0，得﹣1＜x＜1則bx2﹣ax+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜1故選：B．5．關(guān)于x的不等式2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0的解集中整數(shù)有且只有2個，則正數(shù)a的取值范圍為（）A．[1，2） B．（1，2] C．（1，2） D．[1，2]【答案】B【解答】解：關(guān)于x的不等式2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0的解集中整數(shù)有且只有2個，因為a＞0，由2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0得（2x+1）（x﹣a）＜0，解得?1所以0、1∈(?12，a)，2?(?因此正數(shù)a的取值范圍是（1，2]．故選：B．題型二一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布解決由一個一元二次方程根的分布情況，確定方程中系數(shù)的取值范圍問題，主要從以下三個方面建立關(guān)于系數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．(1)判別式Δ的符號．(2)對稱軸x＝－eq\f(b,2a)與所給區(qū)間的位置關(guān)系．(3)區(qū)間端點處函數(shù)值的符號．【例題精講】1．若關(guān)于x的方程x2﹣ax+4＝0有兩相異實根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5） C．（4，5） D．（4，8）【答案】C【解答】解：根據(jù)題意，方程x2﹣ax+4＝0有兩相異實根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，則0＜x得4＜a＜5，則a的取值范圍為（4，5）．故選：C．2．若關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩個實數(shù)根的平方和等于11，則k等于（）A．k＝﹣3或k＝1 B．k＝﹣3 C．k＝1 D．k＝3【答案】C【解答】解：設(shè)方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，則Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0，即k≥?9由方程根與系數(shù)關(guān)系可得，x1因為方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩個實數(shù)根的平方和等于11，則x1則（2k+1）2﹣2（k2﹣2）＝11，解得k＝﹣3（舍去）或k＝1．故選：C．3．若關(guān)于x的方程ax2﹣2x+a＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，則x1A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）【答案】D【解答】解：若關(guān)于x的方程ax2﹣2x+a＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，則a≠0，且Δ＝4﹣4a2＞0，解得a∈（﹣1，0）∪（0，1），由韋達(dá)定理x1則x1因為a∈（﹣1，0）∪（0，1），所以a2∈（0，1），1a2∈(1，+∞)則x1故選：D．（多選）4．下列說法正確的是（）A．方程組x?y=2x+y=6的解集是{4，2}B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一個元素，則a=1C．“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一負(fù)根”的充要條件 D．已知集合M＝{0，4}，則滿足條件M∪N＝M的集合N的個數(shù)為4【答案】CD【解答】解：對于A，因為x?y=2x+y=6，解得x=4y=2，所以解集為{（4，2）}，故對于B，當(dāng)a＝0時，x+1＝0，解得x＝﹣1，此時集合A＝{﹣1}，滿足題意；當(dāng)a≠0時，需滿足Δ＝1﹣4a＝0，可得a=14，因此a＝0或a=1對于C，若一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一負(fù)根，可知兩根之積為負(fù)，即ca＜0，也即由ac＜0可知一元二次方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，即該方程有兩根，且兩根之積ca故C正確；對于D，由M∪N＝M可知N是集合M＝{0，4}的子集，所以集合N可以是?，{0}，{4}，{0，4}共4個，故D正確．故選：CD．（多選）5．下列說法正確的是（）A．命題：?x∈R，x2＞﹣1的否定是：?x∈R，x2≤﹣1 B．一元二次不等式2kx2+kx?38＜0C．x2＞y2是x＞y的必要而不充分條件 D．m＜0是關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一負(fù)根的充要條件【答案】AD【解答】解：對于A，命題“?x∈R，x2＞﹣1”的否定是“?x∈R，x2≤﹣1”，故A正確；對于B，因為2kx2+kx?因為一元二次不等式2kx2+kx?所以k＜0Δ=k2?4×2k×(?3對于C，由x2＞y2，可得|x|＞|y|，例如（﹣2）2＞（﹣1）2，但﹣2＜﹣1；x＞y也不能推出x2＞y2，例如1＞﹣2，而12＜（﹣2）2；所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于D，關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一負(fù)根，則兩根之積m＜0，所以“m＜0”是“關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件，故D正確．故選：AD．題型三二次函數(shù)（含參）單調(diào)性值域最值畫圖像，根據(jù)定義域，畫圖像。如果有參數(shù)，則分別討論“軸定區(qū)間動”還是“軸動區(qū)間定”。二次項如果有參數(shù)，需要討論參數(shù)是否為0?！纠}精講】1．若函數(shù)y＝﹣x2+（m+3）x+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在最大值，則m的取值范圍是（）A．（﹣2，0） B．（﹣3，﹣1） C．（0，2） D．（1，3）【答案】D【解答】解：因為函數(shù)y＝﹣x2+（m+3）x+1圖象的對稱軸為直線x=m+3由函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在最大值，得2＜m+32＜3故選：D．2．已知函數(shù)y＝x2﹣2x+3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（）A．[1，+∞） B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[1，2]【答案】D【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，作函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得，若y＝x2﹣2x+3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是[1，2]．故選：D．3．若函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+8，x∈[1，a]，它的最大值為f（a），則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，2] B．（1，3） C．（3，+∞） D．[3，+∞）【答案】D【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2﹣4x+8，對稱軸為x＝2，x∈[1，a]，它的最大值為f（a），則|a﹣2|≥|1﹣2|且a＞1，解得a≥3，故實數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．故選：D．（多選）4．函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+2在（﹣2，4）上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍可以是（）A．a(chǎn)≥8 B．a(chǎn)＝9 C．a(chǎn)≥﹣4 D．a(chǎn)≤﹣4【答案】ABD【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+2開口向上，對稱軸為x=a因為函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+2在（﹣2，4）上是單調(diào)函數(shù)，所以a2≤?2或a2≥4，解得故選：ABD．（多選）5．已知函數(shù)f（x）＝x2+2x+1在區(qū)間[﹣2，a）上既有最大值又有最小值，則實數(shù)a的值可以是（）A．﹣1 B．?12 C．0【答案】BC【解答】解：f（x）＝（x+1）2，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知，f（0）＝f（﹣2），當(dāng)a∈（﹣1，0]時，f（x）有最大值f（﹣2），有最小值f（﹣1）．故選：BC．題型四一元二次不等式恒成立問題恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．【例題精講】1．?x∈R，都有x2+4x+2k≥0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．k≤2 B．k≥2 C．k＜2 D．k＞2【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，二次方程x2+4x+2k＝0至多有一個實數(shù)解，則Δ＝42﹣4×1×2k＝8（2﹣k）≤0，解不等式得k≥2．故選：B．2．若關(guān)于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，?52] B．（﹣∞，?52） C．[?5【答案】A【解答】解：當(dāng)m＝0時，不等式﹣5x≤0，解得x≥0，顯然解集不是R，不符合題意；當(dāng)m≠0，由不等式的解集為R，則m＜0，且方程mx2﹣5x+m＝0時，Δ＝（﹣5）2﹣4m2≤0，可得m≤?5即m的范圍為（﹣∞，?5故選：A．3．已知不等式ax2+bx+1＞0的解集{x|?12＜x＜1}，若對?x∈[4，+∞），不等式bx2﹣mx﹣2aA．3 B．4 C．5 D．8【答案】C【解答】解：不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|?12＜x＜1}，則方程ax2+bx+1＝0的兩根為?由根與系數(shù)的關(guān)系可得?12+1=?不等式bx2﹣mx﹣2a≥0，即為x2﹣mx+4≥0，不等式x2﹣mx+4≥0對?x∈[4，+∞）恒成立，可得m2≤4或m2＞4解①得m≤5；解②得，不等式組無解．綜上所述：m≤5，則實數(shù)m的最大值為5．故選：C．（多選）4．下列說法正確的是（）A．當(dāng)x∈R時，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是[0，4） B．“a＞b＞0”是“1a＜C．命題“?x∈R，x2D．“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一個元素是“a=1【答案】ABD【解答】解：對于A，當(dāng)k＝0時，1＞0恒成立，符合題意；當(dāng)k≠0時，則k＞0Δ=k2綜上，k的取值范圍是[0，4），故選項A正確；對于B，若1a＜1b，當(dāng)ab＞0時可得a＞b＞0或b＜a＜0；當(dāng)ab＜0時可得即1a＜1b?a＞b＞0或b＜a故“a＞b＞0”是“1a＜1對于C，由于?x∈R，x所以命題“?x∈R，x2?x+對于D，當(dāng)a＝0時，A＝{x|ax2+x+1＝0}＝{﹣1}，集合A中只有一個元素，符合題意；當(dāng)a≠0時，若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一個元素，則Δ＝1﹣4a＝0，解得a=1則a＝0或a=1故“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一個元素是“a=14”的必要不充分條件，選項故選：ABD．（多選）5．下列命題正確的是（）A．要使關(guān)于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一根比1大且另一根比1小，則a的取值范圍是﹣2＜a＜1 B．x2﹣kx+k﹣1＜0在（1，2）上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是k＞3 C．關(guān)于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），則關(guān)于x的不等式ax+bx?2≥0的解集是{x|x≤﹣1或xD．若不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＜﹣2或x＞4}，則abc＞0【答案】AD【解答】解：對于A，令f（x）＝x2+（a2﹣1）x+a﹣2，則有f（1）＝1+（a2﹣1）+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1，故A正確；對于B，令g（x）＝x2﹣kx+k﹣1，則g(1)=12?k+k?1≤0g(2)=2對于C，∵關(guān)于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），∴a＝b＞0，則關(guān)于x的不等式ax+bx?2≥0的不等式等價于(ax+b)(x?2)≥0x?2≠0解得x≤﹣1或x＞2，故C錯誤；對于D，若不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＜﹣2或x＞4}，則a＞0?2+4=?得a＞0，b＝﹣2a＜0，c＝﹣8a＜0，所以abc＞0，故D正確．故選：AD．課時精練一．選擇題（共8小題）1．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|?12≤x≤?13A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案】C【解答】解：由原不等式的解集是{x|?1可知?12，?13是方程ax2則?1解得a=?6b=5，所以a+b故選：C．2．若關(guān)于x的不等式﹣x2+mx﹣1?0有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．{m|m?﹣2或m?2} B．{m|﹣2?m?2} C．{m|m＜﹣2或m＞2} D．{m|﹣2＜m＜2}【答案】A【解答】解：因為關(guān)于x的不等式﹣x2+mx﹣1?0有解，所以Δ＝m2﹣4?0，解得m?2或m?﹣2，則實數(shù)m的取值范圍為{m|m?2或m?﹣2}．故選：A．3．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，則（?RA）∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣3，﹣2} C．{1，2，3} D．{2，3}【答案】A【解答】解：因為集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，所以?RA＝{x|x≤﹣1或x≥6}，則（?RA）∩B＝{﹣3，﹣2，﹣1}．故選：A．4．已知x＞1，y＞0，x+y＝3，則（x﹣1）?y的最大值是（）A．14 B．12 C．4【答案】D【解答】解：∵x＞1，y＞0，x+y＝3，∴y＝3﹣x＞0，∴1＜x＜3，∴（x﹣1）?y＝（x﹣1）（3﹣x）≤(x?1+3?x2)2=1（當(dāng)且僅當(dāng)∴（x﹣1）?y的最大值是1．故選：D．5．關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＜0）的解集為（x1，x2），且x2﹣x1＝15，則a＝（）A．?52 B．?72 C．【答案】A【解答】解：關(guān)于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＜0）的解集為（x1，x2），且x2﹣x1＝15，不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0可轉(zhuǎn)化為（x﹣4a）（x+2a）＜0，因為a＜0，所以4a＜﹣2a，所以可解得4a＜x＜﹣2a，即不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＜0）的解集為（4a，﹣2a），從而x1＝4a，x2＝﹣2a，因為x2﹣x1＝15，所以﹣2a﹣4a＝15，解得a=?5故選：A．6．若函數(shù)f（x）＝x2+（1+a）x+2在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，7] B．[7，+∞） C．[﹣7，+∞） D．（﹣∞，﹣7]【答案】C【解答】解：因為f（x）＝x2+（1+a）x+2在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞增，所以?1+a2≤故選：C．7．已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+4x+5在區(qū)間[0，m]上的值域為[5，9]，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[2，4] B．[0，4] C．[0，2] D．[1，4]【答案】A【解答】解：已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+4x+5在區(qū)間[0，m]上的值域為[5，9]，又f（x）＝﹣x2+4x+5的圖象開口向下，對稱軸為x＝2，且f（0）＝f（4）＝5，f（2）＝9，∵函數(shù)f（x）＝﹣x2+4x+5在區(qū)間[0，m]上的值域為[5，9]，∴由圖可知，2≤m≤4，即實數(shù)m的取值范圍是[2，4]．故選：A．8．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，則11+A．14 B．1 C．4 【答案】B【解答】解：∵a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，∴a，b是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的兩個根，∴a+b＝4，ab＝1，∴1=(a+b=16故選：B．二．多選題（共3小題）（多選）9．下列命題中，正確的是（）A．若a＜b，則a2＜b2 B．若b＞a＞0，m＞0，則baC．若實數(shù)x，y滿足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，則x﹣2y＜0 D．關(guān)于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一個根比2大，另一個根比2小，則實數(shù)a的取值范圍是（?1【答案】BCD【解答】解：對于A，當(dāng)a＜b＜0，不成立，故A不正確；對于B，當(dāng)b＞a＞0，m＞0，則ba?b+m對于C．令f(x)=2x?3?x因為2x+9﹣y＜3﹣x+4y，所以f（x）＝2x﹣3﹣x＜22y﹣3﹣2y＝f（2y），即x＜2y，可得x﹣2y＜0，故C正確；對于D，令f（x）＝x2+（a2﹣1）x+a﹣2，方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一個根比2大，另一個根比2小，等價于f（2）＝2a2+a＜0，可得?12＜a＜0故選：BCD．（多選）10．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣2＜x＜3}，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為{x|x＜?1D．c＞0【答案】ABD【解答】解：已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣2＜x＜3}，則當(dāng)x＝1時，a+b+c＞0，故B正確；則a＜0且﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的兩根，故A正確；即有?ba=1ca=?6，則b＝﹣a，又不等式cx2﹣bx+a＜0等價于﹣6ax2+ax+a＜0，即6x2﹣x﹣1＜0，得?13＜x＜故選：ABD．（多選）11．下列不等式的解集正確的是（）A．﹣x2+4x﹣4＜0的解集是{x|x≠2} B．|x+3|≤2的解集是[﹣5，﹣1] C．2x+1x?1≤1的解集是{x|﹣2≤xD．|x﹣1|＞|2x﹣3|的解集是{x|【答案】ABD【解答】解：對于A，由﹣x2+4x﹣4＜0得﹣（x﹣2）2＜0，則x≠2，故A正確；對于B，由|x+3|≤2得﹣2≤x+3≤2，解得﹣5≤x≤﹣1，故B正確；對于C，由2x+1x?1≤1得x+2x?1≤0，則(x+2)(x?1)≤0x?1≠0對于D，由|x﹣1|＞|2x﹣3|得（x﹣1）2＞（2x﹣3）2，即（2x﹣3）2﹣（x﹣1）2＜0，則[（2x﹣3）﹣（x﹣1）][（2x﹣3）+（x﹣1）]＜0，即（x﹣2）（3x﹣4）＜0，解得43＜x＜2，故故選：ABD．三．填空題（共3小題）12．若關(guān)于x的不等式[（k2+2）x+1]?（2kx+5k+1）＞0的解集是A，且集合A中有且僅有1個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是[?1，?13【答案】[?1，?1【解答】解：當(dāng)不等式為一次不等式即k＝0時，由[（k2+2）x+1]?（2kx+5k+1）＞0，得到2x+1＞0，解得x＞?1又集合A中有且僅有1個整數(shù)，所以k＝0不合題意，當(dāng)不等式為二次不等式即k≠0時，由[（k2+2）x+1]?（2kx+5k+1）＝0，得到x=?1k2又?12＜?1k2+2＜0，若k＞0，則[（k2+2）x+1]?（2若k＜0，要使集合A中有且僅有1個整數(shù)，則?2≤?52?解得?1≤k＜?13或?15＜k≤?故答案為：[?1，?113．若對任意實數(shù)x，2kx2?kx+2都有意義，則實數(shù)【答案】[0，16]．【解答】解：由題意對任意實數(shù)x，2k即?∈R，2kx2﹣kx+2≥0成立，①當(dāng)k＝0，2≥0恒成立，符合題意；②當(dāng)k≠0時，要使2kx2﹣kx+2≥0，x∈R恒成立，只需k＞0(?k)綜上，實數(shù)k的取值范圍是[0，16]．故答案為：[0，16]．14．若存在0≤x≤3，使不等式mx+m≤﹣x2成立，則m的取值范圍是（﹣∞，0]．【答案】（﹣∞，0]．【解答】解：由不等式mx+m≤﹣x2，x∈[0，3]，可得m（x+1）≤﹣x2，因x∈[0，3]，故x+1∈[1，4]，即x+1＞0，于是m≤?令t＝x+1，則x＝t﹣1，t∈[1，4]，代入得m≤?(t?1函數(shù)y=t+1t在[1，4]上單調(diào)遞增，故當(dāng)t＝1時，2?t?1t取得最大值0，故故答案為：（﹣∞，0]．四．解答題（共5小題）15．設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．（1）若a＝﹣2，求f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥2x﹣3對一切實數(shù)恒成立，求a的取值范圍；（3）解關(guān)于x的不等式：f（x）＜a﹣1．【答案】（1）R；（2）{a|a≥1（3）當(dāng)a＜﹣1時，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜?1當(dāng)a＝﹣1時，原不等式的解集為{x|x≠1}；當(dāng)﹣1＜a＜0時，原不等式的解集為{x|x＞?1a或當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x＜1}；當(dāng)a＞0時，原不等式的解集為{x|?1【解答】解：（1）若a＝﹣2，可得f（x）＝﹣2x2+3x﹣4＜0，即2x2﹣3x+4＞0，因為Δ＝9﹣4×2×4＜0，且函數(shù)對應(yīng)的拋物線開口向上，所以不等式2x2﹣3x+4＞0的解集為R，即f（x）＜0的解集為R．（2）因為f（x）≥2x﹣3對一切實數(shù)恒成立，所以ax2+（1﹣a）x+a﹣2﹣2x+3＝ax2﹣（a+1）x+a+1≥0恒成立，若a＝0，x≤1不恒成立，不符合題意；若a≠0，則a＞0(a+1)2?4a(a+1)≤0綜上，{a|a≥1（3）f（x）＜a﹣1等價于ax2+（1﹣a）x﹣1＜0，當(dāng)a＝0時，不等式可化為x＜1，所以不等式的解集為{x|x＜1}．當(dāng)a＞0時，不等式可化為（ax+1）（x﹣1）＜0，此時?1所以不等式的解集為{x|?1當(dāng)a＜0時，不等式化為（ax+1）（x﹣1）＜0，①當(dāng)a＝﹣1時，?1a=1，不等式的解集為{x②當(dāng)﹣1＜a＜0時，?1a＞1，不等式的解集為{x|x＞?③當(dāng)a＜﹣1時，?1a＜1，不等式的解集為{x|x綜上，當(dāng)a＜﹣1時，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜?1當(dāng)a＝﹣1時，原不等式的解集為{x|x≠1}；當(dāng)﹣1＜a＜0時，原不等式的解集為{x|x＞?1a或當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x＜1}；當(dāng)a＞0時，原不等式的解集為{x|?116．已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx﹣12，（a，b∈R）．（1）若不等式f（x）＞0的解集為（﹣3，﹣1），求實數(shù)a，b的值；（2）若b＝4，對任意x∈R，f（x）≤0恒成立，求a的范圍；（3）當(dāng)b＝3a﹣4時，求解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．【答案】（1）a＝﹣4，b＝﹣16；（2）(?∞，?1（3）當(dāng)a＜?43時，不等式f（x）≥0的解集為當(dāng)a=?43時，不等式f（當(dāng)?43＜a＜0時，不等式f（x當(dāng)a＝0時，不等式f（x）≥0的解集為（﹣∞，﹣3]；當(dāng)a＞0時，不等式f（x）≥0的解集為(?∞，?3]∪[4【解答】解：（1）由題意，不等式f（x）＞0的解集為（﹣3，﹣1），即方程ax2+bx﹣12＝0的兩根為﹣3和﹣1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得a＜0?3+(?1)=?ba(?3)(?1)=?12（2）當(dāng)b＝4時，函數(shù)f（x）＝ax2+4x﹣12，因為對任意x∈R，f（x）≤0恒成立，即對任意x∈R，ax2+4x﹣12≤0恒成立，當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）＝ax2+4x﹣12，為開口向上的二次函數(shù)，不成立；當(dāng)a＝0時，則4x﹣12≤0，解不等式得x≤3，不成立；當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）＝ax2+4x﹣12，為開口向下的二次函數(shù)，則f（x）≤0恒成立，即Δ＝42﹣4a×（﹣12）≤0，解不等式得a≤?1綜上所述，若b＝4，對任意x∈R，f（x）≤0恒成立，則a的范圍為(?∞，?1（3）當(dāng)a＝0時，則b＝﹣4，f（x）＝﹣4x﹣12，則f（x）≥0，即﹣4x﹣12≥0，解不等式得x≤﹣3；當(dāng)a＜0時不等式化為(x+3)(x?4當(dāng)4a＞?3，即a＜?4當(dāng)4a=?3，即a=?4當(dāng)4a＜?3，即?4當(dāng)a≠0時，b＝3a﹣4，則f（x）＝ax2+（3a﹣4）x﹣12＝（x+3）（ax﹣4），令f（x）＝0，解得x＝﹣3或x=4當(dāng)a＞0時，則(x+3)(x?4a)≥0，解得x綜上所述，當(dāng)a＜?43時，不等式f（x）≥0的解集為當(dāng)a=?43時，不等式f（當(dāng)?43＜a＜0時，不等式f（x當(dāng)a＝0時，不等式f（x）≥0的解集為（﹣∞，﹣3]；當(dāng)a＞0時，不等式f（x）≥0的解集為(?∞，?3]∪[417．已知a∈R，命題p：方程x2﹣2x+a＝0無實根；命題q：對任意x∈R，不等式ax2﹣ax+1＞0恒成立．（1）若p為真命題，求a的取值范圍；（2）若p、q中有且只有一個為真命題，求a的取值范圍．【答案】（1）（1，+∞）；（2）[0，1]∪[4，+∞）．【解答】解：（1）若p為真命題，即方程x2﹣2x+a＝0無實根，則Δ＝4﹣4a＜0，即a＞1，故a的取值范圍是（1，+∞）；（2）若命題q：對任意x∈R，不等式ax2﹣ax+1＞0恒成立為真命題，則a＝0或a＞0Δ=a2若p、q中有且只有一個為真命題，包括p真q假或p假q真，則a＞1a＜0或a≥4或a≤10≤a＜4，解得a≥4或0≤則a的取值范圍是[0，1]∪[4，+∞）．18．高斯，著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．函數(shù)y＝[x]成為高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．（1）求?52≤[x]≤52的解集和2[x（2）若?1≤x≤72，[x]2﹣m[x]+4＞0恒成立，求（3）若[x]2﹣2[x]﹣a2+1≤0的解集為{x|0≤x＜3}，求a的范圍．【答案】（1）{x|﹣2≤x＜3}；{x|3≤x＜4}；（2）