專題01三角形（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律三角形的有關(guān)概念能準(zhǔn)確描述三角形各部分名稱，明確三角形的定義基礎(chǔ)必考點(diǎn)，常結(jié)合圖形在小題中考查對(duì)概念的識(shí)別三角形的分類能根據(jù)角或邊的特征，正確對(duì)三角形進(jìn)行分類高頻考點(diǎn)，易因混淆分類標(biāo)準(zhǔn)而出錯(cuò)，多在選擇題或填空題中出現(xiàn)三角形三邊關(guān)系掌握“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，并能運(yùn)用此關(guān)系判斷三條線段能否組成三角形、求線段的取值范圍等重要考點(diǎn)，常以選擇題、填空題形式考查，是解決三角形邊長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)三角形的內(nèi)角和定理理解并能靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和為180°，以及直角三角形兩銳角互余等推論進(jìn)行角度計(jì)算與證明核心考點(diǎn)，貫穿三角形角度相關(guān)題目，在計(jì)算、證明題中高頻出現(xiàn)三角形的外角性質(zhì)能運(yùn)用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行角度的計(jì)算與推導(dǎo)常與內(nèi)角和定理結(jié)合考查，在幾何證明與計(jì)算中應(yīng)用廣泛三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.概念示例圖示頂點(diǎn)三角形兩邊的公共點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C邊組成三角形的三條線段稱為三角形的三條邊.線段AB，線段BC，線段AC內(nèi)角在三角形中，每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.∠A，∠B，∠C三角形的表示：用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，字母的順序可以自由安排，即?ABC，?ACB等均為同一個(gè)三角形.【解讀】1）判定一個(gè)圖形是三角形的條件【缺一不可】：①三條線段；②不在同一條直線上；③首尾順次相接；2）△ABC的三邊，有時(shí)也用a，b，c表示.在上圖中，頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對(duì)的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對(duì)的邊AB用c表示；文字表述數(shù)字語(yǔ)言理論依據(jù)應(yīng)用圖形三角形的任意兩邊之和大于第三邊在△ABC中，a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a兩點(diǎn)之間線段最短1）判斷三條已知線段能否組成三角形．2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|ab|＜c＜a＋b3）【易錯(cuò)】所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．三角形的任意兩邊之差小于第三邊在△ABC中，|ab|＜c；|ac|＜b；|bc|＜a【補(bǔ)充】三角形三邊關(guān)系定理及其推論是判定三條線段能否構(gòu)成三角形的依據(jù)，也是用于證明幾何圖形中線段不等關(guān)系的重要依據(jù).三角形的高三角形的中線三角形的角平分線定義從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖示作法過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．性質(zhì)∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12【解讀】1）一個(gè)三角形有三條高，它們都是線段，它們的位置由三角形的形狀來(lái)決定：【小結(jié)】三角形的高，一定記住垂足不一定落在三角形的邊上，有能落在邊的延長(zhǎng)線上.2）常見(jiàn)結(jié)論（熱考）：①三角形的高→90°的角；②三角形的中線將一個(gè)大三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形(等底同高)；三角形的中線延長(zhǎng)1倍，容易構(gòu)造平行四邊形(倍長(zhǎng)中線模型).③三角形的角平分線→相等的角或成2倍關(guān)系的角.三角形的穩(wěn)定性:如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)確定后，那么三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.【解讀】1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．2）四邊形不具有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊的長(zhǎng)度確定后，不能確定它的形狀，因?yàn)樗母鱾€(gè)角的大小還可以改變.因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得.定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．表達(dá)形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°證明方法：圖示方法構(gòu)造平角構(gòu)造鄰補(bǔ)角構(gòu)造同旁內(nèi)角具體把三個(gè)角“移”成一個(gè)平角可延長(zhǎng)三角形的任一邊，得到鄰補(bǔ)角，然后過(guò)該角的頂點(diǎn)作該角的對(duì)邊的平行線.過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作平行于這一點(diǎn)所對(duì)邊的射線.【解讀】無(wú)論三角形的形狀、大小如何改變，三角形三個(gè)內(nèi)角的和仍等于180°；三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.圖中的∠ACD為△ABC的一個(gè)外角.三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．三角形的外角和定理：三角形的外角和為360°．解｜題｜技｜巧1）判定一個(gè)圖形是三角形的條件【缺一不可】：①三條線段；②不在同一條直線上；③首尾順次相接；2）對(duì)于三角形的相關(guān)概念，切記死記硬背，要理解概念的本質(zhì)屬性，復(fù)雜的圖形應(yīng)重視圖形的分解與組合.1．（2425八年級(jí)上·貴州·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形B．三角形按邊分類可分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形和等邊三角形C．關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形大小不變，形狀改變D．兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【答案】D【分析】分別根據(jù)三角形的定義、分類、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定，逐一判斷即可得出答案；本題考查三角形的定義、分類、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理，需要熟練掌握三角形的相關(guān)概念【詳解】A、由同一平面不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，故A錯(cuò)誤；B、三角形按邊分類可分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，故B錯(cuò)誤；C、關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形大小不變，形狀不變，故C錯(cuò)誤；D、兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故D正確；故選D2．（2324八年級(jí)上·山東德州·期中）下列由三條線段組成的圖形是三角形的是（）【答案】C【分析】本題考查了三角形的定義，掌握“在同一平面內(nèi)，由三條線段首尾順次連接形成的封閉圖形叫做三角形”是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形的定義可知，只有C選項(xiàng)的圖形是三角形，故選：C．3．（2324八年級(jí)上·北京·單元測(cè)試）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．∠A，∠B，∠ACB是△ABC的內(nèi)角B．∠BCD是與∠ACB相鄰的角C．∠BCD+∠A=180°D．△ABC的三條邊分別是AB，BC，AC【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的相關(guān)概念，熟知三角形的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∠A，∠B，∠ACB是△ABC的內(nèi)角，原說(shuō)法正確，不符合題意；B、∠BCD是與∠ACB相鄰的角，原說(shuō)法正確，不符合題意；C、∠BCD+∠ACB=180°，但∠BCD+∠A不一定等于180°，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D、△ABC的三條邊分別是AB，BC，AC，原說(shuō)法正確，不符合題意；故選：C．4．（2324七年級(jí)下·四川眉山·期中）下列說(shuō)法：①平分三角形內(nèi)角的射線是三角形的角平分線；②三角形的中線、角平分線、高都是線段；③一個(gè)三角形有三條角平分線和三條中線；④直角三角形只有一條高；⑤三角形的中線、角平分線、高都在三角形的內(nèi)部．其中正確的個(gè)數(shù)（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了三角形的角平分線、高線、中線的定義與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，需熟記．根據(jù)三角形的角平分線、高線、中線對(duì)各說(shuō)法分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：①三角形的角平分線是線段，不是射線，故說(shuō)法錯(cuò)誤；②三角形的中線、角平分線、高都是線段，故說(shuō)法正確；③一個(gè)三角形有三條角平分線和三條中線，故說(shuō)法正確；④直角三角形有兩條直角邊和直角頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段共三條高，故說(shuō)法錯(cuò)誤；⑤三角形的中線、角平分線都在三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故說(shuō)法錯(cuò)誤．所以正確的有兩個(gè)．故選：B．5．（2425八年級(jí)上·貴州銅仁·期中）如圖，△ABC被木條遮住了一部分，只露出∠A，則∠B與∠C可能是（

）A．一個(gè)直角，一個(gè)銳角 B．兩個(gè)鈍角C．一個(gè)鈍角，一個(gè)銳角 D．兩個(gè)銳角【答案】D【分析】本題考查了三角形的分類，理解并掌握三角形的分類是解題的關(guān)鍵．三角形根據(jù)角度分為：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，∠A是鈍角，∴∠B與∠C可能是兩個(gè)銳角，故選：D．解｜題｜技｜巧1)三角形具有穩(wěn)定性.2)四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.3）要判斷圖形是否具有穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于它的結(jié)構(gòu)是不是三角形.6．（2425八年級(jí)上·福建廈門·期中）下列生活實(shí)物圖形中，不是運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性的是（

）【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：由題意得，A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中的圖形都運(yùn)用了三角形的穩(wěn)定性，D選項(xiàng)中的圖形具有伸縮功能，不運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性，故選：D．7．（2425八年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期末）2024年7月27日，在巴黎奧運(yùn)會(huì)射擊10米氣步槍混合團(tuán)體決賽中，中國(guó)組合奪得金牌，這也是本屆巴黎奧運(yùn)會(huì)誕生的首枚金牌．射擊隊(duì)員在瞄準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)，手、肘、肩構(gòu)成托槍三角形，這種方法應(yīng)用的幾何原理是．【答案】三角形的穩(wěn)定性【分析】本題考查三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行作答即可．【詳解】解：這種方法應(yīng)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性；故答案為：三角形的穩(wěn)定性．8．（2425七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）給出下列圖形：其中具有穩(wěn)定性的是（把序號(hào)填在橫線上）【答案】②③【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的穩(wěn)定性質(zhì)．利用三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得，具有穩(wěn)定性的圖形是②和③，故答案為：②③．9．（2021七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長(zhǎng)四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意運(yùn)用四邊形的不穩(wěn)定性和三角形的穩(wěn)定性來(lái)回答問(wèn)題即可．【詳解】解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離．它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的不穩(wěn)定性，要使物體具有穩(wěn)定性，應(yīng)做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等，理解題意是解題的關(guān)鍵．解｜題｜技｜巧若滿足：最短的線段長(zhǎng)+中間的線段長(zhǎng)＞最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)，即可構(gòu)成三角形.10．（2425八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知線段AB=9cm，下列長(zhǎng)度的兩條線段能與AB組成三角形的是（

A．4cm、4cm B．15cm、6cm C．【答案】C【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形，由此即可判斷．【詳解】解：A、4+4<9，不能組成三角形，故不A符合題意；B、6+9=15，不能組成三角形，故B不符合題意；C、5+7>9，能組成三角形，故C符合題意；D、8+1=9，不能組成三角形，故D不符合題意．故選：C．11．（2021·四川宜賓·中考真題）若長(zhǎng)度分別是a、3、5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，求出a的取值范圍即可得解．【詳解】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得5-3<a<5+3，即2<a<8，則選項(xiàng)中4符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12．（2425八年級(jí)上·廣東中山·期中）已知△ABC的三條邊長(zhǎng)為2，x-1，7，則x的取值范圍是．【答案】6<x<10【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，解不等式組，根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊列出不等式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，得出7-2<x-1<7+2，解不等式組即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，7-2<x-1<7+2，解得：6<x<10．故答案為：6<x<10．13．（2425八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，若a，b滿足a-3+b-22=0，且【答案】c=2，3，4．【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，絕對(duì)值和偶次冪非負(fù)性，由a-3+b-22=0，得【詳解】解：∵a-3+∴a-3=0，b-2=0，解得a=3，b=2，∴3-2<c<3+2，∴1<c<5，∵c是整數(shù)，∴c=2，3，4．14．（2425八年級(jí)上·云南玉溪·期中）已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且a，b，c均為整數(shù)．(1)若a=3，b=5，求邊長(zhǎng)c的取值范圍：；(2)在（1）的條件下，若c為偶數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)3、4、5、6、7(2)12或14【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形三邊之間的關(guān)系；（1）根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，進(jìn)而即可求解；（2）將c的值表示出來(lái)，分情況計(jì)算周長(zhǎng)即可求解；【詳解】（1）∵△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，∵a=3，b=5，∴5-3<c<5+3，即2<c<8，且a，b，c均為整數(shù)，故c的取值范圍為：3、4、5、6、7；故答案為：3、4、5、6、7（2）解：c為偶數(shù)，2<c<8，故c可取4，6；當(dāng)c=4時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為3+5+4=12；當(dāng)c=6時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為3+5+6=14解｜題｜技｜巧三角形任意兩邊之和大于第三邊是構(gòu)成三角形的重要依據(jù).任意給定三條線段，并不能保證可以構(gòu)成三角形，必須用三角形三邊的關(guān)系去驗(yàn)證.15．（2324八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)為x、y，一邊長(zhǎng)為14，則x、y的值可能是（

）A．12和16 B．20和22 C．10和16 D．8和36【答案】B【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用三角形的三邊關(guān)系來(lái)判斷對(duì)角線的范圍．根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，則對(duì)角線的一半和已知的邊組成三角形，再利用三角形的三邊關(guān)系可逐個(gè)判斷．【詳解】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，一邊與兩條對(duì)角線的一半構(gòu)成三角形，所以根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷：A、∵6+8=14，∴不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵10+11=21>14，∴能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；C、∵5+8=13<14，∴不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵4+14=18，∴不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．16．（2024·河北邢臺(tái)·一模）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1，1，3，x的線段，首尾順次相接組成凸四邊形（如圖），x可能是（

）A．7 B．5 C．3 D．1【答案】C【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用．如圖，設(shè)這個(gè)凸四邊形為ABCD，連接BD，并設(shè)BD=a，先在△BCD中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得2<a<4，再在△ABD中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a-AB<AD<a+AB，即a-1<x<a+1從而可得0<x<5，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖，如圖，設(shè)這個(gè)凸四邊形為ABCD，連接BD，并設(shè)BD=a，在△BCD中，3-1<a<3+1，即2<a<4，在△ABD中，a-AB<AD<a+AB，即a-1<x<a+1，所以1<x<5觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合．故選：C．17．（2324八年級(jí)上·四川自貢·期中）若△ABC的三邊為a,b,c，則化簡(jiǎn)|a+b-c|-|b-a-c|的結(jié)果是．【答案】2b-2c【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值，合并同類項(xiàng)，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到a+b-c>0,b-a-c<0，再去絕對(duì)值，最后合并，即可解答．【詳解】解：∵△ABC的三邊為a,b,c，∴a+b>c,b<a+c，即a+b-c>0,b-a-c<0，∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c+b-a-c=2b-2c．故答案為：2b-2c．18．（2425八年級(jí)上·重慶長(zhǎng)壽·期中）已知△ABC的邊AB，邊BC的長(zhǎng)度分別是不等式組2x-13≤53x-52>5的最大整數(shù)解與最小整數(shù)解；如果△ABC的周長(zhǎng)是奇數(shù)，則△ABC【答案】3【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確求出不等式組的解集．先求出不等式組的解集，然后根據(jù)解集求出其最大整數(shù)解與最小整數(shù)解，根據(jù)三邊關(guān)系求出AC范圍，再結(jié)合△ABC的周長(zhǎng)是奇數(shù)求解即可．【詳解】解：由2x-13解不等式①得：x≤8，解不等式②得：x>5，∴不等式組的解集為5<x≤8，則不等式組最大的整數(shù)解為8，最小整數(shù)解為6．∵△ABC的周長(zhǎng)是奇數(shù)，8+6=14是偶數(shù)，且2<AC<14，則△ABC的第三條邊AC的長(zhǎng)度的最小值3，故答案為：3．19．（2324七年級(jí)下·上海浦東新·期中）如圖，如圖四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，試說(shuō)明：AC與BD的和小于四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出AD+AB>BD，CD+BC>BD，AD+CD>AC，AB+BC>AC，計(jì)算得出AD+AB+CD+BC>AC+BD，即可得證，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：在△ABD中，AD+AB>BD，在△BCD中，CD+BC>BD，在△ACD中，AD+CD>AC，在△ABC中，AB+BC>AC，∴AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC>BD+BD+AC+AC，∴2AD+AB+CD+BC∴AD+AB+CD+BC>AC+BD，∴AC與BD的和小于四邊形ABCD的周長(zhǎng)．20．（2324八年級(jí)上·湖北武漢·期中）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．(1)化簡(jiǎn)式子a-b+c+a-b-c(2)若a=x+8，b=3x-2，c=x+2．①x的取值范圍是；②當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求a，b，c的值．【答案】(1)2c(2)①83<x<12；②a，b，c的值為13，13【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系．（1）由三角形三邊關(guān)系定理得：a+c>b，b+c>a，即可化簡(jiǎn)|a-b+c|+|a-b-c|；（2）①由三角形三邊關(guān)系定理列出不等式組，再求解即可；②分三種情況分類討論，分別根據(jù)等腰列方程求解，再判斷是否構(gòu)成三角形即可．【詳解】（1）解：由三角形三邊關(guān)系定理得：a+c>b，b+c>a，∴|a-b+c|+|a-b-c|=a-b+c+b+c-a=2c，故答案為：2c；（2）解：①∵a=x+8，b=3x-2，c=x+2，∴x+8+3x-2>x+23x-2+x+2>x+8∴83故答案為：83②分以下三種情況：如果△ABC的腰是a，b，則x+8=3x-2，∴x=5，∴a=b=13，c=7，a，b，c符合三角形三邊關(guān)系；如果△ABC的腰是b，c，則3x-2=x+2，∴x=2，∴a=10，b=c=4，a，b，c不能組成三角形；如果△ABC的腰是a，c，則x+8=x+2，此時(shí)無(wú)解；綜上，a，b，c的值為13，13，7．解｜題｜技｜巧題型一方法：已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)，但沒(méi)有明確腰，底分別是多少，需要進(jìn)行討論，所求得的結(jié)果還要滿足三角形的三邊關(guān)系.題型二方法：已知等腰三角形周長(zhǎng)和一條邊的長(zhǎng)，需分情況討論已知的邊長(zhǎng)是腰還是底，所求得的結(jié)果還要滿足三角形的三邊關(guān)系.21．（2425八年級(jí)上·四川德陽(yáng)·期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x-3+y-72=0，則以x，A．17 B．13 C．17或13 D．12【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x-3=0，y-7=0，則x=3，y=7，再分腰長(zhǎng)為【詳解】解：∵x-3+y-72∴x-3=∴x-3=0，∴x=3，當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，則該等腰三角形的三邊長(zhǎng)為3，3，7，∵3+3<7，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)腰長(zhǎng)為8時(shí)，則該等腰三角形的三邊長(zhǎng)為3，7，7，∵3+7>7，∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為3+7+7=17，故選：A．22．（2324七年級(jí)下·陜西西安·期末）已知一等腰三角形的周長(zhǎng)為20，若其中一邊長(zhǎng)為6，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

）A．6或8 B．6或7 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，分類討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分長(zhǎng)為6的邊為腰或底兩種情況分析，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件取舍，即可求得答案．【詳解】解：①6是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為：20-6×2=8，三角形的三邊長(zhǎng)分別為6、6、8，能組成三角形；②6是底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為：12三角形的三邊長(zhǎng)分別6、7、7，能組成三角形；綜上所述，該等腰三角形的腰長(zhǎng)是6或7，故選：B．23．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知a2+b2-4a-2b+5=0，則以a【答案】1【分析】本題考查了等腰三角形的概念，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，因式分解等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．先對(duì)a2+b2-4a-2b+5=0【詳解】解：∵a2∴a-22∴a-2=0，b-1=0，∴a=2，b=1，①當(dāng)三邊為2，2，1時(shí)，能構(gòu)成三角形，∴底邊長(zhǎng)為1；②當(dāng)三邊為2，1，1時(shí)，不能構(gòu)成三角形，綜上可知：等腰三角形的底邊長(zhǎng)為1，故答案為：1．24．（2425八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)為9，則這個(gè)三角形的底邊為．【答案】4【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系．考查學(xué)生分類討論思想以及驗(yàn)證能力．先分類討論，然后利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為4時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為：4,4,9，∵4+4<9，所以不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為9時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為：4,9,9，此時(shí)能構(gòu)成三角形此時(shí)這個(gè)等腰三角形的底邊為4，故答案為：4．解｜題｜技｜巧高與面積有關(guān):①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.②高相等，面積之比等于底邊之比.25．（2425七年級(jí)下·湖南永州·期末）在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，則點(diǎn)A到BC的距離是（

）A．165 B．185 C．125【答案】C【分析】在直角三角形中，點(diǎn)A到斜邊BC的距離可以通過(guò)面積法求解；利用兩種不同的面積表達(dá)式建立方程，解出高即可.【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，直角邊AB=3，AC=4，∴S=∵設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h，∴S=∴6=5h故選：C.26．（2526八年級(jí)上·全國(guó)·周測(cè)）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高．在△BCD中，BE是CD邊上的中線．若AD=DB，且S△BEC=4，則AB?CD的值為（A．16 B．24 C．28 D．32【答案】D【分析】本題考查了三角形中線和高的性質(zhì)以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求解是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)中線性質(zhì)求出△BCD的面積，再根據(jù)AD=DB求出△ABC的面積，再根據(jù)面積公式求出AB·CD的值.【詳解】解：∵BE是DC邊上的中線，∴ED=EC，∴∴∵AD=DB∴∴∵CD是AB邊上的高線，∴∴AB·CD=32.故選：D．27．（2425八年級(jí)下·廣西貴港·期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，S△ABC=9，DE=2，AB=5，則△ADC的面積是（A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】本題考查三角形高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題．根據(jù)題意求出△ABD的面積=12AB?DE=5【詳解】解：∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DE=2，AB=5，∴S△ABD又∵S△ABC∴△ADC的面積S△ADC故選：C．28．（2425七年級(jí)下·廣東汕頭·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是O0,0，A1,2，B3,3，C4,0，則四邊形A．152 B．8 C．172 D【答案】A【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形面積．過(guò)A作AM⊥OC于M，過(guò)B作BN⊥OC于N，根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)可求出OM，AM，MN，BN，CN，然后根據(jù)S四邊形【詳解】解∶過(guò)A作AM⊥OC于M，過(guò)B作BN⊥OC于N，∵O0,0，A1,2，B3,3∴OM=1，AM=2，ON=BN=3，CO=4，∴MN=ON-OM=2，CN=OC-ON=1，∴四邊形OABC的面積===15故選：A．29．（2425七年級(jí)上·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）【三角形的面積】如圖，三角形ABC的周長(zhǎng)為40cm，P點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，且點(diǎn)P到三邊的距離均為3cm，則三角形ABC的面積為cm【答案】60【分析】此題考查求三角形的面積，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，連接PA,PB,PC，得到PD=PE=PF=3cm，根據(jù)三角形ABC的面積為=S△APB【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，連接PA,PB,PC，∵點(diǎn)P到三邊的距離均為3cm，∴PD=PE=PF=3cm∴三角形ABC的面積為=====60cm故答案為：60．30．（2526八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD與CE都是△ABC的高，AD=3cm，CE=6cm，求AB與【答案】1:2【分析】本題考查了三角形的面積公式，比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的面積公式，得到BC?AD=AB?CE，再利用比例的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：∵S△ABC∴BC?AD=AB?CE，∴AB∵高AD與CE的長(zhǎng)分別為3cm、6∴AB即AB與BC的長(zhǎng)度之比是1:2．解｜題｜技｜巧1）條件中有中點(diǎn)，想到作中線，更要想到作中位線.中點(diǎn)必定與中線或者中位線相聯(lián)系.2）中線性質(zhì)：①中點(diǎn)將邊平分；②中線將面積平分；③三邊中線交點(diǎn)為重心，切記重心的性質(zhì).31．（2324八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線，以下結(jié)論正確的是（）A．BC=2AD B．AF=12AB C．AD=CD D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的中線的定義：三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．根據(jù)三角形的中線的定義判斷即可．【詳解】解：∵AD，BE，CF是△ABC的三條中線，∴AE=EC=12AC，A、則BC=2BD=2DC，故該選項(xiàng)不一定正確；B、則AF=1C、則BD=DC=1D、則BE與CF不一定相等，故該選項(xiàng)不一定正確；故選：B．32．（2425七年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，AE是△ABC的中線，點(diǎn)D在BE上，若BD=2，CD=4，則S△ADES△ABC【答案】1【分析】本題考查了中線的性質(zhì)，設(shè)A到BC的距離為h，由AE是△ABC的中線，則BE=CE=12BC=3，求出DE=1【詳解】解：設(shè)A到BC的距離為h，∵BD=2，CD=4，∴BC=6，∵AE是△ABC的中線，∴BE=CE=1∴DE=BE-BD=3-2=1，∴S△ADE故答案為：1633．（2526八年級(jí)上·全國(guó)·周測(cè)）已知AD,AE分別是△ABC的高和中線．若BD=2,CD=1，求DE的長(zhǎng)．【答案】DE的長(zhǎng)為0.5或1.5【分析】本題考查了三角形的高線，中線的定義，線段的和差關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)鍵．分為AD在△ABC的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況進(jìn)行分析，先分別求出BC的值，再結(jié)合三角形的中線定義，即可求解．【詳解】解：分以下兩種情況討論：①當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部，如圖：∵BD=2,CD=1,∴BC=3．∵AE是△ABC的中線，∴EC=1∴DE=EC-DC=0.5；②當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部，如圖：∵BD=2,CD=1,∴BC=1．∵AE是△ABC的中線，∴EC=1∴DE=EC+DC=1.5．綜上所述，DE的長(zhǎng)為0.5或1.5．34．（2324七年級(jí)下·江蘇宿遷·期中）已知△ABC的周長(zhǎng)為37cm，AD是BC邊上的中線．(1)如圖，當(dāng)AB=15cm時(shí)，求BD(2)若AC=14cm，能否求出DC【答案】(1)6(2)不能，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)三角形周長(zhǎng)和邊的關(guān)系解答即可．此題考查三角形的中線以及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵AC=23AB∴AC=10cm又∵△ABC的周長(zhǎng)為37cm∴BC=12cm∵AD是BC邊上的中線，∴BD=1（2）解：不能，理由如下：∵AC=23AB∴AB=21cm又∵△ABC的周長(zhǎng)為37∴BC=37-14-21=2cm∵AC+BC=16<AB=21，∴不能構(gòu)成三角形ABC，則不能求出DC的長(zhǎng)．解｜題｜技｜巧1）周長(zhǎng)差=中線兩邊的邊長(zhǎng)差=長(zhǎng)邊短邊2）三角形的一條中線把原來(lái)的三角形分成兩個(gè)同地等高的三角形，因此分得的兩個(gè)三角形面積相等，利用這一特點(diǎn)可以求解有關(guān)的面積問(wèn)題.35．（遼寧省大連市高新園區(qū)20242025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，CD是△ABC的中線，BC=a，AC=b，a>b，則△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大（用含a，【答案】a-b【分析】本題考查列代數(shù)式，涉及中線性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)等知識(shí)，先由中線定義得到DA=DB，再由三角形周長(zhǎng)定義，表示出△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)差即可得到答案，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵CD是△ABC的中線，∴DA=DB，∵BC=a，AC=b，a>b，∴=BC-AC=a-b，故答案為：a-b．36．（江蘇省宿遷市泗洪縣新星中學(xué)20242025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中練習(xí)）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AD為BC邊上的中線，DF為△ABD中AB邊上的中線．已知AB=5，AC=3，△ABC的面積為6．（1）△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為；（2）△ABD的面積為；（3）△ADF的面積為．【答案】231.5【分析】本題考查三角形的面積及三角形的中線性質(zhì)，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的中線的定義，得到BD=CD，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)的公式，代入化簡(jiǎn)，即可求得答案；（2）根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)，中線AD將△ABC的面積平分，可得到S△ABD（3）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，得到中線DF將△ABD的面積平分，進(jìn)而得到S△ADF【詳解】解：（1）∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，∴C△∴△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為2．故答案為：2；（2）∵AD為BC邊上的中線，∴BD=BC∴S△ABD故答案為：3；（3）∵DF為AB邊上的中線，∴AF=AB∴S△ADF故答案為：1.5．37．（2425七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，連接CE，點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)，連接BE、BF，若△ABC的面積等于10cm2，則陰影部分△BEF的面積等于【答案】5【分析】本題考查了三角形的面積，三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的兩個(gè)小三角形得出S△BED=12S△ABD，S△CED【詳解】解：∵點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，∴S△BED=1∵△ABC的面積等于10cm∴S△ABD∴S△BED∴S△BCE∵點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)，∴S△BEF故答案為：5238．（2425七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是線段AF、BD、CE的中點(diǎn)．若△ABC的面積為10，則陰影部分圖形的面積為．【答案】10【分析】本題考查了三角形的面積和中線的性質(zhì)：三角形的中線將三角形面積分成相等的兩部分．連接AE,CD,BF，根據(jù)中線將三角形面積分成相等的兩部分可知陰影部分的面積是△ABC的面積的17【詳解】解：連接AE,CD,BF，∵點(diǎn)D、E、F分別是線段AF、BD、CE的中點(diǎn)，∴S△AED=S△ABES△AED∴S△DEF∵△ABC的面積為10，∴S故答案為：10739．（2425七年級(jí)下·北京·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三角形ABC中，BD:DC=1:2，E為AD的中點(diǎn)，若三角形ABC的面積為120平方厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？【答案】陰影部分的面積是32平方厘米．【分析】本題考查了三角形的面積，一元一次方程的應(yīng)用．連接DF，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，求得△AEC和△DEC的面積都等于12×80=40，△AEF和△DEF的面積相等，設(shè)△AEF和△DEF的面積都等于x，利用△ABD的面積為【詳解】解：連接DF，∵BD:DC=1:2，△ABC的面積為120，∴△ABD的面積為120×13=40，△ADC∵E為AD的中點(diǎn)，∴△AEC和△DEC的面積都等于12×80=40，△AEF和設(shè)△AEF和△DEF的面積都等于x，∴△DFC的面積等于40+x，∵BD:DC=1:2，∴△DFB的面積等于12∵△ABD的面積為40，∴12解得x=8，∴陰影部分的面積是40-x=32（平方厘米）．解｜題｜技｜巧三角形角平分線的本質(zhì)是將一個(gè)內(nèi)角平分為兩個(gè)相等的角，因此角度計(jì)算的核心思路是：用角平分線表示出平分后的角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)建立等式求解。40．（2526八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F，∠ABC=90°，求證：∠BEF=∠BFE．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的定義，與高有關(guān)的計(jì)算題，對(duì)頂角相等，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義，得∠BAE=∠CAE，結(jié)合BD⊥AC，∠ABC=90°，故∠BEF=∠AFD，最后根據(jù)對(duì)頂角相等，則∠BEF=∠BFE．【詳解】證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠BEF=∠CAE+∠AFD=90°，∴∠BEF=∠AFD．∵∠BFE=∠AFD，∴∠BEF=∠BFE．41．（2122七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD為BC邊上的高，BE為三角形的角平分線，AD與BE相交于點(diǎn)F．(1)求證：∠AFE=∠AEF；(2)若BC=13，AC=12，AB=5，求AD的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)AD=60【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的定義、等角的余角相等、三角形面積計(jì)算公式，解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義．（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE=∠DBF，再根據(jù)等角的余角相等得到∠BFD=∠AEF，然后利用∠BFD=∠AFE得到∠AFE=∠AEF；（2）利用等面積法計(jì)算AD的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBF，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠BDF=90°，∵∠DBF+∠BFD=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∴∠BFD=∠AEF，∵∠BFD=∠AFE，∴∠AFE=∠AEF；（2）解：∵∠BAC=90°，∴BA⊥AC，AD⊥BC，∴S∴AD=5×12即AD的長(zhǎng)度為601342．（2223八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)(1)試確定BE、ED、CD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)若AB+AC=a，求△AED的周長(zhǎng)．【答案】(1)ED=BE+CD(2)△AED的周長(zhǎng)為a【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，通過(guò)等量代換可得∠EFB=∠EBF，∠DFC=∠DCF，進(jìn)而得到BE=EF，CD=DF，即可推出ED=BE+CD．（2）利用（1）中結(jié)論，通過(guò)等量代換可得AE+AD+ED=a．【詳解】（1）解：由題意知，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBF=∠CBF，∠DCF=∠BCF，∵DE∥∴∠EFB=∠CBF，∠DFC=∠BCF，∴∠EFB=∠EBF，∠DFC=∠DCF，∴BE=EF，CD=DF，∴BE+CD=EF+DF=ED，即ED=BE+CD．（2）解：∵AB+AC=a，∴AE+BE+AD+CD=a，由（1）知ED=BE+CD，∴AE+AD+ED=a，即△AED的周長(zhǎng)為a．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形“等角對(duì)等邊”等知識(shí)點(diǎn)，掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵．解｜題｜技｜巧若題目中出現(xiàn)“高”，優(yōu)先考慮角度為90°，以及利用面積公式建立等式。比如已知三角形三邊長(zhǎng)度，求某條高的長(zhǎng)度時(shí)，可先通過(guò)分割法求出三角形面積，再根據(jù)面積公式求出高；或者已知不同底和高的關(guān)系，結(jié)合面積不變性列出方程求解。當(dāng)題目中有“中線”時(shí)，關(guān)注線段的等量關(guān)系以及面積的倍數(shù)關(guān)系。例如，已知三角形一邊上的中線長(zhǎng)，以及三角形的其他邊長(zhǎng)，可利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形，將分散的線段集中到一個(gè)三角形中，再利用三角形三邊關(guān)系求解。若出現(xiàn)“角平分線”，一方面可以利用角相等進(jìn)行角度計(jì)算和推理；另一方面，當(dāng)有角平分線和垂線同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，考慮構(gòu)造等腰三角形（三線合一）；或者根據(jù)角平分線性質(zhì)作垂線，構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)移線段和角度。43．（2526七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，△ABC中，∠1=∠2，G為AD中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于E，且滿足BE⊥AC；F為AB上一點(diǎn)，且CF⊥AD于點(diǎn)H，下列判斷：①線段AG是△ABE的角平分線；②△ABG與△DBG的面積相等：③線段AE是△ABG的邊BG上的高；④線段GE是△ADC的邊AD上的中線．其中正確的個(gè)數(shù)是（A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】此題考查三角形的面積和三角形的角平分線、中線和高，掌握三角形的角平分線、中線和高的定義，三角形面積公式，是解題關(guān)鍵．①根據(jù)三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進(jìn)行判斷②等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等③根據(jù)高線的定義進(jìn)行判斷④根據(jù)中線定義進(jìn)行判斷．【詳解】①∵∠1=∠2，∴AD平分∠BAC．∴AG是△ABE的角平分線，故①正確；②∵G為AD中點(diǎn)，∴AG=DG，∴△ABG與△DBG的面積相等．故②正確；③∵BE⊥AC，∴AE⊥BG，∴線段AE是△ABG的邊BG上的高．故③正確；④連接DE，∵G為AD中點(diǎn)，∴AG=DG，∴線段GE是△ADE的邊AD上的中線，故④不正確；∴正確的個(gè)數(shù)為3．故選：B．44．（2425七年級(jí)下·寧夏銀川·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面結(jié)論：①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACFA．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】C【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運(yùn)用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定△ABE和△BCE的面積關(guān)系以及求出AD的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵BE是△ABC的中線∴AE=EC∴△ABE的面積等于△BCE的面積

故①正確；∵∠BAC=90°，AD是△ABC的高∴∠AFG+∠ACG=90°，∠DCG+∠DGC=90°∵CF是△ABC的角平分線∠ACG=∠DCG∴∠AFG=∠DGC又∵∠DGC=∠AGF∴∠AFG=∠AGF故②正確；

∵∠FAG+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90°∴∠FAG=∠ACD∵∠ACD=∠ACF+∠DCF=2∠ACF∴∠FAG=2∠ACF故③正確；∵2S∴AD=AB?AC故④錯(cuò)誤；故選：C45．（2425八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，在△ABC中，AD，AF分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面積為40，AD=5，求AF的長(zhǎng)．【答案】(1)50°(2)AF=8【分析】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)和三角形面積公式．本題的關(guān)鍵是充分應(yīng)用三角形的角平分線，高和中線的定義．（1）先利用三角形的外角性質(zhì)計(jì)算出∠ABE=20°，再利用角平分線定義得到∠ABC=2∠ABE=40°，然后根據(jù)高的定義和互余兩角的性質(zhì)求出∠BAF的度數(shù)；（2）先根據(jù)題意得到BD=DC=AD=5，然后利用三角形面積公式求AF的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∴∠ABE=60°-40°=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=40°，∵AF為高，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-40°=50°．（2）解：由（1）得∠BAD=∠ABD=40°，∴BD=DC=AD=5，∴BC=5+5=10，∵S△ABC∴AF=8．解｜題｜技｜巧1）三角形的內(nèi)角和為180°；2）直角三角形中兩銳角和為90°；3）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.46．（2425八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D,CE是∠ACB的平分線，交AB于點(diǎn)E,∠A=30°,∠B=52°，則∠DCE的度數(shù)為．【答案】11°【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線及高線性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是溝通未知角和已知角的關(guān)系．利用內(nèi)角和定理分別求出∠ACD與∠ACB，由角平分線定義得∠ACE=12∠ACB【詳解】解：∵CD⊥AB，∴∠ACD=90°-∠A=90°-30°=60°．∵∠A=30°，∠B=52°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-52°=98°．∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE=1∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-49°=11°．故答案為：11°．47．（2425八年級(jí)上·天津·期中）如圖，把△ABC紙片沿MN折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部點(diǎn)C'處，若∠C=36°，則∠1+∠2等于．【答案】72°【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)．由三角形的內(nèi)角和求出∠CMN+∠CNM，再由折疊得到∠C【詳解】解：∵∠C=36°，∴∠CMN+∠CNM=180°-∠C=144°，∵△CMN折疊得到△C∴∠C'MN=∠CMN∴∠C∴∠1+∠2==360°-=360°-144°-144°=72°．故答案為：72°48．（2425八年級(jí)上·廣東東莞·期中）脊柱側(cè)彎是指脊柱的一個(gè)或數(shù)個(gè)節(jié)段向側(cè)方彎曲或伴有椎體旋轉(zhuǎn)的脊柱畸形，醫(yī)學(xué)上常用Cobb角來(lái)評(píng)估脊柱側(cè)彎的程度，當(dāng)Cobb角>10°為脊柱側(cè)彎．如圖是脊柱側(cè)彎Cobb角(∠O)的檢測(cè)示意圖，DA⊥OC于點(diǎn)A，CB⊥OD于點(diǎn)B，已知Cobb角為37°，則∠AEC的大小是．【答案】37°【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，垂直的定義，對(duì)頂角相等，由DA⊥OC得∠DAO=90°，則根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出∠ADO=53°，同理∠DEB=37°，最后由對(duì)頂角相等即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵DA⊥OC，∴∠DAO=90°，∴∠ADO=90°-∠DOA=90°-37°=53°，∵CB⊥OD，∴∠EBD=90°，∴∠DEB=90°-∠ADO=90°-53°=37°，∴∠AEC=∠DEB=37°，故答案為：37°．49．（2425八年級(jí)上·福建莆田·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，∠ADB=∠ABD．BE是△ABD中AD邊上的高線，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F．設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β．(1)求∠AFB的度數(shù)（用含α、β的式子表示）；(2)若∠AFB=∠BAF，求β的值．【答案】(1)90°-α+β(2)45°【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直的定義得到∠BED=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，∠BAC=180°-α-β，∠AFB=90°-α+β，根據(jù)∠AFB=∠BAF，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵BE是△ABD中AD邊上的高線，∴∠BED=90°，∵∠ABC=∠ADB=α，∴∠DBE=90°-α，∴∠ABF=∠ABD-∠DBE=2α-90°，∵∠ABC=α，∠ACB=β，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAF=180°-2α-90°（2）由（1）知，∠BAC=180°-α-β，∠AFB=90°-α+β，∵∠AFB=∠BAF，∴180°-α-β=90°-α+β，∴β=45°．解｜題｜技｜巧三角形的外角實(shí)質(zhì)上是與它相鄰內(nèi)角的鄰補(bǔ)角求角時(shí)，當(dāng)在圖中發(fā)現(xiàn)了外角，或所求角本身是另一個(gè)三角形的外角時(shí)，通常要考慮三角形的外角性質(zhì)將這些結(jié)合起來(lái)，問(wèn)題就容易解決了.50．（2425八年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖，AB∥EF，∠ABC=70°，∠CDF=135°，則∠BCD=°．【答案】25【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠EDC=180°-135°=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠ABC=70°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵∠CDF=135°，∴∠EDC=180°-135°=45°，∵AB∥EF，∠ABC=70°，∴∠1=∠ABC=70°，∴∠BCD=∠1-∠EDC=70°-45°=25°．故答案為：25．51．（2425八年級(jí)上·廣西桂林·期中）如圖，五角星的頂點(diǎn)分別是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．【答案】180°/180度【分析】本題考查三角形的外角，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，∵∠1=∠A+∠D,∠2=∠B+∠E，∠C+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；故答案為：180°．52．（2425八年級(jí)上·云南玉溪·期中）在△ABC中，若2∠A+∠C=3∠B，則∠B的外角的度數(shù)為【答案】108°/180度【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角等知識(shí)，由∠A+∠B+∠C=180°，得到2(∠A+∠C)+2∠B=360°，求出∠B=72°，根據(jù)∠B的外角度數(shù)=180°-∠B即可求出答案．【詳解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2(∠A+∠B+∠C)=360°，∵2(∠A+∠C)=3∠B，∴2∠B+3∠B=360°，∴∠B=72°，∴∠B的外角度數(shù)是180°-∠B=108°，故答案為：108°．53．（2425八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知∠B=48°，∠BAC=72°，求∠CAD與∠DHE的度數(shù)．【答案】∠CAD=30°，∠DHE=132°【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性質(zhì)；能熟練利用三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的特征得∠BAD=42°，再由∠BAC-∠BAD即可求得∠CAD=30°；由三角形的外角性質(zhì)得∠DHE=∠BAD+∠AEH，即可求解∠DHE=132°．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-48°=42°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠DHE=∠BAD+∠AEH=42°+90°=132°．54．（2425八年級(jí)上·江西贛州·期中）如圖①，AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=35°,∠C=65°．(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B=α，∠C=βα<β，請(qǐng)用α、β的代數(shù)式表示∠DFE【答案】(1)∠DAE=15°(2)∠DFE=【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．（1）先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=80°，再由角平分線的定義求出∠BAD=40°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠ADE=∠B+∠BAD=75°，再由垂直的定義得到∠AEB=90°，由此即可求解；（2）同（1）進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）解：∵∠B=35°,∠C=65°，∴∠BAC=180°-35°-65°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=35°+40°=75°．∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DAE=90°-∠ADE=15°．（2）解：∵∠B=α,∠C=β，∴∠BAC=180°-α-β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=90°-1∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°-1∵FE⊥BC，∴∠FEB=90°，∴∠DFE=90°-∠ADE=1期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：20分鐘）1．（2425八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖，將△ABC三個(gè)角分別沿DE、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．180° B．160° C．128° D．108°【答案】A【分析】本題考查利用翻折變換的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．通過(guò)分析翻折后形成的角與原三角形內(nèi)角的關(guān)系，計(jì)算出∠1+∠2的度數(shù)．【詳解】由題知：∴∠B=∠HOG，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，∵∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2=360°-180°=180°，故選：A．2．（2425八年級(jí)上·廣東江門·期中）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)．連接CD．則∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系是（）A．∠1<∠2<∠3 B．∠1<∠3<∠2C．∠3<∠2<∠1 D．∠2<∠1<∠3【答案】D【分析】此題考查三角形的外角問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角解答．根據(jù)三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：因?yàn)椤?=∠2+∠DCB，所以∠1>∠2，因?yàn)椤?=∠1+∠ACD，所以∠3>∠1，所以∠3>∠1>∠2，即∠2<∠1<∠3，故選：D．3．（2425八年級(jí)上·廣東潮州·期中）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE的中點(diǎn)，S△ABC=8cm2，則陰影部分A．1cm2 B．2cm2 C．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的面積，三角形中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，即可得出結(jié)果，熟練掌握三角形中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵E是AD的中點(diǎn)，S△ABC∴S△ABE=1∴S△ABE∴S△CBE∵F是CE的中點(diǎn)，∴S△FBE故選：B．4．（2223七年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫(huà)板”畫(huà)了一個(gè)Rt△ABC，∠C=90°，并畫(huà)出了兩銳角的角平分線AD、BE及其交點(diǎn)F．小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎樣變動(dòng)Rt△ABC的形狀和大小，∠AFB的度數(shù)是定值，則這個(gè)定值為（A．135° B．150° C．120° D．110°【答案】A【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題關(guān)鍵．利用三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠BAC+∠ABC=90°，∵兩銳角的角平分線AD、BE交于點(diǎn)F，∴∠BAD=12∠BAC∴∠BAD+∠ABE=1∴∠AFB=180°-∠BAD+∠ABE故選：A．5．（2425八年級(jí)上·廣東湛江·期中）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2-AC2BC【答案】5【分析】本題主要考查了與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，直接根據(jù)公式代值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵AB=7,BC=6，AC=5，∴BD=故答案為：56．（2425八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點(diǎn)D在邊AB上（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD交BE于點(diǎn)O．(1)若CD是中線，BC=3，AC=2，求△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差；(2)若CD是高，∠ABC=64°，求∠BOC的度數(shù)．【答案】(1)△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為1(2)∠BOC=122°【分析】本題主要考查了三角形中線和高，三角形的周長(zhǎng)，三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記三角形中線的定義，三角形高的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式可得到△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為：BC-AC+BD-AD，再由三角形中線的定義得到AD=BD，據(jù)此代值計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE=32°，由三角形高的定義得到∠CDB=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）∵△BCD的周長(zhǎng)為：BC+CD+BD，△ACD的周長(zhǎng)為：AC+CD+AD，∴△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為：BC-AC+BD-AD，∵CD是△ABC的中線，∴AD=BD，又∵BC=3，AC=2，∴BC-AC+BD-AD=BC-AC=3-2=1，即△BCD與△ACD的周長(zhǎng)差為1；（2）∵BE是∠ABC的平分線，∠ABC=64°，∴∠ABE=1∵CD是△ABC的高，∴∠CDB=90°，∴∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+32°=122°．7．（2023七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5，CD⊥AB于點(diǎn)D，求CD（2）如圖2，在△ABC中，AB=4，BC=2，求△ABC的高CD與AE的比；（3）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，P分別在邊AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．若BC=10，求DE+DF的值．【答案】（1）CD=125；（2）CD:AE=1:2；（3）【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）利用面積法求出CD即可．（2）利用面積法求出高CD與AE的比即可．（3）利用面積法求出DE+DF=BC，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵CD⊥AB，∴S∴CD=4×3（2）解：∵S∴12∴2CD=AE，∴CD:AE=1:2；（3）解：∵S△ABP=12∵S∴S△ABP又∵BP=AP，∴12即DE+DF=BC=10．期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：20分鐘）8．（2425八年級(jí)上·全國(guó)·期中）【定義】若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)均為偶數(shù)，則稱這個(gè)三角形為“好運(yùn)三角形”．例如，三邊為6，8，10的三角形是“好運(yùn)三角形”．(1)【概念運(yùn)用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC為“好運(yùn)三角形”，求AC的長(zhǎng)；(2)【變式運(yùn)用】已知△ABC的周長(zhǎng)為16，AC=4，若AB的長(zhǎng)為偶數(shù)，試判斷△ABC是否為“好運(yùn)三角形”．【答案】(1)AC=4(2)△ABC是“好運(yùn)三角形”【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，掌握“好運(yùn)三角形”的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)三邊關(guān)系求出AC的范圍，再根據(jù)新定義，確定AC的長(zhǎng)即可；（2）設(shè)AB=x(x為偶數(shù))，則BC=12-x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，列出不等式組求出x的取值范圍，根據(jù)AB的長(zhǎng)為偶數(shù)，求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)新定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：∵BC-AB<AC<BC+AB，∴4-2<AC<4+2，即2<AC<6，∵△ABC為“好運(yùn)三角形”，∴AC為偶數(shù)，∴AC=4；（2）設(shè)AB=x(x為偶數(shù))，則BC=12-x，∴x+12-x>4，解得4<x<8，∵x為偶數(shù)，∴AB=x=6．∴BC=12-6=6，又∵AC=4，∴△ABC是“好運(yùn)三角形”．9．（2324八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，AC上的兩點(diǎn)．(1)如圖（1），如果沿直線DE折疊，且DE⊥AC，則∠BDA'與∠A的關(guān)系是(2)如圖（2），如果沿直線DE折疊后A落在四邊形BCED內(nèi)部，探究∠BDA'，∠CEA(3)如果折成圖（3）的形狀，探究∠BDA'，∠CEA【答案】(1)∠BD(2)∠BDA(3)∠BDA【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°，也考查了折疊的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)．（1）先根據(jù)折疊性質(zhì)得∠A=∠AA'D（2）連接AA'，先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BDA'=∠1+∠2，∠CEA=∠3+∠4（3）由折疊性質(zhì)得∠A'=∠A，∠DEA'=∠DEA，∠A【詳解】（1）解：∠BDA理由：∵△ABC沿直線DE折疊，且DE⊥AC，∴A點(diǎn)落在CE上，如圖（1），∴∠A=∠AA∴∠BDA故答案為：∠BDA（2）解：∠BDA理由：連接AA∵∠BDA'=∠1+∠2∴∠BDA'又∵∠DAE=∠EA∴∠BDA（3）解：∠BDA理由：如圖（3），由翻折可得：∠A'=∠A，∠DEA∵∠A∠A∴2∠A+180°+∠CE∴2∠A+∠CEA∴∠BDA10．（2223八年級(jí)上·全國(guó)·期中）閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題．(1)已知在△ABC中，∠A=60°，圖1﹣3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接求出下列角度的度數(shù)．如圖1，∠O=；如圖2，∠O=；如圖3，∠O=；如圖4，∠ABC，∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1，O2，連接O1O(2)如圖5，點(diǎn)O是△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：∠O=90°+1(3)如圖6，△ABC中，△ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1，O2，若∠1=115°，∠2=135°，求【答案】(1)120°，30°，60°，50°；(2)證明見(jiàn)解析(3)70°【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及基本圖形是解題的關(guān)鍵．（1）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是內(nèi)角平分線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進(jìn)而可求得答案；（2）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；（3）先分別求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖1，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=120°，如圖2，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠OBC=12∠ABC∵∠OCD是△OBC的外角，∴∠OCD=∠O+∠OBC，∴∠O=∠OCD-∠OBC=1如圖3，∴∠EBC=∠A+∠ACB，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD，∴∠OBC=12∠EBC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-120°=60°，如圖4，∴∠O2BC=O1B平分∠O2BC∴O1O∴∠O∴∠BO∴∠BO故答案為：120°，30°，60°，50°；（2）證明：