第03講等比數(shù)列及其前n項和目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 1 02體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅 3知能解碼 3知識點(diǎn)1等比數(shù)列的概念 3知識點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式 4知識點(diǎn)3等比數(shù)列的性質(zhì) 4題型破譯 5題型1等比數(shù)列基本量計數(shù) 5【方法技巧】等比數(shù)列基本量計算方法題型2等比數(shù)列的判斷與證明 5【方法技巧】判斷與證明等比數(shù)列題型3等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì) 6【方法技巧】等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)題型4等比數(shù)列片段和性質(zhì) 7【方法技巧】等比數(shù)列片段和性質(zhì)題型5奇數(shù)項與偶數(shù)項求和問題 7【方法技巧】等比數(shù)列奇偶項和問題題型6等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合 8題型7等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用 904真題溯源·考向感知 1105課本典例·高考素材 12考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）等比數(shù)列的有關(guān)概念（2）等比數(shù)列的通項公式與求和公式（3）等比數(shù)列的性質(zhì)單選題多選題填空題解答題全國二卷T7，（5分）全國一卷T13，（5分）北京卷T5，（4分）全國甲卷（文）T17（1），（5分）全國甲卷（理）T5，（5分）全國II卷T8，（5分）2全國乙卷（理）T15，（5分）天津卷T19（2），（10分）天津卷T5，（5分）考情分析：高考對等比數(shù)列的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)是（1）選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實(shí)際問題或其他知識考查．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解等比數(shù)列的概念．（2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識點(diǎn)1等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義(2)等比中項自主檢測已知數(shù)列{a?n}滿足，a4=1，an+1an知識點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式自主檢測（2025·陜西·模擬預(yù)測）已知an是公比為2的等比數(shù)列，bn是公差為4的等差數(shù)列，若a3=20,b1知識點(diǎn)3等比數(shù)列的性質(zhì)自主檢測等比數(shù)列an中，a2,a8是方程xA．4 B．?4 C．?4或4 D．16題型1等比數(shù)列基本量計數(shù)例11已知等比數(shù)列an中，a4=?8,a例12已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a6?a方法技巧等比數(shù)列基本量計算方法方法總結(jié)解決等比數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項和公比,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.【變式訓(xùn)練11】已知遞增等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a2=2，S3A．8 B．6 C．4 D．2【變式訓(xùn)練12】在等比數(shù)列an中，已知a1=3，an=48，【變式訓(xùn)練13】數(shù)列an成等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為Sn．若a3=32，題型2等比數(shù)列的判斷與證明例21（多選）若Sn為數(shù)列an的前n項和，且SnA．a(chǎn)3=?4 C．a(chǎn)n是等比數(shù)列 D．S例22已知數(shù)列an滿足a(1)設(shè)bn=a(2)證明數(shù)列bn方法技巧判斷證明等比數(shù)列方法定義法等差中項法【變式訓(xùn)練21】數(shù)列an滿足a1∈Z,an+1+an=2n+3A．99 B．103 C．137 D．169【變式訓(xùn)練22】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn=2【變式訓(xùn)練23】已知數(shù)列an滿足：a1=72(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列an的通項公式及其前n項和S題型3等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)例31已知an為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a4和a5是方程x2?8x+10=0A．72 B．4 C．92例32已知數(shù)列an為等比數(shù)列，其中a6，a10為方程x2+2025x+3=0A．12 B．?3 C．3 方法技巧等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)【變式訓(xùn)練31】在等比數(shù)列an中，a3，a9是方程x2?8x+2=0A．2 B．?2 C．±2 【變式訓(xùn)練32】an是等比數(shù)列，a3,a7是方程xA．±3 B．3 C．?3 【變式訓(xùn)練33】已知等比數(shù)列an中，a4=1，a8=81A．9 B．±9 C．81 D．±81題型4等比數(shù)列片段和性質(zhì)例41記等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S4S8A．7 B．49 C．437 例42已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sk=4,方法技巧等比數(shù)列片段和性質(zhì)【變式訓(xùn)練41】已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S5=4，A．12 B．14 C．16 D．18【變式訓(xùn)練42】已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，S3=1,SA．7 B．8 C．15 D．16【變式訓(xùn)練43】已知等比數(shù)列an的前n項和Sn滿足S4=1,S題型5奇數(shù)項與偶數(shù)項求和問題例51已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列an所有項之和為所有奇數(shù)項之和的3倍，前2項之積為8，則a1=A．2 B．2 C．1 D．2或2例52若等比數(shù)列an共有2n項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列an的所有項之和為方法技巧等比數(shù)列奇偶項和性質(zhì)（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比為．【變式訓(xùn)練51】已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為1012，偶數(shù)項之和為2024，則這個數(shù)列的公比為（

）A．8 B．?2 C．4 D．2【變式訓(xùn)練52】已知等比數(shù)列an的前6項和為126，其中偶數(shù)項和是奇數(shù)項和的2倍，則a1【變式訓(xùn)練53】若等比數(shù)列an共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為，項數(shù)為題型6等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合例61已知等比數(shù)列an的公比q>1,(1)求an(2)設(shè)bn=10+log2a例62已知等差數(shù)列an滿足：a4=6(1)求數(shù)列an(2)設(shè)等比數(shù)列bn的各項均為正數(shù)，Tn為其前n項和，若b1=1，【變式訓(xùn)練61】在等差數(shù)列an中，a6=?6(1)求an通項公式及其前n項和S(2)若數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b1=a9，b2=【變式訓(xùn)練62】已知數(shù)列an中，a(1)求數(shù)列an(2)若等差數(shù)列bn滿足b2=a3,b【變式訓(xùn)練63】已知數(shù)列an滿足：a1+(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，求an的通項公式以及前n項和(2)若數(shù)列an是等比數(shù)列，求a題型7等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用例71在國家開發(fā)西部的號召下，某西部企業(yè)得到了一筆400萬元的無息貸款用做設(shè)備更新．據(jù)預(yù)測，該企業(yè)設(shè)備更新后，第1個月收入為20萬元，在接下來的5個月中，每月收入都比上個月增長20%，從第7個月開始，每個月的收入都比前一個月增加2萬元．則從新設(shè)備使用開始計算，該企業(yè)用所得收入償還400萬無息貸款只需個月．（結(jié)果取整）例72某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進(jìn)行技術(shù)改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．(1)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤為an萬元；進(jìn)行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為bn萬元，求an(2)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為B【變式訓(xùn)練71】漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：出生時間1965年1月—4月1965年5月—8月1965年9月—12月1966年1月—4月……改革后法定退休年齡60歲+1個月60歲+2個月60歲+3個月60歲+4個月……那么1975年7月出生的男職工法定退休年齡為（

）A．62歲3個月 B．62歲5個月 C．62歲8個月 D．63歲【變式訓(xùn)練72】王先生為購房于2019年12月初向銀行貸款36萬元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款，從2020年1月初開始，每個月月初還一次款，貸款月利率為0.5%，現(xiàn)因資金充足準(zhǔn)備向銀行申請?zhí)崆斑€款，銀行規(guī)定：提前還款除償還剩余本金外，另需收取違約金，貸款不滿一年提前還款收取提前還款額的百分之三作為違約金；貸款的時間在一年到兩年之間申請?zhí)崆斑€款收取提前還款額的百分之二作為違約金；滿兩年之后提前還款收取提前還款額的百分之一作為違約金.王先生計劃于2024年12月初將剩余貸款全部一次性還清，則他按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額比按原約定的所有還款數(shù)額少（

A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元【變式訓(xùn)練73】小琴3月8日用分期付款的方式購買一件商品，商品價格為2200元，購買當(dāng)天支付200元，當(dāng)年4月開始算分期付款的第一個月，月利率為0.5%,25個月還清．（1）已知從當(dāng)年4月開始，后面每月的8日都還款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，則購買這件商品實(shí)際付款元；（2）若從當(dāng)年4月開始，后面每月的8日還款一次，每次還款數(shù)額相同，按復(fù)利計息，則每月還款金額為元．（最后結(jié)果保留4位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：(1+0.5%1．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，前n項和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．152．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1=2,aA．16 B．32 C．54 D．1623．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為mm，升量器的高為mm．4．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列an，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且a1=1,a5=12,a95．（2022·全國甲卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和．已知(1)證明：an(2)若a4,a1．(人教A版選擇性必修第二冊P41習(xí)題4.3第9題)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R0=4，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要輪感染？（結(jié)果取整數(shù)，初始感染者傳染R2．(人教A版選擇性必修第二冊P41習(xí)題4.3第1題)已知數(shù)列a（1）若a1=?1，a4=64，求（2）若a5?a1=153．(人教A版選擇性必修第二冊P41習(xí)題4.3第2題)已知an是一個無窮