第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 102體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 4知能解碼 4知識點(diǎn)1等差數(shù)列的概念 4知識點(diǎn)2等差數(shù)列的有關(guān)公式 4知識點(diǎn)3等差數(shù)列的常用性質(zhì) 4知識點(diǎn)4等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 5題型破譯 5題型1等差數(shù)列基本量計(jì)數(shù) 5【方法技巧】等差數(shù)列基本量計(jì)算方法題型2等差數(shù)列判斷與證明 6【方法技巧】判斷證明等差數(shù)列的方法題型3等差數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì) 7【方法技巧】等差中項(xiàng)角標(biāo)和性質(zhì)題型4等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì) 8【方法技巧】等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值 8【方法技巧】等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值方法題型6等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用 10題型7等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問題 11題型8含絕對值等差數(shù)列前n項(xiàng)和 11【方法技巧】含絕對值等差數(shù)列前n項(xiàng)和求和步驟題型9等差數(shù)列單調(diào)性 1304真題溯源·考向感知 1305課本典例·高考素材 14考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）等差數(shù)列的概念（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和（3）等差數(shù)列的性質(zhì)單選題多選題填空題解答題全國二卷T7，（5分）全國一卷T16（1），（5分）北京卷T5，（4分）天津卷T19（1），（5分）上海卷T3，（4分）全國甲卷（文）T5，（5分）全國甲卷（理）T4，（5分）全國II卷T12，（5分）全國乙卷（文）T18（1），（5分）全國甲卷（文）T5，（5分）全國I卷T7，（5分）全國I卷T20，（12分）北京卷T14，（5分）天津卷T19（1），（5分）考情分析：（1）選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計(jì)算．（2）解答題多與等比數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實(shí)際問題或其他知識考查．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解等差數(shù)列的概念．（2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．（3）能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．知識點(diǎn)1等差數(shù)列的概念自主檢測an是首項(xiàng)a1=4，公差d=2的等差數(shù)列，如果an=2020A．1009 B．1012 C．1008 D．1010知識點(diǎn)2等差數(shù)列的有關(guān)公式自主檢測設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a4知識點(diǎn)3等差數(shù)列的常用性質(zhì)自主檢測已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4,SA．16 B．18 C．24 D．26知識點(diǎn)4等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系自主檢測等差數(shù)列an中，若Sn=3n題型1等差數(shù)列基本量計(jì)數(shù)例11設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．若a1+a3=6A．6 B．7 C．8 D．9例12已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，S9=126方法技巧等差數(shù)列基本量計(jì)算方法等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：（1）求公差或項(xiàng)數(shù)．在求解時，一般要運(yùn)用方程思想．（2）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個基本元素．（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．【變式訓(xùn)練11】已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為2，公差不為0，且a2,a3A．-32 B．-30 C．-28【變式訓(xùn)練12】在等差數(shù)列an中，a1+a2A．2022 B．2023 C．4044 D．4045【變式訓(xùn)練13】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a5=題型2等差數(shù)列判斷與證明例21在數(shù)列an中，a1=1，點(diǎn)PanA．9 B．16 C．25 D．36例22已知數(shù)列an滿足a(1)求證：1a(2)求數(shù)列an方法技巧判斷證明等差數(shù)列方法判斷數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法（定義法和等差中項(xiàng)法可用于證明）【變式訓(xùn)練21】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=an+2,A．6 B．7 C．8 D．9【變式訓(xùn)練22】已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a(1)求a2(2)求證：數(shù)列{bn}【變式訓(xùn)練23】數(shù)列an滿足a(1)求a3(2)設(shè)bn=a題型3等差數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)例31（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)為正的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3+aA．254 B．4 C．5 D．例32（2025·四川眉山·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an滿足am?1+am+1?am方法技巧等差中項(xiàng)角標(biāo)和性質(zhì)【變式訓(xùn)練31】（2025·遼寧·二模）已知等差數(shù)列an滿足a2+a4+aA．1 B．32 C．4 【變式訓(xùn)練32】記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a5=?8，a10A．?42 B．?49 C．?63 D．?70【變式訓(xùn)練33】（2025·安徽·三模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1+a2+a題型4等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)例41已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．37 B．3 C．32 例42等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn，且5n+4方法技巧等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)【變式訓(xùn)練41】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=8,SA．3 B．6 C．9 D．12【變式訓(xùn)練42】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，若S10=50,【變式訓(xùn)練43】已知數(shù)列an和bn都是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若S題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值例51（2025·廣西南寧·三模）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a5=2，a3A．?14 B．?494 C．?12 例52已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若(1)求an(2)設(shè)bn=3log21an，求數(shù)列b方法技巧等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值方法求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的2種方法【變式訓(xùn)練51】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3+aA．S4 B．S5 C．S6【變式訓(xùn)練52】已知Sn是等差數(shù)列an的前n(1)求數(shù)列an(2)判斷an(3)n為何值時，Sn【變式訓(xùn)練53】設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)求an(2)求Sn，并求Sn的最大值及此時的題型6等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用例61“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，七七數(shù)之剩二(除以7余2)，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：已知正整數(shù)p(p>1)滿足二二數(shù)之剩一，三三數(shù)之剩一，將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則2A．26 B．36 C．38 D．46例62專家表示，海水倒灌原因是太陽、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現(xiàn)象趕上潮汐高潮的時候，這個時候水位就會異常的高.某地發(fā)生海水倒灌，未來24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調(diào)抽水機(jī).經(jīng)測算，需要調(diào)用20臺某型號抽水機(jī)，每臺抽水機(jī)需要平均工作24h.而目前只有一臺抽水車可立即投入施工，其余抽水機(jī)需要從其他施工現(xiàn)場抽調(diào).若抽調(diào)的抽水機(jī)每隔20min才有一臺到達(dá)施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成排水任務(wù)，指揮部至少共需要抽調(diào)這種型號的抽水機(jī)（

）A．25臺 B．24臺 C．23臺 D．22臺【變式訓(xùn)練61】鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕成每層均同球心的數(shù)層可自由轉(zhuǎn)動的空心球，空心球的球面厚度不計(jì).為保證鬼工球的每一層均可以自由轉(zhuǎn)動，要求其從最內(nèi)層起，每層與其外一層球面的間距構(gòu)成首項(xiàng)為1mm?公差為4mm的等差數(shù)列，若一個鬼工球最外層與最內(nèi)層的半徑之差為190mm，則該鬼工球的層數(shù)為（A．9 B．10 C．11 D．12【變式訓(xùn)練62】生命在于運(yùn)動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2積分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡需從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，若連續(xù)打卡5天，則共獲得積分為；若該會員從3月1日開始到3月20日，他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天可以是3月日．題型7等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問題例71等差數(shù)列an的前16項(xiàng)和為640，前16項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為11：9，則公差d,a9A．8,109 B．9,109 C．例72已知等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，則數(shù)列的中間項(xiàng)為；項(xiàng)數(shù)為【變式訓(xùn)練71】已知等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2m+1m∈Ν?,其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140,偶數(shù)項(xiàng)之和為120,A．6 B．7 C．12 D．13【變式訓(xùn)練72】一個等差數(shù)列共100項(xiàng)，其和為80，奇數(shù)項(xiàng)和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A．14 B．2 C．13 【變式訓(xùn)練73】已知等差數(shù)列an的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為A，偶數(shù)項(xiàng)的和為B，且B?A=45，2A=B+615，則an=A．3n?2 B．3n?1 C．3n+1 D．3n+2題型8含絕對值等差數(shù)列前n項(xiàng)和例81已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且(1)求證：數(shù)列an(2)設(shè)bn=log3an，求數(shù)列例82已知數(shù)列an滿足(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=an?方法技巧含絕對值等差數(shù)列前n項(xiàng)和求解步驟由正項(xiàng)開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計(jì)算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負(fù)的項(xiàng)【變式訓(xùn)練81】已知數(shù)列an為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=1(1)若bn=3(2)若cn=1anan+1，設(shè)數(shù)列cn的前(3)若dn=12?an，求數(shù)列dn【變式訓(xùn)練82】等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知S3(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和(3)求數(shù)列an的前16項(xiàng)的和T【變式訓(xùn)練83】已知數(shù)列an、bn的各項(xiàng)均不為零，若bn是單調(diào)遞增數(shù)列，且2an=b(1)求b1及數(shù)列b(2)設(shè)cn=|9?bn|，求數(shù)列cn題型9等差數(shù)列單調(diào)性例91（多選）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,a1>0，公差為A．d<0 B．a(chǎn)C．n=8時，Sn最大 D．例92已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，S18>0，S19【變式訓(xùn)練91】（多選）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a7>0，A．?dāng)?shù)列an為遞減數(shù)列 B．C．Sn的最大值為S7 【變式訓(xùn)練92】（多選）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S7<S8，A．a(chǎn)9=0 B．?dāng)?shù)列an是遞減數(shù)列 C．S【變式訓(xùn)練93】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn能取到最大值，且滿足：①數(shù)列{a②數(shù)列{S③數(shù)列{Sn}④數(shù)列{Sn}其中正確的序號是．1．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列an的公差為2π3，集合S=cosann∈N?，若A．－1 B．?12 C．0 2．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：an為等差數(shù)列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S9=1，則A．?2 B．73 C．1 D．4．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+5．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d>1．令bn=n2+na(1)若3a2=3(2)若bn為等差數(shù)列，且S99?1．(人教A版選擇性必修第二冊P25習(xí)題4.2第2題)已知an為等差數(shù)列，a12．(人教A版選擇性必修第二冊P25習(xí)題4.2第3題)（1）求從小到大排列的前n（2）求從小到大排列的前n個正奇數(shù)的和．（3）在三位正整數(shù)的集合中有多少個數(shù)是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和．（4）在小于100的正整數(shù)中，有多少個數(shù)被7除余2？這些數(shù)的和是多少？3．(人教A版選擇性必修第二冊P25習(xí)題4.2第4題)4．(人教A版選擇性必修第二冊P25習(xí)題4.2第9題)一支車隊(duì)有15輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車于14時