專題03三角形的邊角關(guān)系（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律認(rèn)識(shí)三角形能明確三角形的定義、頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角等基本概念，掌握三角形的表示方法基礎(chǔ)必考點(diǎn)，多在小題中考查對(duì)概念的識(shí)別，是三角形后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)三角形的分類能按邊（如不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形）和按角（如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）準(zhǔn)確對(duì)三角形進(jìn)行分類基礎(chǔ)考點(diǎn)，常結(jié)合三角形性質(zhì)在小題中考查分類判斷，需注意分類標(biāo)準(zhǔn)的區(qū)分三角形的三邊關(guān)系能熟練運(yùn)用“任意兩邊之差<第三邊<任意兩邊之和”判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，或求解第三邊的取值范圍高頻基礎(chǔ)考點(diǎn)，多在小題（選擇、填空）中考查，常與線段長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)合三角形的高、中線、角平分線能掌握高、中線、角平分線的定義、作法及性質(zhì)（如高的垂直性、中線的中點(diǎn)性質(zhì)與面積平分、角平分線的角平分性質(zhì)），準(zhǔn)確識(shí)別和運(yùn)用核心基礎(chǔ)考點(diǎn)，貫穿三角形幾何證明與計(jì)算，在小題、解答題基礎(chǔ)步驟中均有涉及，需注意不同線段的性質(zhì)差異三角形的內(nèi)角和定理能理解并運(yùn)用“三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°”進(jìn)行角度計(jì)算與證明核心考點(diǎn)，是三角形角度相關(guān)問(wèn)題的核心依據(jù)，在各類幾何題型（計(jì)算、證明）中均有考查直角三角形的性質(zhì)與判定能掌握直角三角形“兩個(gè)銳角互余”的性質(zhì)，及“有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形”的判定方法，熟練運(yùn)用直角三角形的符號(hào)表示重要考點(diǎn)，常與三角形內(nèi)角和、勾股定理（后續(xù)知識(shí)）結(jié)合，在幾何計(jì)算與證明中考查知識(shí)點(diǎn)01認(rèn)識(shí)三角形1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.頂點(diǎn)：三角形兩邊的公共點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).3.邊：組成三角形的三條線段稱為三角形的三條邊.4.內(nèi)角：在三角形中，每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.5.三角形的表示：用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，字母的順序可以自由安排，即?ABC，?ACB等均為同一個(gè)三角形.知識(shí)點(diǎn)02三角形的分類知識(shí)點(diǎn)03三角形的三邊關(guān)系任意兩邊之差<第三邊<任意兩邊之和.（理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短）知識(shí)點(diǎn)04三角形的高、中線、角平分線三角形的高三角形的中線三角形的角平分線定義從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖示作法過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．性質(zhì)∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12知識(shí)點(diǎn)05三角形的內(nèi)角和定理1.定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．2.表達(dá)形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°知識(shí)點(diǎn)06直角三角形的性質(zhì)與判定1.性質(zhì):直角三角形的兩個(gè)銳角互余.2.寫法:直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.3.判定:①文字表述:有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.②幾何表述:在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)07三角形的外角1.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.2.三角形的外角的性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和定理：三角形的外角和為360°．題型一三角形的識(shí)別與有關(guān)概念解｜題｜技｜巧1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.頂點(diǎn)：三角形兩邊的公共點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).3.邊：組成三角形的三條線段稱為三角形的三條邊.4.內(nèi)角：在三角形中，每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.5.三角形的表示：用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，字母的順序可以自由安排，即?ABC，?ACB等均為同一個(gè)三角形.【變式1】如圖所示．(1)圖中共有________個(gè)三角形，用符號(hào)表示為________________；其中以為邊的三角形是________________；以為一個(gè)內(nèi)角的三角形是________；【變式2】如圖所示：(1)圖中一共有______個(gè)三角形，它們分別是______；題型二三角形的分類解｜題｜技｜巧【典例1】下列命題不正確的是（

）A．銳角三角形中，任意兩個(gè)內(nèi)角之和都大于B．三角形中至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角C．有一個(gè)角是銳角的三角形是銳角三角形D．三角形中至少有一個(gè)角小于等于①銳角三角形②直角三角形③鈍角三角形④等腰三角形A．只能是① B．只能是④C．可能是①②③ D．可能是①②③④【變式2】現(xiàn)有若干個(gè)三角形，在它們所有的內(nèi)角中，有5個(gè)直角、3個(gè)鈍角、28個(gè)銳角，那么在這些三角形中，共有個(gè)銳角三角形．題型三確定第三邊的取值范圍解｜題｜技｜巧兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短。A．7米 B．8.8米 C．15.5米 D．26米【變式2】已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為，，設(shè)第三邊為，則x的取值范圍是．題型四與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題解｜題｜技｜巧1. 明確角平分線定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．2. 結(jié)合內(nèi)角和定理：利用“三角形內(nèi)角和為1800，將含角平分線的角與其他內(nèi)角結(jié)合，列等式求解。3. 巧用外角性質(zhì)：若角平分線與三角形外角相關(guān)，利用“三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和”，建立角平分線分得的角與其他角的關(guān)系。4. 添加輔助線（必要時(shí)）：遇復(fù)雜圖形，可過(guò)角平分線上一點(diǎn)作兩邊垂線（角平分線性質(zhì)），或截取線段構(gòu)造全等三角形，將分散的角集中，利用內(nèi)角和求解。題型五三角形折疊中的角度問(wèn)題解｜題｜技｜巧1.抓住折疊前后的不變量：折疊后重合的部分對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，利用這些相等關(guān)系建立方程。2.注意折痕的性質(zhì)：折痕是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，可用于找垂直關(guān)系或中點(diǎn)。3.利用三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)：結(jié)合已知角度和折疊產(chǎn)生的等角，通過(guò)內(nèi)角和180°或外角等于不相鄰兩內(nèi)角和進(jìn)行推導(dǎo)。4.轉(zhuǎn)化為等腰三角形問(wèn)題:折疊常形成等腰三角形（折痕兩側(cè)對(duì)應(yīng)邊相等），利用等腰三角形底角相等等性質(zhì)求解。5.用代數(shù)法表示未知角:設(shè)關(guān)鍵角為x，根據(jù)折疊關(guān)系和角度定理列方程，逐步求解。6.添加輔助線:如連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)、作平行線或垂線，幫助建立角度關(guān)系，簡(jiǎn)化計(jì)算。A． B． C． D．A． B． C． D．題型六三角形內(nèi)角和定理解｜題｜技｜巧1.定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．2.表達(dá)形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°A．30 B．60 C．90 D．150題型七與三角形的高有關(guān)的計(jì)算解｜題｜技｜巧1.明確高的定義與位置：高是從頂點(diǎn)向?qū)叄ɑ驅(qū)呇娱L(zhǎng)線）作的垂線段，銳角三角形高全在內(nèi)部，直角三角形兩條高與直角邊重合，鈍角三角形兩條高在外部，先判斷高的位置避免出錯(cuò)。2.結(jié)合面積公式求高：利用“三角形面積=1/2×底×高”，已知面積和底可求對(duì)應(yīng)高，或通過(guò)等面積法（同一三角形不同底和高的面積相等）轉(zhuǎn)換計(jì)算，如直角三角形中兩直角邊可分別作底和高。3.用勾股定理關(guān)聯(lián)高與邊長(zhǎng)：高將三角形分成兩個(gè)直角三角形，可在直角三角形中，通過(guò)勾股定理（直角邊2+直角邊2=斜邊2）建立高、邊長(zhǎng)分段的數(shù)量關(guān)系，求解高或邊長(zhǎng)?！镜淅?】一個(gè)三角形底邊減少原來(lái)的，要使它的面積不變，高應(yīng)該增加原來(lái)的（

）A． B． C． D．A． B． C． D．題型八三角形角平分線的定義解｜題｜技｜巧三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．【典例1】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．三角形的角平分線有三條 B．三角形三條角平分線交于一點(diǎn)C．三角形的角平分線是射線 D．三角形的角平分線平分一個(gè)內(nèi)角A．105° B．110° C．115° D．120°【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=70°，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠DAE=16°，則∠C的度數(shù)是．題型九根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度解｜題｜技｜巧1.利用中線分線段的性質(zhì)：中線將對(duì)邊平分為兩段，即中線與對(duì)邊的交點(diǎn)是對(duì)邊中點(diǎn)，可直接得到兩段線段長(zhǎng)度相等，為后續(xù)計(jì)算提供等量關(guān)系。2.運(yùn)用中線長(zhǎng)公式直接計(jì)算：已知三角形三邊長(zhǎng)度，可通過(guò)中線長(zhǎng)公式求中線長(zhǎng)度。3.結(jié)合面積法推導(dǎo)：中線將原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形（同底等高），若已知原三角形面積和其中一個(gè)小三角形的高，可間接關(guān)聯(lián)中線相關(guān)的邊長(zhǎng)或高，輔助計(jì)算中線。A． B．1 C．2 D．4題型十根據(jù)三角形中線求面積解｜題｜技｜巧1.利用中線分面積的核心性質(zhì)：三角形的一條中線將原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形，若已知其中一個(gè)小三角形面積，可直接乘2得原三角形面積。2.結(jié)合“底×高”公式求面積：若已知中線對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)，且能求出原三角形這條底邊上的高（可通過(guò)其他條件，如另一條邊和對(duì)應(yīng)的高、角度與邊長(zhǎng)結(jié)合三角函數(shù)等），則用“原三角形面積=1/2×底×高”計(jì)算，中線在此過(guò)程中可輔助確定底的分段或驗(yàn)證高的準(zhǔn)確性。3.通過(guò)中線與邊長(zhǎng)關(guān)聯(lián)求高：若已知三角形三邊和某條中線，可先利用中線長(zhǎng)公式反推底邊上的高，再代入面積公式計(jì)算原三角形或小三角形的面積。4.多中線結(jié)合拆分面積：若三角形有兩條或三條中線，可將原三角形拆分為多個(gè)面積相等的小三角形，通過(guò)已知小三角形面積或線段比例，推導(dǎo)原三角形總面積。A．6 B．