專(zhuān)題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形是中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)壓軸大題的知識(shí)點(diǎn)，占據(jù)著重要地位；相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類(lèi)問(wèn)題就信心更足了。本專(zhuān)題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來(lái)源 1真題現(xiàn)模型 1提煉模型 2模型拓展 3模型運(yùn)用 4模型1.一線三等角模型（相似模型） 4 12動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)起源?：該模型最初源于幾何圖形的動(dòng)態(tài)構(gòu)造，這種旋轉(zhuǎn)過(guò)程揭示了模型從一般位置到特殊位置（如中點(diǎn)型、同側(cè)型、異側(cè)型等）的自然演變。?“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個(gè)三角形相似。因模型在不同視角下呈現(xiàn)“K”或“M”形輪廓，各地教學(xué)中衍生出?K型圖?（如華東地區(qū)）與?M型圖?（如華北地區(qū)）的昵稱差異。這種命名差異體現(xiàn)了模型視覺(jué)表現(xiàn)力的多樣性。【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．本題考查一線三等角模型，平時(shí)要多積累總結(jié)．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，（2425九年級(jí)上·廣西·階段練習(xí)）三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上，稱一線三等角模型（角度有銳角、直角、鈍角，若為直角，則又稱一線三垂直模型）．解決此模型問(wèn)題的一般方法是利用三等角關(guān)系找全等或相似三角形所需角的相等條件，利用全等或相似三角形解決問(wèn)題．【證明體驗(yàn)】【思考探究】【拓展延伸】（3）請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）成立，理由見(jiàn)詳解（3）5【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，勾股定理、三角形外角性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（2）成立，理由如下：1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED。證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的補(bǔ)角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，∴△ABC∽△BFC，同理可證：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，∵∠AMB=∠NMC（對(duì)頂角相等）∴△ABM∽△NCM.同理可證：△NDE∽△NCM故：△ABM∽△NDE∽△NCM.模型1.一線三等角模型（相似模型）實(shí)踐探究：?jiǎn)栴}解決：【答案】（1）；（2）；（3）（2）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見(jiàn)解析(3)10【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．應(yīng)用：【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題是幾何圖形的綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段長(zhǎng)有最小值，最小值為_(kāi)________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得到角相等，進(jìn)而判斷三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到角相等，進(jìn)而得到邊相等，再根據(jù)勾股定理即可得到答案；（3）先判斷三角形相似，再根據(jù)垂線段最短得到答案即可；∴的長(zhǎng)為；∴要想讓取得最小值，只需要讓取得最小值即可，∵點(diǎn)P是邊上的點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是合理的運(yùn)用三角形的相似；①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求的長(zhǎng)．【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．理由如下：A．16 B．20 C．24 D．48【答案】C故選：C．【答案】∵在第二象限，故答案為：【答案】故答案為：．【答案】故答案為：．【答案】故答案為：．【答案】或或分兩種情況討論：故答案為：或或．【答案】/故答案為：．【答案】81故答案為：81．【答案】故答案為：【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)．故答案為：．【答案】/0.8故答案為：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．∵是的中點(diǎn)，13．（2425八年級(jí)下·貴州·階段練習(xí)）小濱類(lèi)比全等三角形的性質(zhì)與判定的學(xué)習(xí)方法，自學(xué)相似三角形的性質(zhì)與判定，下面是他學(xué)習(xí)相似三角形的學(xué)習(xí)筆記：2.相似三角形的判定：兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似．(1)【問(wèn)題解決】小濱證明方法如下，請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程：【答案】(1)(2)，，，（2）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，同角的余角相等，補(bǔ)全證明過(guò)程即可；故答案為：．故答案為：，，，．與的交點(diǎn)記為，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，同角的余角相等，對(duì)頂角相等，三角形相似的判定和性質(zhì)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)為1或2．【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等，解一元二次方程．∴的長(zhǎng)為1或2．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵．17．（2425九年級(jí)上·湖南·期中）九年級(jí)2201班數(shù)學(xué)創(chuàng)新小組對(duì)三角形中的三等角問(wèn)題進(jìn)行深入研究：【答案】[一線模型]見(jiàn)解析；[變化模型]；[拓展延伸]本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理（兩角分別相等判定相似）和性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊成比例），以及通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形、利用角的關(guān)系和線段等量代換解題是關(guān)鍵．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定．熟練掌握相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．本題考查一線三等角模型，平時(shí)要多積累總結(jié)．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，應(yīng)用：【答案】(1)見(jiàn)解析(2)即點(diǎn)C到的距離為；【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(2)3∴點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，（3）解：分兩種情況：①如圖6所示，過(guò)A作AC⊥y軸于D，過(guò)B作BE⊥x軸于E，DA與EB相交于C，則∠C＝90°，∴四邊形OECD是矩形∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），∴AD＝2，OD＝CE＝4，∵∠OBA＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC與△BOE中，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，設(shè)OE＝x，則BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x－2，∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4，∴x＝3，x－2＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，1）；②如圖7，同理可得，點(diǎn)B的坐標(biāo)（－1，3），綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）或（－1，3）．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；正確的作出輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．21．（2526九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）閱讀下列材料：請(qǐng)根據(jù)以上閱讀解決下列問(wèn)題：【答案】(1)見(jiàn)解