2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中抽測

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={-1,0,1},,則A∩B=

A.{-1,0}B.{0,1}C.{0}D.{-1,1}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2i-1,則z的虛部為

A.1B.iC.-1D.-i

3.已知橢圓短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則該橢圓的離心率為

A.B.

4.已知向量a,b滿足|a=b|=1,a-b=(1,1),則a+b與a的夾角為

A.B.C.D.

5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過C上一點(diǎn)M(2,m)作I的垂線，

垂足為N,若∠NMF的平分線經(jīng)過1與x軸的交點(diǎn)，則p=

A.1B.2C.3D.4

6.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a?a6=a?,則as+16a?的最小值為

A.8√2B.12C.17D.

S數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

7.“1<a<12”是“圓x2+y2+2x-6y+6=0與圓x2+y2-4x+2y-4a=0”相交的

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.在△ABC中，AB=2,AC=6,∠B-∠C=60°,則BC=

A.2√7C.2√7或D.7

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知m,n,I是三條不同的直線，α,β是兩個(gè)不同的平面，a∩β=1,則下列說法

正確的是

A.若mIn,m⊥α,則n//a

B.若m//1,則m//a或m//β

C.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,則α⊥β

D.若n與α,β所成角相等，則n⊥l

10.若,則

B.P(B|A)=P(B)

C.P(A+B)=P(B)D.

11.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)-x,當(dāng)0<x≤1時(shí)，f(x)=x-x2,則

A.f(2)=-1B.當(dāng)2<x≤3時(shí)，f(x)=-x2+3x-3

C.D.當(dāng)x∈[0,n](n∈N*)時(shí)，

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若(1+x)"(n∈N*)的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2:3,則n=_

13.一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為1和2,則它的外接球體積的最小值為

_·

14.若函在區(qū)間(0,2π)上恰有5個(gè)極值點(diǎn)，且在區(qū)間

上單調(diào)，則w的取值范圍為_·

S數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

為了解學(xué)生對某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜歡程度，某校隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：

喜歡程度

喜歡感覺一般合計(jì)

性別

男3070100

女5050100

合計(jì)80120200

(1)根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生對該運(yùn)動(dòng)的喜歡程度是否與性

別有關(guān)；

(2)從這200人中隨機(jī)選出了5名男生和3名女生作為代表，其中有2名男生和2

名女生喜歡該運(yùn)動(dòng).現(xiàn)從這8名代表中任選3名男生和2名女生進(jìn)一步交流，求

這5人中恰有2人喜歡該運(yùn)動(dòng)的概率.

)0.050.010.005

附：

=a+bKce+ad-c+o8K?+3.8416.6357.879

16.(15分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC,D為棱PB的中點(diǎn)，

AB=AC=2PA=2.

(1)求二面角P-BC-A的余弦值；

(2)求直線PC與平面ADC所成角的正弦值.

S數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

17.(15分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a=1,3Sn=(n+2)an.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{(-1)"an}的前2n項(xiàng)和T?n·

18.(17分)

已知雙曲線E:1(a>1)的右焦點(diǎn)為F(c,0).點(diǎn)P是E與直線l:y=x+1的

公共點(diǎn)，直線l分別與直線,y軸交于點(diǎn)Q,R,直線QF與y軸交于點(diǎn)T.記

△TPR,△TQR的面積分別為S?,S?·

(1)若c=√5,求點(diǎn)R到E的漸近線的距離；

(2)證明：

(3)E的右支上是否存在點(diǎn)M,使得MP=MQ?若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存

在，說明理由.

19.(17分)

已知函數(shù),a∈R.

(1)若a=1,證明：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)<0;

(2)若0為f(x)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.

S數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中抽測

數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：

1.C2.A3.C4.B5.D6.B7.C8.B

二、選擇題：

9.BC10.ABD11.ABD

三、填空題：

12.414.

四、解答題：

15.(1)零假設(shè)為H?:學(xué)生對該運(yùn)動(dòng)的喜歡程度與性別無關(guān)，

則……6分

故根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，

即學(xué)生對該運(yùn)動(dòng)的喜歡程度與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005.……………7分

(2)設(shè)進(jìn)一步交流的男生喜歡該運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為X,女生中喜歡該運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為Y,

.…………12分

故這5人中恰有2人喜歡該運(yùn)動(dòng)的概率為.………13分

16.方法一：(1)取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,PE.因?yàn)锳B=AC,E為BC中點(diǎn)，所以分

因?yàn)镻A⊥平面ABC,AB,ACc平面ABC,所以PA⊥AC,

PA⊥AB.在Rt△PAB中，PB2=AB2+AP2=5,在Rt△PAC中，

PC2=AC2+AP2=5,從而PB=PC,又E為BC中點(diǎn)，所以

PE⊥BC.故∠PEA為二面角P-BC-A的平面角.…………5分

因?yàn)镻A⊥平面ABC,AEc平面ABC,所以PA⊥AE.……6分

從而

所以二面角P-BC-A的余弦值為.…8分

(2)設(shè)點(diǎn)P到平面ADC的距離為h.

因?yàn)镻A⊥AC,AC⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以AC⊥平面PAB.

又ADc平面ABC,所以AC⊥AD.…10分

所以……11分

由Vp-ADc=Vc-PAD,即,故…………13分

設(shè)直線PC與平面ADC所成角為θ,則：

故直線PC與平面ADC所成角的正弦值為.………15分

方法二：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABC,AB,ACc平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB.

又,所以AB⊥AC.所以AB,AC,AP兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz1分

S數(shù)學(xué)試題答案(第1頁共4頁)

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1),PB=(2,0,-1),PC=(0,2,-1).……2分

設(shè)m=(x?,y?,z)為平面PBC的一個(gè)法向量，

則,即,取z=2,則m=(1,1,2).………………4分

由PA⊥平面ABC,得AP=(0,0,1)是平面ABC的一個(gè)法向量.……5分

貝,…………7分

根據(jù)圖形可知，二面角P-BC-A為銳角，所以二面角P-BC-A的余弦值為.………………8分

(2)由D為PB的中點(diǎn)，得,則AC=(0,2,0),……9分

設(shè)n=(x?,y?,z?)為平面ADC的一個(gè)法向量，

則即

取z?=2,則n=(-1,0,2).………………11分

PC=(0,2,-1),設(shè)直線PC與平面ADC所成角為θ,

.……14分

故直線PC與平面ADC所成角的正弦值為.………15分

17.(1)因?yàn)?S。=(n+2)an,當(dāng)n≥2時(shí)，3S??=(n+1)a??,

兩式相減得3S,-3S??1=(n+2)an-(n+1)an-1=3a,即(n-1)an=(n+1)aa-1.………………3分

方法一：,所以

累乘得……………7分

又a?=1也滿足上式，所以(neN).……8分

方法二：,即從而為常數(shù)列.………………7分

又因?yàn)?所以,故…8分

所以……10分

S數(shù)學(xué)試題答案(第2頁共4頁)

……………15分

18.(1)由c2=a2+a2-1,c=√5,得a2=3,……1分

所以E:故E的漸近線方程為√6x±3y=0,直線1:y=x+1與y軸交于點(diǎn)R(0,1),

所以點(diǎn)R到E的漸近線的距離為………………3分

(2)由,得,所以,所以…………4分

所以直線QF的方程為所以,…5分

聯(lián)立得,所以P(-a2,1-a2).……7分

所以........………8分

因?yàn)?所以kpr+koF=0,所以∠QTR=∠PTR.……………9分

因?yàn)?所以………………10分

(3)E的右支上不存在點(diǎn)M使得MP=MQ.………………11分

由(2)知P(-a2,1-a2),,所以PQ中點(diǎn)

所以PQ的中垂線方程為…12分

令因?yàn)閍>1,所以c2=2a2-1>1,則t<1.

將y=-x+t代入,得x2-2a2tx+a?+a2t2-a2=0.……………13分

令φ(x)=x2-2a2x+a?+a2t2-a2(x≥a),對稱軸為x=a2t,

①當(dāng)a2t≤a,即at≤1時(shí)，φ(x)m:n=φ(a)=a2(-2at+a2+t2)=a2(t-a)2>0,

此時(shí)方程x2-2a2tx+a?+a2t2-a2=0(x≥a)無解；……………15分

②當(dāng)a2t>a,即at>1時(shí)，由a>1,得t>0,又t<1,故0<t<1,

φ(x)min=φ(a2t)=-a?t2+a?+a2t2-a2=-a2(a2-1)(t2-1)>0,

此時(shí)方程x2-2a2tx+a?+a2t2-a2=0(x≥a)無解.

綜上，E的右支上不存在點(diǎn)M使得MP=MQ.……………17分

19.(1)當(dāng)a=1時(shí)，

令g(x)=e*(1-x)-1,則g'(x)=-xe?,……………2分

S數(shù)學(xué)試題答案(第3頁共4頁)

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)單調(diào)遞減，故g(x)<g(O)=0………………3分

又x∈(0,1)時(shí)，(1-x)2>0,所以f(x)<0.……4分

(2)①當(dāng)a>1時(shí)，

令p(x)=e*(ax2-2x+1)+x-1,q(x)=ax2-2x+1,

考察q(x),△=4-4a<0,所以q(x)>0.

因?yàn)?為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以存在區(qū)間(m,n)(其中m<0<n<1),使得x∈(m,n)時(shí)，

f(x)≥f(0),且(1-x)q(x)>0,

所以從而p(x)≥0=p(O),故0也是p(x)的極小值點(diǎn).…………7分

p'(x)=e*[ax2+(2a-2)x-1]+1,令h(x)=p'(x),則h(x)=e[ax2+(4a-2)x+2a-3],

且p'(O)=0,h(O)=2a-3.

令φ(x)=ax2+(4a-2)x+2a-3,由于△?=4(2a2-a+1)>0,則φ(0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x,x?,

(i)當(dāng)時(shí)，因?yàn)棣?x)的對稱軸.φ(O)=2a-3>0,則x<x?<0.

當(dāng)x∈(x?,O)時(shí)，φ(x)>0,即h'(x)>0,所以p'(x)單調(diào)遞增，所以p'(x)<p'(O)=0,則p(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，φ(x)>0,即h(x)>0,所以p'(x)單調(diào)遞增，所以p'(x)>p'(O)=0,則p(x)單調(diào)遞增，

所以0是p(x)的極小值點(diǎn)，符合題意.……