機(jī)密★啟用前

湖南省湘東教學(xué)聯(lián)盟2025年11月高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

總分：150分時量：120分鐘考試時間：2025年11月7日

株洲市二中瀏陽市一中醴陵市一中攸縣一中株洲市八中茶陵縣一中株洲市四中

由聯(lián)合命題

醴陵市四中九方中學(xué)株洲市二中楓溪學(xué)校淥口區(qū)五中株洲市南方中學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試

卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合A={x|x2+3x—4<0},B=x|l.x|>1,x∈Z},則A∩B=

A.{—3,—2}B.{—3,—2,0}

C.{—1,2,3}D.{2,3}

2.若復(fù)數(shù)z=(1—2i)(i+3),則|z|=

A.4√5B.5√2C.2√5D.2√2

3.雙曲的離心率為

ABCD

4.已知函數(shù)恒成立，則φ的值為

A.BCD

5.已知等差數(shù)列{an}滿足：a?+a?+…十a(chǎn)2n=2n2+n,則前20項的和S??為

A.190B.360C.400D.440

數(shù)學(xué)試題第

6.若,b=70.1,則a,b,c的大小關(guān)系為

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

7.已知,tana=2tanβ,則sinacosβ=

ABCD

8.已知f(x),g(x)均為定義在R上的函數(shù)，f(x-1)+g(x)=x,f(x)+1=g(1—x)+x,若

f(2x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，且g(0)=1,則的值是

A.463B.464C.465D.466

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.隨著人工智能應(yīng)用軟件豆包、Kimi、DeepSeek陸續(xù)出現(xiàn)，AI成為各行各業(yè)創(chuàng)新應(yīng)用的熱門話

題.某課題小組對本市各行業(yè)人群使用AI頻率進(jìn)行調(diào)查研究，下列說法正確的是

A.甲同學(xué)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到AI每周使用頻次y關(guān)于年齡x的經(jīng)驗回歸方

程為y=0.2x+9,可以推斷使用頻次與年齡正相關(guān)且相關(guān)系數(shù)為0.2

B.乙同學(xué)開展了AI每周使用頻次與年齡的相關(guān)性研究，經(jīng)計算樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.99,可以

推斷兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)

C.丙同學(xué)研究性別因素是否影響AI使用頻次，根據(jù)小概率值α=0.01的x2獨立性檢驗，計算

得到x2=4.706<6.635=xo.o1,可以認(rèn)為不同性別的AI使用頻次有差異

D.丁同學(xué)得到經(jīng)驗回歸方程①和②,通過決定系數(shù)R2來比較模型的擬合效果，經(jīng)驗回歸方程

①和②的R2分別約為0.731和0.997,因此經(jīng)驗回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗回歸方程①

好很多

10.已知圓C:x2+y2—4x—6y+12=0,直線l:x+y—m=0,點P(a,b)為圓C上一點，點O為

坐標(biāo)原點，則下列敘述正確的有

A.|PO|的最小值為√13-1

B.當(dāng)m=4時，直線l與圓C相切

C.的最小值

D.若圓C上有且僅有三個點到直線l的距離為,則m=5±√2

數(shù)學(xué)試題第2頁(共5頁)

11.如圖，三棱臺ABC-A?B?C?中，,CC?⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=CC=

2A?B?=2,則

A.三棱臺ABC-A?B?C?的體積為

B.CM⊥平面AC?B

C.AB?⊥B?C

D.若點P在側(cè)面ABB?A?上運(yùn)動，且CP與平面ABB?A?所成角的正切

值為4,則P點在側(cè)面ABB?A?上的軌跡長度

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)a為單位向量，且a⊥(2a—b),a與b的夾角為,則|b的值為

13.已知拋物線C:x2=2py的焦點為F(0,1),過點F且斜率為的直線l交拋物線C于A,B兩

點，則線段AB的長為

14.設(shè),4β3+sinβcosβ+t=0,則cos(α+2β)=

·

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)

如圖，空間幾何體ABCDE的底面ABC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形，平面BCD⊥

平面ABC,直線AE⊥平面ABC,且AE=AC=2.

(1)求證：AE//平面BCD;

(2)若DE⊥平面BCD,求直線BD與平面ACE所成角的正弦值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共5頁)

16.(本題滿分15分)

已知函數(shù)f(x)=x?e?αx.

(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性；

(3)若g(x)=f(x)-1在(0,+∞)上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(本題滿分15分)

已知A(一2,0),B(2,0),直線AM,BM相交于點M,且,點M的軌跡為曲

線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點K(-1,0)的直線l交曲線E于P,Q兩點，直線PO(0為坐標(biāo)原點)與曲線E的

另一個交點為G,線段PQ的中點為M,△GPM的面積求直線心的方程.

數(shù)學(xué)試題第4頁(共5頁)

18.(本題滿分17分)

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

,求角B的值；

(2)角B的平分線交△ABC的外接圓O于點D,圓O的半徑為1,BD=√3.

(i)當(dāng)時，求ac的值；

(ii)當(dāng)cos∠ABC為何值時，△ABC的面積S取最大值.

19.(本題滿分17分)

某公司為了開拓新產(chǎn)品市場，組織人類挑戰(zhàn)機(jī)器人對抗賽活動.每局比賽只有勝和負(fù)兩種情

況，無平局，每局比賽挑戰(zhàn)者戰(zhàn)勝機(jī)器人的概率為,勝者記2分，其余記1分.每個挑戰(zhàn)者只

能挑戰(zhàn)一局，每局勝負(fù)不受其他因素的影響.

(1)求三局比賽中，人類隊累計得分Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若n局(n∈N*)比賽中，人類隊累計得分為(n+2)分的概率為P(n),

(3)若采用“比賽賽滿2n—1局，勝方至少獲得n局勝利”的賽制，人類隊取勝的概率為A(n);

若采用“比賽賽滿2n+1局，勝方至少獲得(n+1)局勝利”的賽制，人類隊取勝的概率為

A(n+1),比較A(n)與A(n+1)的大小，并說明其統(tǒng)計意義.

湖南省湘東教學(xué)聯(lián)盟2025年11月高三聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

題號12345678

答案ABDACCBB

1.A【解析】∵A={x|-4<x<1},B={x|x<-1或x>1,x∈Z},

∴A∩B={x|-4<x<-1,x∈Z}={—3,—2}.

2.B【解析】∵z=5-5i,∴|z|=√52+(-5)2=√50=5√2.

3.D【解析】∵a=√5,c=√5+3=2√2,∴

4.A【解析】由題意得，是函數(shù)f(x)的最大值，

∵,k∈Z,又∵|φl<π,∴

5.C【解析】令n=1得，az=3=a?+d,

令n=2得，a?+a?=10,即a?=7=a?+3d,

得a?=1,d=2,

6.C【解析】∵,∴0<a<1,

又∵b=70.1

函數(shù)y=x?1在(0,十∞)上單調(diào)遞增，

.,即b>c>1,

∴b>c>a.

7.B【解析】,∴o<a+B<π,

又∵∵

又由tanα=2tanβ,得sinacosβ=2cosasinβ,

∵

8.B【解析】由f(2x+1)的圖象關(guān)于直線x=—1對稱，可得f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，

即f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，則f(x—2)=f(一x),

由f(x)+1=g(1—x)+x,可得f(1—x)=g(x)—x,

又f(x-1)+g(x)=x,得f(x—1)=-g(x)+x,

所以f(1—x)=—f(x—1),

即f(1-x)+f(x-1)=0,所以f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，即f(x)為奇函數(shù)，

數(shù)學(xué)參考答案-1

所以f(x—2)=f(-x)=—f(x)=f(x+2),函數(shù)f(x)的周期為4.

由f(x—1)+g(x)=x可得g(x)=x—f(x—1),

又因為g(0)=0—f(一1)=1,所以f(-1)=-1,

根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)，得f(-2)=f(0)=0,f(1)=1,

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6

分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案BDACABD

9.BD【解析】A選項：在經(jīng)驗回歸方程=0.2x+9中，斜率參數(shù)0.2>0,只能說明使用頻次y與年齡x正相關(guān)，但相

關(guān)系數(shù)不是0.2,故A錯誤；

B選項：樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r≈0.99,說明兩個變量正線性相關(guān)，且相

關(guān)程度很強(qiáng)，故B正確；

C選項：根據(jù)小概率值α=0.01的x2獨立性檢驗，計算得到x2=4.706<6.635=x0.o1,沒有充分證據(jù)證明不同性別的

AI使用頻次有差異，故C錯誤；

D選項：決定系數(shù)R2越接近于1,模型的擬合效果越好，經(jīng)驗回歸方程①和②的R2分別約為0.731和0.997,因此經(jīng)

驗回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗回歸方程①好.

綜上：答案為BD.

10.AC【解析】已知圓C:x2+y2—4x—6y+12=0的方程，可得圓心C(2,3),半徑r=1,

對于A:因為P(a,b)為圓上一點，所以|POmin=|OC|-r=√13-1,故A正確；

對于B:當(dāng)m=4時，直線l:x+y-4=0,根據(jù)點到直線的距離公式，得圓心C到直線l的距離

,所以直線l與圓C不相切，故B錯誤；

對于C:的幾何意義為圓C上一點與原點連線的斜率，設(shè),直線OP的方程為y=kx,當(dāng)直線OP與圓C相

切時，圓心C到直線OP的距離,解得,所,故C正確；

對于D:因為圓C的半徑r=1,要使圓C上有且僅有三個點到直線l的距離為,則圓心C到直線l的距離

由點到直線的距離公式,解得,故D錯誤.

綜上：答案為AC.

11.ABD【解析】A選項：

,故A正確；

B選項：∵C?C⊥平面ABC,∴C?CLAB,

∵AB_BC,∴AB⊥平面BCCB?,∴AB⊥CM,

又BC=CC,M為BC?的中點，∴CM⊥BC?,

∴CM⊥平面ACB,故B正確；

C選項：由B選項答案可知AB⊥平面BCC?B?,∴AB⊥CB?,

若AB?⊥CB?,則CB?⊥平面ABB?A?,

∴CB?⊥B?B,與條件矛盾，故C錯誤；

D選項：如圖，在平面BB?C?C中，作CH⊥BB?于點H,由B選項答案可知，AB⊥平面BCC?B?,

∴AB⊥CH,∴CH⊥平面ABB?A?,∠CPH為CP與平面ABB?A?所成角，

數(shù)學(xué)參考答案—2

依題

..

∴P在側(cè)面ABB?A?上的軌跡是以H為圓心，半徑為的半圓，

∴軌跡長度為,故D正確.

綜上：答案為ABD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.4【解析】∵a·(2a—b)=0,

∴2a2—a·b=0,

又∵a為單位向量，a與b的夾角為

即,∴b|=4.

13.13【解析】∵拋物線的焦點為F(0,1),

∵,p=2,

∴拋物線C的方程為x2=4y.

直線l的方程：

聯(lián)立

得x2—6x—4=0,

設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),

則

14.1【解析】,化簡得a3+sinα=2t,①

4β+sinβcosβ+t=0,∴8β+2sinβcosβ+2t=0,得(2β)3+sin2β=-2t,②

∴f(x)=3x2+cosx,∵3x2≥0,cosx≥0,

∴f(x)≥0,f(x)在定義域上單調(diào)遞增，

由①,②可得f(a)=2t,f(2β)=—2t,

又∵f(x)是奇函數(shù)，

∴α=-2β,即a+2β=0,

∴cos(a+2β)=cos0=1.

數(shù)學(xué)參考答案—3

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】(1)過點D作DH⊥BC于點H,連接AH,

∵平面BCD⊥平面ABC,且平面BCD∩平面ABC=BC,DHC平面BCD,

∴DH⊥平面ABC3分

又∵AE⊥平面ABC,

∴DH//AE,

又∵AEC平面BCD,DHC平面BCD,

∴AE//平面BCD6分

(2)由(1)知DH//AE,DH⊥平面ABC,又∵DE⊥平面BCD,

∴DEIAH,∴AH⊥BC,H為BC的中點.………………………8分

以A為原點，AC,AB,AE所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

∴B(0,2,0),D(1,1,2),

∴BD=(1,—1,2)10分

∵平面ACE的一個法向量n=(0,1,0),

設(shè)直線BD與平面ACE所成角為θ,

,…………12分

∴直線BD與平面ACE所成角的正弦值為.……………………13分

16.【解析】(1)當(dāng)a=0時，f(x)=x?,

∴f'(x)=5x?,1分

由題意知切點為(1,1),

∴切線斜率k=f(1)=5,2分

切線方程為：y—1=5(x—1),即5x—y-4=0.………………3分

(2)f(x)的定義域為F

(i)當(dāng)a=0時，f(x)=5x?≥0,f(x)在R上單調(diào)遞增；…………5分

(ii)當(dāng)a>0時，時，f(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增，

時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；………………………7分

(i)當(dāng)a<0時，時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

x∈時，f(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)a=0時，f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，f(x)在(上單調(diào)遞增，在(上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.……………9分

數(shù)學(xué)參考答案—4

(3)法1:g(x)=f(x)—1=x?ea—1,x∈(0,十∞),

令g(x)=0,得x?eα=1,即x?=e,∴51nx=ax,

得

令

,令h'(x)=0,得x=e,

當(dāng)x∈(0,e)時，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e,十∞)時，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

又∵h(yuǎn)(1)=0,x→+∞時，h(x)→0,且h(x)>0,13分

∴當(dāng)時，g(x)有2個零點.

∴實數(shù)a的取值范圍為……………………15分

法2:由題意可得51nx-ax=0,

令P(x)=51nx-ax,∴

(i)當(dāng)a≤0時，P'(x)≥0恒成立，則P(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x→0時，P(x)→-∞,x→十∞時，P(x)→十∞,

∴P(x)只有一個零點，即g(x)只有一個零點，不符合題意；………11分

(ii)當(dāng)a>0時，令P'(x)=0,解得

當(dāng)時，P'(x)>0,P(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，P'(x)<0,P(x)單調(diào)遞減，

……………………13分

當(dāng)x→0時，P(x)→-∞,x→+∞時，P(x)→-∞,

故當(dāng),即(時，g(x)有2個零點.

∴實數(shù)a的取值范圍為……………………15分

17.【解析】(1)設(shè)M(x,y),依題(x≠±2),

化簡得：1(x≠±2),

∴曲線E的方程為1(x≠±2).……………5分

(2)由(1)知曲線

設(shè)直線l:x=my-1,

得(3m2+4)y2—6my—9=0,

設(shè)P(x?,y?),Q(x?,y?),

則…………………7分

∵M(jìn)為PQ的中點，O為PG的中點，

∴S△cem=2S△aem=S△orQ,…………9分

數(shù)學(xué)參考答案—5

解得m2=1,m=±1,

∴直線L的方程為：x=±y-1,即x±y+1=0.…………………15分

18.【解析】(1)∵

由正弦定理

即a2+c2—b2=ac,……………………2分

由余弦定理得

∵B∈(0,π),

∵

(2)(i)法1:∵∠ABC=90°,∴AC為直徑且AC=2,

如圖，連接BO并延長交◎O于點E,連接DE,

在△BDE中，BD=√3,BE=2,∴DE=1,∠DBE=30°,

又∵BD平分∠ABC,

∴∠ABE=45°—30°=15°,

∴∠CAB=15°,

在Rt△ABC中，c=2cos15°,a=2sin15°,

∴ac=2sin15°×2cos15°=2sin30°=19分

法2:連接AD,CD,

∵∠ABC=90°,BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD=45°,易得AD=CD,

由正弦定理得AD=CD=2rcos45°=√2,

在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos45°,

即c2—√6c+1=0,

同理在△BCD中，a2—√6a+1=0,

∴a,c是方程x2—√6x+1=0的兩根，∴ac=19分

(ii)法1:如圖，連接CD,AD,設(shè)∠ABD=∠CBD=θ,

又∵△ABC外接圓O的半徑為1,∴AD=CD=2sinθ,

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosθ,

∴(2sinθ)2=AB2+(√3)2—2AB·√3cosθ,C

得AB2-2√3cosθ·AB+3—4sin2θ=0,

同理，在△BCD中，BC-2√3cosθ·BC+3—4sin2θ=0,

∴AB,BC是方程x2—2√3cosθ·x+3—4sin2θ=0的兩根，B

∴AB·BC=3—4sin20.…………11分

又∵AB·BC=3—4sin2θ>0,

數(shù)學(xué)參考答案—6

·

令f(t)=4t2+t-2,f(t)=0時，(舍)或

設(shè),B?

則當(dāng)時，f(t)=2S′<0,函數(shù)S單調(diào)遞減，

當(dāng)t?<t<1時，即∠ABC∈(0,B。)時，f(t)=2S'>0,函數(shù)S單調(diào)遞增，…………16分

∴當(dāng)∠ABC=B,即,S取最大值，△ABC面積最大.………………17分

法2:如圖，連接BO并延長交圓O于點E,連接DE,

在△BDE中，BE=2r=2,BD=√3,

·,設(shè)∠ABE=a,∠CBE=β,

∵BD平9

連接CE,AE,在Rt△ABE中，AB=2cosα,

在Rt△CBE中，BC=2cosβ,11分B

=[cos(a+β)+cos(a—β)]sin∠ABC

,即,…………14分

問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，同解法1.

19.【解析】(1)Y的所有可能取值為3,4,5,6,………………………1分

……………3分

∴Y的分布列為

Y3456

P

………………………4分

∴數(shù)學(xué)期望.…………5分

數(shù)學(xué)參考答案-7

(2)依題意，n局比賽中，人類隊累計得分為(n+2)分，即n局中有2局人類隊取勝，

∴當(dāng)n≥2時

當(dāng)n=1時，P(1)=0也符合上式.…………………7分

(*)一(**)得：

,…