1977—2025高考數(shù)學(xué)真題全編

2025/11/5

1

7.已知二次函數(shù)y=x2?6x+5.附加題

(1)求出它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程;π

1977普通高等學(xué)校招生考試(北京卷理)2?

畫(huà)出它的圖象xsin,(x=0)

(2);求函數(shù)x的導(dǎo)數(shù)

11.(1)f(x)=.

(3)分別求出它的圖象和x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).0,(x=0)

√

1.解方程:x?1=3?x.

0

?121

2.計(jì)算:22+√+√.

22?1

8.一只船以20海里/小時(shí)的速度向正東航行,起初船在A處看見(jiàn)一燈塔Bx2y2

??(2)求橢圓+=1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

在船的北45東方向,一小時(shí)后船在C處看見(jiàn)這個(gè)燈塔在船的北15東方a2b2

向,求這時(shí)船和燈塔的距離CB.

√

3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg45.

1+sin2α

4.證明:(1+tanα)2=.

cos2α

9.一個(gè)圓內(nèi)接三角形ABC,∠A的平分線交BC于D,交外接圓于E,求證:

12.(1)試用ε?δ語(yǔ)言敘述“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x處連續(xù)”的定義.

AD·AE=AC·AB.0

5.求過(guò)兩直線x+y?7=0和3x?y?1=0的交點(diǎn)且過(guò)(1,1)點(diǎn)的直線方程.

x2y2

10.當(dāng)m取哪些值時(shí),直線y=x+m與橢圓+=1有一個(gè)交點(diǎn)?有(2)試證明:若f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù),且f(x0)>0,則存在一個(gè)x0的

169(x?δ,x+δ),在這個(gè)鄰域內(nèi),處處有f(x)>0.

兩個(gè)交點(diǎn)?沒(méi)有交點(diǎn)?當(dāng)它們有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),畫(huà)出它的圖象.00

6.某工廠今年七月份的產(chǎn)值為100萬(wàn)元,以后每月產(chǎn)值比上月增加20%,問(wèn)

今年七月份到?月份總產(chǎn)值是多少?

2

6.一條直線過(guò)點(diǎn)(1,?3),并且與直線2x+y?5=0平行,求這條直線的方程.9.在2和30中間插入兩個(gè)正數(shù),這兩個(gè)正數(shù)插入后使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,

1977普通高等學(xué)校招生考試(北京卷文)后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求插入的兩個(gè)正數(shù)?

()1

72

1.計(jì)算:30+3?1?1.

9

√√

6+2

2.化簡(jiǎn):√√.7.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.

6?2

10.已知二次函數(shù)y=x2?4x+3.

(1)求出它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程;

(2)畫(huà)出它的圖象;

(3)求出它的圖象與直線y=x?3的交點(diǎn)坐標(biāo).

14x?2

3.解方程+1=.

x?1x2?1

4.不查表求sin105?的值.8.為了測(cè)湖岸邊A、B兩點(diǎn)的距離,選擇一點(diǎn)C,測(cè)得CA=50米,CB=30

米,∠ACB=120?,求AB.

5.一個(gè)正三棱柱形的零件,它的高是10cm,底面邊長(zhǎng)是2cm,求它的體積.

3

(9)求函數(shù)y=2?5x?3x2的極值.4.動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩定點(diǎn)A(?3,0)和B(3,0)的距離的比等于2,求動(dòng)點(diǎn)P

1977普通高等學(xué)校招生考試(福建卷理)的軌跡方程,并說(shuō)明這軌跡是什么圖形.

[](10)畫(huà)出下面V形鐵塊的三視圖(只要畫(huà)草圖)

()?1

33

1.(1)計(jì)算:5?3×?3+1031×(0.25?2?2)÷90.

85.某大隊(duì)在農(nóng)田基本建設(shè)的規(guī)劃中,要測(cè)定被障礙物隔開(kāi)的兩點(diǎn)A,P之間

的距離,他們土法上馬,在障礙物的兩側(cè),選取兩點(diǎn)B和C(如圖),測(cè)得

AB=AC=50m,∠BAC=60?,∠ABP=120?,∠ACP=135?,求A和

P之間的距離.(答案可用最簡(jiǎn)根式表示)

cos160??cos170?

(2)y=的值是正的還是負(fù)的?為什么?

tan155?C

AP

lg(2?x)

(3)求函數(shù)y=√的定義域.x2?x?6

x?12.(1)解不等式:<0.

x2+2x+2

B

x2y2

已知雙曲線?為銳角和圓?222相切

()6.=1(α)(xm)+y=r

(4)如圖,在梯形ABCD中,DM=MP=PA,MNPQAB,2cosθ?sin2θ90??θ√24α16cotα

(2)證明:=tan2.于點(diǎn)A(43,4),求α,m,r的值.

DC=2cm,AB=3.5cm,求MN和PQ的長(zhǎng).2cosθ+sin2θ2

D2C

MN

(3)某中學(xué)革命師生自己動(dòng)手油漆一個(gè)直徑為1.2米的地球儀,如果每平方

PQ米面積需要油漆150克,問(wèn)共需油漆多少克?(答案保留整數(shù))23

7.設(shè)數(shù)列1,2,4,···前n項(xiàng)和是Sn=a+bn+cn+dn,求這數(shù)列的通

項(xiàng)an的公式,并確定a,b,c,d的值.

A3.5B

(5)已知lg3=0.4771,lgx=?3.5229,求x.

(4)某農(nóng)機(jī)廠開(kāi)展“工業(yè)學(xué)大慶”運(yùn)動(dòng),在?月份生產(chǎn)拖拉機(jī)1000臺(tái).這樣,

一月至?月的產(chǎn)量恰好完成全年生產(chǎn)任務(wù).工人同志為了加速農(nóng)業(yè)機(jī)械化,

計(jì)劃在年底前再生產(chǎn)2310臺(tái),求?一月、?二月份平均每月增長(zhǎng)率.

x?1

(6)求lim.附加題

x→1x2?3x+2

()

π

8.求函數(shù)y=e?2xsin5x+的導(dǎo)數(shù).

4

√

(7)解方程:4x+1?2x+1=0.

3.在半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi),依次連結(jié)各邊的中點(diǎn),得一正六邊形,又

在這一正六邊形內(nèi),再依次連結(jié)各邊的中點(diǎn),又得一正六邊形,這樣無(wú)限地∫

1()

x222

?繼續(xù)下去,求:求定積分

a2n+1?6a2n+9a2n19.:xe+xedx.

(8)化簡(jiǎn):.(1)前n個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)之和S;0

an+1?4an+3an?1n

(2)所有這些正六邊形的周長(zhǎng)之和S.

4

222

(9)寫(xiě)出等比數(shù)列?,,?,···的通項(xiàng)公式.3.某農(nóng)機(jī)廠開(kāi)展“工業(yè)學(xué)大慶”運(yùn)動(dòng),在?月份生產(chǎn)拖拉機(jī)1000臺(tái).這樣,一

1977普通高等學(xué)校招生考試(福建卷文)92781月至?月的產(chǎn)量恰好完成全年生產(chǎn)任務(wù).工人同志為了加速農(nóng)業(yè)機(jī)械化,

計(jì)劃在年底前再生產(chǎn)2310臺(tái).

①求?一月、?二月份每月增長(zhǎng)率;

②原計(jì)劃年產(chǎn)拖拉機(jī)多少臺(tái)?

[]

()?1

33?

1.(1)計(jì)算:5?3×?3+1031×(0.25?22)÷90.lg(2?x)

82.(1)求函數(shù)y=√的定義域.

x?1

(2)求cos(?840?)的值.

4.求拋物線y2=9x和圓x2+y2=36在第一象限的交點(diǎn)處的切線方程.

√(2)證明:(sinα?cosα)2+sin2α=1.

(3)化簡(jiǎn):(2x?3)2.

(4)如圖,在△ABC中,MNBC,MN=1cm,BC=3cm,

BM=AM+2,求AM的長(zhǎng).x2y2

√5.已知雙曲線?=1(α為銳角)和圓(x?m)2+y2=r2相切

(3)解方程:2x?3+6=x.√24α16cotα

A于點(diǎn)A(43,4),求α,m,r的值.

MN

BC

2

(5)已知lg3=0.4771,lgx=3.4771,求x.(4)解不等式:x?x?6<0.

6.某大隊(duì)在農(nóng)田基本建設(shè)的規(guī)劃中,要測(cè)定被障礙物隔開(kāi)的兩點(diǎn)A,P之間

的距離,他們土法上馬,在障礙物的兩側(cè),選取兩點(diǎn)B和C(如圖),測(cè)得

x?1

(6)求lim.AB=AC=50m,∠BAC=60?,∠ABP=120?,∠ACP=135?,求A和

x→1x2?3x+2

√√√P之間的距離.(答案可用最簡(jiǎn)根式表示)

5+2

(5)把分母有理化:√√.

5?2C

(7)求函數(shù)y=x2+2x?4的極小值.AP

(6)某中學(xué)革命師生自己動(dòng)手油漆一個(gè)直徑為1.2米的地球儀,如果每平方B

米面積需要油漆150克,問(wèn)共需油漆多少克?(答案保留整數(shù))

3π

(8)已知sinα=,<α<π,求tanα的值.

52

5

4.已知2lgx+lg2=lg(x+6),求x.8.下列兩題選做一題.

1977普通高等學(xué)校招生考試(河北卷)【甲】已知橢圓短軸長(zhǎng)為2,中心與拋物線y2=4x的頂點(diǎn)重合,橢圓的一

個(gè)焦點(diǎn)恰是此拋物線的焦點(diǎn),求橢圓方程及其長(zhǎng)軸的長(zhǎng).

1.解答下列各題:

(1)敘述函數(shù)的定義.5.某生產(chǎn)隊(duì)要建立一個(gè)形狀是直角梯形的苗圃,其兩鄰邊借用夾角為135?的

兩面墻,另外兩邊是總長(zhǎng)為30米的籬笆(如圖,AD和DC為墻),問(wèn)籬笆

的兩邊各多長(zhǎng)時(shí),苗圃的面積最大?最大面積是多少?【乙】已知菱形的一對(duì)內(nèi)角各為60?,邊長(zhǎng)為4,以菱形對(duì)角線所在的直線

?

1為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,以菱形60角的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),并且過(guò)菱形

(2)求函數(shù)y=1?√的定義域.DC

2?3x的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作橢圓,求橢圓方程.

[]()1AB

?273

(3)計(jì)算:1?(0.5)2÷?.

8

工人師傅要用鐵皮做一個(gè)上大下小的正四棱臺(tái)形容器上面開(kāi)口使其容

(4)計(jì)算:log42.6.(),附加題

積為208立方米,高為4分米,上口邊長(zhǎng)與下底面邊長(zhǎng)的比為5:2,做這

樣的容器需要多少平方米的鐵皮?(不計(jì)容器的厚度和加工余量,不要求寫(xiě)9.將函數(shù)f(x)=ex展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù),并求出收斂區(qū)間.(e=2.718為自然

出已知、求解,直接求解并畫(huà)圖即可)對(duì)數(shù)的底數(shù))

(5)分解因式:x2y?2y3.

()

4π25π3π

(6)計(jì)算:sin·cos·tan?.

364

7.如圖,MN為圓的直徑,P、C為圓上兩點(diǎn),連PM,PN,過(guò)C作

2.證明:如圖,AB是圓O的直徑,CB是圓O的切線,切點(diǎn)為B,OC平行MN的垂線與MN,MP和NP的延長(zhǎng)線依次相交于A,B,D,求證:x2y2

2·10.利用定積分計(jì)算橢圓+=1(a>b>0)所圍成的面積.

于弦AD,求證:DC是圓O的切線.AC=ABAD.a2b2

CD

D

CP

AB

O

B

MAN

sin2α+111

3.證明:=tanα+.

1+cos2α+sin2α22

6

4.解下列各題:附加題

1977普通高等學(xué)校招生考試(黑龍江卷)(1)圓錐的高為6cm,母線和底面半徑成30?角,求它的側(cè)面積.

9.如圖,AP表示發(fā)動(dòng)機(jī)的連桿,OA表示它的曲柄.當(dāng)A在圓上作圓周運(yùn)動(dòng)

時(shí),P在x軸上作直線運(yùn)動(dòng),求P點(diǎn)的橫坐標(biāo).為什么當(dāng)α是直角時(shí),∠P

是最大?

解答下列各題

1.√:

解方程

(1):3x+4=4.(2)求過(guò)點(diǎn)(1,4)且與直線2x?5y+3=0垂直的直線方程.A

R

l

α

OPx

(2)解不等式:|x|<5.

5.如果△ABC的∠A的平分線交BC于D,交它的外接圓于E,那么

··

√ABAC=ADAE.

(3)已知正三角形的外接圓半徑為63cm,求它的邊長(zhǎng).C

E

D

10.求曲線y=sinx在[0,π]上的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體

AB

的體積.

2.計(jì)算下列各題√:

(1)m2?2ma+a2.

6.前進(jìn)大隊(duì)響應(yīng)毛主席關(guān)于“綠化祖國(guó)”的偉大號(hào)召,1975年造林200畝,又

知1975年至1977年這三年內(nèi)共造林728畝,求后兩年造林面積的年平均

增長(zhǎng)率是多少?

(2)cos78?·cos3?+cos12?·sin3?.

()

π

(3)arcsincos.x

67.解方程:lg(2+2x?16)=x(1?lg5).

3.解下列各題:

2

x+1x8.已知三角形的三邊成等差數(shù)列,周長(zhǎng)為36cm,面積為54cm,求三邊的

(1)解方程:3?92=18.vskip2cm(2)求數(shù)列2,4,8,16,···前?

長(zhǎng)

項(xiàng)的和..

7

3

2.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作傾斜角為π的直線,它與拋物線相交于A、6.在兩條平行直線AB和CD上分別取定一點(diǎn)M和N,在直線AB上取

4一定線段在線段上取一點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交于

1977普通高等學(xué)校招生考試(江蘇卷)B兩點(diǎn).求A、B兩點(diǎn)間的距離.ME=a;MNK,EKCD

F.試問(wèn)K取在哪里時(shí),△EMK與△FNK的面積之和最小?最小值是

多少?

()1()?2()?1

121272

1.(1)計(jì)算:2+?(3.14)0+?.

4108

3.在直角三角形ABC中,∠ACB=90?,CD、CE分別為斜邊AB上的高

和中線,且∠BCD與∠ACD之比為3:1,求證:CD=DE.

C

√1

(2)求函數(shù)y=x?2++lg(5?x)的定義域.

x?3

ADEB

附加題

√(√√)

7.求極限:limxx+1?x.

n→∞

(3)解方程:5x2+2x=125.

4.在周長(zhǎng)為300cm的圓周上,有甲、乙兩球以大小不等的速度作勻速圓周

運(yùn)動(dòng).甲球從A點(diǎn)出發(fā)按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),乙球從B點(diǎn)出發(fā)按順時(shí)針?lè)较?/p>

運(yùn)動(dòng),兩球相遇于C點(diǎn)相遇后,兩球各自反方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng),但這時(shí)

甲球速度的大小是原來(lái)的2倍,乙球速度的大小是原來(lái)的一半,以后他們

(√)

√√第二次相遇于D點(diǎn).已知AmC?=40厘米,BnD?=20厘米,求ACB?的

計(jì)算?333

(4):log3log33.長(zhǎng)度.

∫

dx

8.求不定積分:.

(1+ex)2

(5)把直角坐標(biāo)方程(x?3)2+y2=9化為極坐標(biāo)方程.

5.(1)若三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列,求證:必有一內(nèi)角為60?.

1+2+3+···+n

(6)計(jì)算:lim.

n→∞n2

(2)若三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列,而且三邊又成等比數(shù)列,求證:三角形三

內(nèi)角都是60?.

(7)分解因式:x4?2x2y?3y2+8y?4.

8

4.正六棱錐V?ABCDEF的高為2cm,底面邊長(zhǎng)為2cm.附加題

1977普通高等學(xué)校招生考試(上海卷理)(1)按1:1畫(huà)出它的二視圖;

(2)求其側(cè)面積;9.如圖所示,半圓O的直徑為2,A為半圓直徑的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且

(3)求它的側(cè)棱和底面的夾角.OA=2,B為半圓上任一點(diǎn),以AB為邊作等邊△ABC,問(wèn)B在什么

地方時(shí),四邊形OACB的面積最大?并求出這個(gè)面積的最大值.

()()

aa2aa2C

1.(1)化簡(jiǎn):?÷?.

a+ba2+2ab+b2a+ba2?b2

B

{

16?x2?0,

5.解不等式:并在數(shù)軸上把它的解表示出來(lái).

2??OA

1√xx6>0,

(2)計(jì)算:lg25+lg2?lg0.1?log9×log2.

223

√

(3)?1=i,驗(yàn)算i是否方程2x4+3x3?3x2+3x?5=0的解.6.已知兩定點(diǎn)A(?4,0)、B(4,0),一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與兩定點(diǎn)A、B的連線PA、

1

PB的斜率的乘積為?.求點(diǎn)P的軌跡方程,并把它化為標(biāo)準(zhǔn)方程,指出

4

是什么曲線.

()()

ππ10.已知曲線y=x2?2x+3與直線y=x+3相交于點(diǎn)P(0,3)、Q(3,6)兩

sin+θcos+θ

(4)(4)2點(diǎn).

(4)求證:π+π=.

sin?θcos?θcos2θ(1)分別求出曲線在交點(diǎn)的切線的斜率;

44

(2)求出曲線與直線所圍成的圖形的面積.

7.等腰梯形的周長(zhǎng)為60,底角為60?,問(wèn)這梯形各邊長(zhǎng)為多少時(shí),面積最大?

BC

2.在△ABC中,∠C的平分線交AB于D,過(guò)D作BC的平行線交AC于

E,已知BC=a,AC=b,求DE的長(zhǎng).

B

AD

D

{√

x?y?2=0(1)

AEC8.當(dāng)k為何值時(shí),方程組有兩組相同的解?并

kx?y?2k?10=0(2)

√√

求出它的解

3.已知圓A的直徑為23,圓B的直徑為4?23,圓C的直徑為2,圓A.

與圓B外切,圓A又與圓C外切,∠A=60?,求BC及∠C.

9

√√

412x

(3)解方程:?=1?.6.求直線x+3y+33=0的斜率和傾角,并畫(huà)出它的圖形.

?2?

1977普通高等學(xué)校招生考試(上海卷文)x+3x3x9

[()()()()]

113133

1.(1)計(jì)算:????1+×?÷.

232342

sin225?+tan330?

4.(1)計(jì)算:.

cos(?120?)

7.當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)y=x2?8x+5的值最小,并求出這個(gè)最小值.

(2)某生產(chǎn)隊(duì)去年養(yǎng)豬96頭,今年養(yǎng)豬120頭,問(wèn)今年比去年增加百分之

幾?計(jì)劃明年比今年多養(yǎng)40%,明年養(yǎng)豬幾頭?

2

(2)求證:tanx+cotx=.

sin2x

2.在△ABC中,∠C的平分線交AB于D,過(guò)D作BC的平分線交AC于

E,已知BC=a,AC=b,求DE的長(zhǎng).

8.將濃度為96%和36%的甲、乙兩種流酸配制成濃度為70%的流酸600

B(3)△ABC中,∠A=45?,∠B=75?,AB=12,求BC的長(zhǎng).

升,問(wèn)應(yīng)從甲、乙兩種流酸中各取多少升?

D

AEC

5.六角螺帽尺寸如圖,求它的體積(精確的1mm3).

()()

aa2aa2

3.(1)化簡(jiǎn):?÷?.

a+ba2+2ab+b2a+ba2?b220

10

20

2x?13x?1

(2)解不等式:>?4.

32

10

2.(1)某工廠準(zhǔn)備在倉(cāng)庫(kù)的一側(cè)建立一個(gè)矩形儲(chǔ)料場(chǎng)(如圖),現(xiàn)有50米長(zhǎng)的(2)如果α=30?,β=75?,γ=45?,a=33米,求建筑物AB的高.(保留

1977普通高等學(xué)校招生考試(天津卷)鐵絲網(wǎng),如果用它來(lái)圍成這個(gè)儲(chǔ)料場(chǎng),那么長(zhǎng)和寬各是多少時(shí),這個(gè)儲(chǔ)料場(chǎng)一位小數(shù))

的面積最大?并求出這個(gè)最大的面積.

y

y倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)料場(chǎng)

1.(1)在什么條件下,

2x

①是正數(shù);x

②是負(fù)數(shù);

③等于零;5.(1)求直線3x?2y+1=0和x+3y+4=0的交點(diǎn)坐標(biāo).

④沒(méi)有意義?

(2)如圖,已知AB、DE是圓O的直徑,AC是弦,ACDE,求證:

CE=EB.

(2)比較下列各組數(shù)的大小,并說(shuō)明理由.

??(2)求通過(guò)上述交點(diǎn),并同直線x+3y+4=0垂直的直線方程.

①cos31與cos30.E

CB

1

②log1與log.

224

A

D

附加題

?

(3)求值:ex?ex?2x

(√)6.求lim的值.

3x→0x?sinnx

①tan5arcsin.

2

3.如果已知bx2?4bx+2(a+c)=0(b=?0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求證:a,

b,c成等差數(shù)列.

01

②(?2)×(0.01)2.

∫

4x+2

5?計(jì)算√

(4)計(jì)算:lg12.5?lg+lgsin30.7.:dx..

84.(1)如圖,為求河對(duì)岸某建筑物的高AB,在地面上引一條基線CD=a,測(cè)02x+1

得∠ACB=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,求AB.

A

4x21

(5)解方程:?=1?.

x2?4x?2x+2BD

C

11

3.如圖,AB是半圓的直徑,C是半圓上一點(diǎn),直線MN切半圓于C點(diǎn),7.已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2?1(m為實(shí)數(shù)).

1978普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷)AM⊥MN于M點(diǎn),BN⊥MN于N點(diǎn),CD⊥AB于D點(diǎn),求證:(1)m是什么數(shù)值時(shí),y的極值是0?

(1)CD=CM=CN;(2)求證:不論m是什么數(shù)值,函數(shù)圖象(即拋物線)的頂點(diǎn)都在同一條直

2

(2)CD=AM·BN.線L1上,畫(huà)出m=?1、0、1時(shí)拋物線的草圖,來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論;

(3)平行于L1的直線中,哪些與拋物線相交,哪些不相交?求證:任一條平

M

行于而與拋物線相交的直線被各拋物線截出的線段都相等

1.(1)分解因式:x2?4xy+4y2?4z2.L1,.

C

N

ADB

(2)已知正方形的邊長(zhǎng)為a,求側(cè)面積等于這個(gè)正方形的面積,高等于這個(gè)

正方形邊長(zhǎng)的直圓柱體的體積.

b

4.已知log189=a,18=5,求log3645.

√

(3)求函數(shù)y=lg(2+x)的定義域.

(4)不查表求cos80?cos35?+cos10?cos55?的值.√

△

5.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角的大小成等差數(shù)列,tanAtanC√=2+3,求角

A,B,C的大小.又已知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于43,求三角形各邊

√2√

a,b,c的長(zhǎng).(提示:必要時(shí)可驗(yàn)證(1+3)=4+23)

√

()?13

12(4ab?1)

(5)化簡(jiǎn):·.

?21

4(0.1)(a3b?4)2

6.已知α,β為銳角,3sin2α+2sin2β=1,3sin2α?2sin2β=0.求證:

π

α+2β=.

2

2.已知方程kx2+y2=4,其中k為實(shí)數(shù).對(duì)于不同范圍的k值,分別指出方

程所代表圖形的內(nèi)形,并畫(huà)出顯示其數(shù)量特征的草圖.

12

3.已知:△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn),求證:6.已知:asinx+bcosx=0,Asin2x+Bcos2x=C,其中a,b不同時(shí)為0,

2

S△ABCABBD求證:2abA+(b2?a2)B+(a2+b2)C=0.

1978普通高等學(xué)校招生考試(備用卷)=2=.

S△ACDACCD

1.(1)分解因式:x2?2xy+y2+2x?2y?3.

π5π

(2)求sin30??tan0?+cot?cos2.

46

4.如圖,CD是BC的延長(zhǎng)線,AB=BC=CA=CD=a,DM與AB,

4atanα

AC分別交于M點(diǎn)和N點(diǎn),且∠BDM=α.求證:BM=√,

3+tanα

4atanα

CN=√.(√)

3?tanα333

lg(25?5x)7.已知L為過(guò)點(diǎn)P?,?傾斜角為30?的直線,圓C為中心在坐

(3)求函數(shù)y=的定義域.A22

x+1(√)

2

標(biāo)原點(diǎn)而半徑等于1的圓,Q表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)而焦點(diǎn)在,0的拋物

8

M線.設(shè)A為L(zhǎng)和C在第三象限的交點(diǎn),B為C和Q在第四象限的交點(diǎn).

N(1)寫(xiě)出直線L、圓C和拋物線Q的方程,并作草圖;

(2)寫(xiě)出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式;

(4)已知直圓錐體的底面半徑等于1cm,母線的長(zhǎng)等于2cm,求它的體積.

BCD(3)設(shè)P′、B′依次為從P、B到x軸的垂足,求由圓弧AB和直線段BB′、

B′P′、P′P、PA所包含的面積.

(√)1

()?1()12

(√)?11212525

(5)計(jì)算:102+5?+30的值.

50093

5.設(shè)f(x)=4x4?4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2(p=?0).求證:

(1)如果f(x)的系數(shù)滿足p2?4q?4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個(gè)

二次三項(xiàng)式的平方;

(2)如果f(x)與F(x)=(2x2+ax+b)2表示同一個(gè)多項(xiàng)式,那么

p2?4q?4(m+1)=0.

2.已知兩數(shù)x1,x2滿足下列條件:

(1)它們的和是等差數(shù)列1,3,···的第20項(xiàng);

11

(2)它們的積是等比數(shù)列2,?6,···的前4項(xiàng)和,求根為,的方程.

x1x2

13

()()()

πππ

5.外國(guó)船只除特許外不得進(jìn)入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域.設(shè)A及B是我9.試問(wèn)數(shù)列l(wèi)g100,lg100sin,lg100sin2,···,lg100sinn?1前多

444

1979普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷理)們的觀測(cè)站,A及B間的距離為S里,海岸線是過(guò)A,B的直線,一外國(guó)少項(xiàng)的和的值最大?并求這最大值.(lg2=0.301)

船在P點(diǎn),在A站測(cè)得∠BAP=α,同時(shí)在B站測(cè)得∠BAP=β.問(wèn)α

及β滿足什么簡(jiǎn)單的三角函數(shù)值不等式,就應(yīng)當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國(guó)船發(fā)

出警告,命令退出我海域?

1.若(z?x)2?4(x?y)(y?z)=0,求證:x,y,z成等差數(shù)列.

?∠∠∠?△

16.設(shè)三棱錐VABC中,AVB=BVC=CVA=90.求證:ABC

2.化簡(jiǎn):.

1是銳角三角形.

1?

1

1?

1?csc2x

10.設(shè)等腰△OAB的頂角為2θ,高為h.

(1)△OAB內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,到三邊OA,OB,AB的距離分別為|PD|,

|PF|,|PE|,并且滿足關(guān)系|PD|·|PF|=|PE|2.求P點(diǎn)的軌跡;

(2)在上述軌跡中定出點(diǎn)P的坐標(biāo),使得|PD|+|PE|=|PF|.

7.美國(guó)的物價(jià)從1939年的100增加到四?年后1979年的500,如果每年物

3.甲,乙二容器內(nèi)都盛有酒精,甲有V1公斤,乙有V2公斤.甲中純酒精與水

價(jià)增長(zhǎng)率相同,問(wèn)每年增長(zhǎng)百分之幾?

(重量)之比為m1:n1,乙中純酒精與水之比為m2:n2.問(wèn)將二者混合后

(注意:x<0.1,可用:ln(1+x)≈x,取lg2=0.3,ln10=2.3)

所得液體中純酒精與水之比是多少?

4.敘述并證明勾股定理.8.設(shè)CEDF是一個(gè)已知圓的內(nèi)接矩形,過(guò)D作該圓的切線與CE的延長(zhǎng)線

BFBC3

相交于點(diǎn)A,與CF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B.求證:=.

AEAC3

C

E

F

ADB

14

5.外國(guó)船只除特許外不得進(jìn)入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域.設(shè)A及B是我7.設(shè)CEDF是一個(gè)已知圓的內(nèi)接矩形,過(guò)D作該圓的切線與CE的延長(zhǎng)線

BFBC3

們的觀測(cè)站,A及B間的距離為S里,海岸線是過(guò)A,B的直線,一外國(guó)相交于點(diǎn)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)求證

1979普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷文)A,CFB.:=3.

船在P點(diǎn),在A站測(cè)得∠BAP=α,同時(shí)在B站測(cè)得∠BAP=β.問(wèn)αAEAC

及β滿足什么簡(jiǎn)單的三角函數(shù)值不等式,就應(yīng)當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國(guó)船發(fā)C

出警告,命令退出我海域?E

1.求函數(shù)y=2x2?x+1的極小值.

F

ADB

[][]

()2

2.化簡(jiǎn):1+sin2θ?cos4θ(1+cos2θ)2?sin4θ.

過(guò)原點(diǎn)作圓22??的任意割線交圓于兩點(diǎn)

6.美國(guó)的物價(jià)從1939年的100增加到四?年后1979年的500,如果每年物8.Ox+y2x4y+4=0P1,P2,

甲乙二容器內(nèi)都盛有酒精甲有公斤乙有公斤甲中純酒精與水求的中點(diǎn)的軌跡

3.,,V1,V2.價(jià)增長(zhǎng)率相同,問(wèn)每年增長(zhǎng)百分之幾?P1P2P.

重量之比為乙中純酒精與水之比為問(wèn)將二者混合后

()m1:n1,m2:n2.(注意:x<0.1,可用:ln(1+x)≈x,取lg2=0.3,ln10=2.3)

所得液體中純酒精與水之比是多少?

4.敘述并證明勾股定理.

15

α

5.直升飛機(jī)上一點(diǎn)P在地面M上的正射影是A,從P看地面上一物體B8.已知0<α<π,證明:2sinα?cot;并討論α為何值時(shí)等號(hào)成立.

2

1980普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷理)(不同于A).直線PB垂直于飛機(jī)窗玻璃所在的平面N(如圖).證明:平

面N必與平面M相交,且交線l垂直于AB.

P

1.將多項(xiàng)式x5y?9xy5分別在下列范圍內(nèi)分解因式:

N

(1)有理數(shù)范圍;

M

BA

l

(2)實(shí)數(shù)范圍;

9.拋物線的方程是y2=2x,有一個(gè)半徑為1的圓,圓心在x軸上運(yùn)動(dòng).問(wèn)這

個(gè)圓運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),圓與拋物線在交點(diǎn)處的切線互相垂直.

2

(注:設(shè)P(x0,y0)是拋物線y=2px上一點(diǎn),則拋物線在P點(diǎn)處的切線斜

p

率是).

(3)復(fù)數(shù)范圍.y0

()

kππ

6.設(shè)三角函數(shù)f(x)=sin+,其中k=?0.

53

(1)寫(xiě)出f(x)極大值M、極小值m與最小正周期T;

(2)試求最小的正整數(shù)k,使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間(包括整數(shù)本

身)變化時(shí),函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m.

2.半徑為1、2、3的三個(gè)圓兩兩外切.證明:以這三個(gè)圓的圓心為頂點(diǎn)的三

角形是直角三角形.

附加題

{

x=t,

10.設(shè)直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)),橢圓E的參數(shù)方程是

{y=b+mt,

x=1+acosθ,(a=?0)

3.用解析幾何方法證明:三角形的三條高線交于一點(diǎn).(θ是參數(shù)),問(wèn)a、b應(yīng)滿足什么條件,使得對(duì)于

y=sinθ,

任意m值來(lái)說(shuō),直線l與橢圓E總有公共點(diǎn).

7.CD為直角△ABC中斜邊AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC

的面積成等比數(shù)列,求∠B(用反三角函數(shù)表示).

logN

a??

4.證明對(duì)數(shù)換底公式:logbN=(a,b,N都是正數(shù),a=1,b=1).

logab

16

4.某地區(qū)1979年的輕工業(yè)產(chǎn)值占工業(yè)總產(chǎn)值的20%,要使1980年的工業(yè)總7.如圖,長(zhǎng)方形框架ABCD?A′B′C′D′三邊AB、AD、AA′的長(zhǎng)分別為6、

1980普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷文)產(chǎn)值比上一年增長(zhǎng)10%,且使1980年的輕工業(yè)產(chǎn)值占工業(yè)總產(chǎn)值的24%,8、3.6,AE與底面的對(duì)角線B′D′垂直于E.

問(wèn)1980年輕工業(yè)產(chǎn)值應(yīng)比上一年增長(zhǎng)百分之幾?(1)證明A′E⊥B′D′;

(2)求AE的長(zhǎng).

AD

1?3i

1.化簡(jiǎn):.

3?2iB

C

′

AD′

E

B′C′

√

()[()]

π3ππ

cossin?θsin(π?θ)?sinθ?

442

3π5π()

5.設(shè)<θ<,化簡(jiǎn):π.

44sinθ+

4

??

2x3yz=5,

解方程組

2.:4x+2y+3z=9,

3x+2y=?1.{

x=sect,

8.(1)把參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程,并畫(huà)出方程

y=2tant,

的曲線的略圖;

π3π

(2)當(dāng)0?t<及π?t<時(shí),各得到曲線的哪一部分?

22

6.(1)若四邊形ABCD的對(duì)角線AC將四邊形分成面積相等的兩個(gè)三角形,

證明:直線AC必平分對(duì)角線BD;

3.用解析法證明:直徑所對(duì)的圓周角是直角.

(2)寫(xiě)出(1)的逆命題,這個(gè)逆命題是否正確?為什么?

17

?

x?ab?c8.在120的二面角P?a?Q的兩個(gè)面P和Q內(nèi),分別有點(diǎn)A和點(diǎn)B,已

解不等式為未知數(shù)?知點(diǎn)和點(diǎn)到棱的距離分別為和且線段

1981普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷理)5.(x):axbc>0.ABa24,AB=10.

?abx?c

(1)求直線AB和棱a所成的角;

(2)求直線AB和平面Q所成的角.

1.設(shè)A表示有理數(shù)的集合,B表示無(wú)理數(shù)的集合,即設(shè)A={有理數(shù)},

B={無(wú)理數(shù)},試寫(xiě)出:

(1)A∪B;

(2)A∩B.

xxxxsinx2

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:cos·cos·cos·····cos=.對(duì)2y

23nx9.給定雙曲線x?=1.

22222nsin2

2.在A、B、C、D四位候選人中,n

2(1)過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線L與所給的雙曲線交于兩點(diǎn)P1及P2,求線段

(1)如果選舉正、副班長(zhǎng)各一人,共有幾種選法?寫(xiě)出所有可能的選舉結(jié)果;一切自然數(shù)n都成立.

P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)如果選舉班委三人,共有幾種選法?寫(xiě)出所有可能的選舉結(jié)果.

(2)過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線m,使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1及Q2,

且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)?這樣的直線m如果存在,求出它的方程;如

果不存在,說(shuō)明理由.

3.下表所列各小題中,指出A是B的充分條件,還是必要條件,還是充要條

件,或者都不是.

ABA是B的什么條件7.設(shè)1980年底我國(guó)人口以10億計(jì)算.

附加題

四邊形ABCD為平行四邊形四邊形ABCD為矩形(1)如果我國(guó)人口每年比上年平均遞增2%,那么到2000年底將達(dá)到多少?

a=3|a|=3(2)要使2000年底我國(guó)人口不超過(guò)12億,那么每年比上年平均遞增率最10.已知以AB為直徑的半圓有一個(gè)內(nèi)接正方形CDEF,其邊長(zhǎng)為1(如

?1高是多少?22

θ=150sinθ=圖).設(shè)AC=a,BC=b,作數(shù)列u1=a?b,u2=a?ab+b,

23223kk?1k?2kk

222222u=a?ab+ab?b,···,u=a?ab+ab2?···+(?1)b;求

點(diǎn)(a,b)在圓x+y=R上a+b=R下列對(duì)數(shù)值可供選用:3k

證:u=u?+u?(n?3).

lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417nn1n2

4.寫(xiě)出余弦定理(只寫(xiě)一個(gè)公式即可),并加以證明.lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720ED

lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060

AFOCB

18

5.寫(xiě)出正弦定理,并對(duì)鈍角三角形的情況加以證明.8.ABCD?A1B1C1D1為一正四棱柱,過(guò)A、C、B1三點(diǎn)作一截面,求證:

⊥

1981普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷文)截面ACB1對(duì)角面DBB1D1.

1.設(shè)A表示有理數(shù)的集合,B表示無(wú)理數(shù)的集合,即設(shè)A={有理數(shù)},

B={無(wú)理數(shù)},試寫(xiě)出:

(1)A∪B;

(2)A∩B.

6.已知正方形ABCD的相對(duì)頂點(diǎn)A(0,?1)和C(2,5),求頂點(diǎn)B和D的坐

標(biāo).

[]2[][]

a7b2a2?b24a2(b?a)3

2.化簡(jiǎn):?√×√÷.

3(a+b)2a2b2

√

9.(1)設(shè)拋物線y2=4x截直線y=2x+k所得的弦長(zhǎng)為35,求k的值.

(2)以本題(1)得到的弦為底邊,以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)做成三角形.當(dāng)

這三角形的面積為9時(shí),求P的坐標(biāo).

3.在A、B、C、D四位候選人中,

(1)如果選舉正、副班長(zhǎng)各一人,共有幾種選法?寫(xiě)出所有可能的選舉結(jié)果;

(2)如果選舉班委三人,共有幾種選法?寫(xiě)出所有可能的選舉結(jié)果.

7.設(shè)1980年底我國(guó)人口以10億計(jì)算.

(1)如果我國(guó)人口每年比上年平均遞增2%,那么到2000年底將達(dá)到多少?

(2)要使2000年底我國(guó)人口不超過(guò)12億,那么每年比上年平均遞增率最

高是多少?

下列對(duì)數(shù)值可供選用:

lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060

4.求函數(shù)f(x)=sinx+cosx在區(qū)間(?π,π)上的最大值.

19

4.已知圓錐體的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大7.已知空間四邊形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分別是邊

1982普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷理)的圓柱體的高h(yuǎn)(如圖).AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)(如圖).求證:MNPQ是一個(gè)矩形.

B

M

1.填表:H

h

函數(shù)使函數(shù)有意義的的實(shí)數(shù)范圍

√xN

?2

1y=√xAQD

2

2y=(?x)P

2R

3y=arcsin(sinx)

C

4y=sin(arcsinx)

5y=10lgx

6y=lg10x

2.(1)求(?1+i)20展開(kāi)式中第15項(xiàng)的數(shù)值;

8.拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切,證明這個(gè)

5.設(shè)0<x<1,a>0,a=?1,比較|log(1?x)|與|log(1+x)|的大小.(要

aa三角形的第三邊也與x2=2qy相切.

寫(xiě)出比較過(guò)程)

x

(2)求y=cos2的導(dǎo)數(shù).

3

附加題

6.如圖:已知銳角∠AOB=2α內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P,PM⊥OA,PN⊥OB,且四邊

9.已知數(shù)列a1,a2,···,an,···和數(shù)列b1,b2,···,bn,···,其中a1=p,

3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)

,下列方程表示什么曲線?畫(huà)出它們的圖形.形PMON的面積等于常數(shù)c2.今以O(shè)為極點(diǎn),∠AOB的角平分線OX

b=q,a=pa?,b=qa?+rb?(n?2),(p,q,r是已知常數(shù),且

2x11

為極軸,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程,并說(shuō)明它表示什么曲線.1nn1nn1n1

?

(1)?3y23

=0;q=0,p>r>0).

用表示并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明

634

A(1)p,q,r,nbn,;

b

(2)求lim√n.

Mn→∞22

an+bn

P

OX

N

B

{

x=1+cosφ,

(2)

y=2sinφ.

20

5.以墻為一邊,用籬笆圍成長(zhǎng)方形的場(chǎng)地,并用平行于一邊的籬笆隔開(kāi)(如8.求tan9?+cot117??tan243??cot351?的值.

1982普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷文)圖).已知籬笆的總長(zhǎng)為定值L,這塊場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)場(chǎng)地的面積

最大?最大面積是多少?

1.填表:

函數(shù)使函數(shù)有意義的的實(shí)數(shù)范圍

√x

?2

1y=√x

2y=(?x)2

3y=10lgx

4y=lg10x

2.求(?1+i)20展開(kāi)式中第15項(xiàng)的數(shù)值.

6.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a.

(1)用平面A1BC1截去一角后,求剩余部分的體積;

(2)求A1B和B1C所成的角.

9.如圖,已知△AOB中,OA=b,OB=a,∠AOB=θ(a?b,θ是銳角).

作AB⊥OB,BABA;再作AB⊥OB,BABA;如此無(wú)限連

3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),表中的方程表示什么曲線?并畫(huà)出它們的圖形:1111222

續(xù)作下去.設(shè)△ABB1,△A1B1B2,···的面積分別為S1,S2,···,求無(wú)窮

數(shù)列S,S,···的和.

方程曲線名稱圖形12

O

14x2+y2=4

A2

B3

A1

B2

AB1

7.已知定點(diǎn)A,B且AB=2a,如果動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離和到點(diǎn)B的距離

之比為2:1,求點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明它表示什么曲線.B

2x?3=0

1

4.已知x?y=,x2+y2=1,求x2?y2的值.

2

21

√

(2)一個(gè)小組共有10名同學(xué),其中4名是女同學(xué),6名是男同學(xué).要11.如圖,已知橢圓長(zhǎng)軸|A1A2|=6,焦距|F1F2|=42,過(guò)橢圓焦點(diǎn)F1作一

∠?

1983普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷理)從小組內(nèi)選出3名代表,其中至少有1名女同學(xué),求一共有多少種選法.直線,交橢圓于兩點(diǎn)M,N.設(shè)F2F1M=α(0α<π),當(dāng)α取什么值

時(shí),|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)?

M

α

1.兩條異面直線,指的是()A1A2

F1F2

N

(A)在空間內(nèi)不相交的兩條直線sinαcos(α+φ)cosα

(B)分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線計(jì)算行列式要求結(jié)果最簡(jiǎn)?8.():cosβsin(βφ)sinβ

.

(C)某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線sinφcos2φcosφ

(D)不在同一平面內(nèi)的兩條直線

2.方程x2?y2=0表示的圖形是()

(A)兩條相交直線(B)兩條平行直線

{}?

(C)兩條重合直線(D)一個(gè)點(diǎn)√√12.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=b(b=0),它的前n項(xiàng)的和Sn=

9.(1)證明:對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,復(fù)數(shù)z=|cost|+|sint|i的模r=|z|適合···?···

√a1+a2++an(n1),并且S1,S2,Sn,是一個(gè)等比數(shù)列,其

三個(gè)數(shù)不全為零的充要條件是4

3.a,b,c()r?2.公比為p(p=?0且|p|<1).

(A)a,b,c都不是零(B)a,b,c中最多有一個(gè)是零(1)證明:a2,a3,···,an,···(即{an}從第二項(xiàng)起)是一個(gè)等比數(shù)列;

(2)設(shè)Wn=a1S1+a2S2+a3S3+···+anSn(n?1),求limWn(用b,

(C)a,b,c中只有一個(gè)是(D)a,b,c中至少有一個(gè)不是零n→∞

p表示).

4π

4.設(shè)α=,則arccos(cosα)的值是()

3

4π2π2ππ

(A)(B)?(C)(D)√√

3333(2)當(dāng)實(shí)數(shù)t取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z=|cost|+|sint|i的幅角主值θ適

π

5.0.32,log0.3,20.3這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是()合0?θ??

24

20.320.3

(A)0.3<2<log20.3(B)0.3<log20.3<2

20.30.32

(C)log20.3<0.3<2(D)log20.3<2<0.3

√√

6.(1)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),分別畫(huà)出兩個(gè)方程y=?x,x=?y的

圖形,并寫(xiě)出它們交點(diǎn)的坐標(biāo).

13.(1)已知a,b為實(shí)數(shù),并且e<a<b,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),證明:

10.如圖,在三棱錐S?ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;ab>ba;

M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn),使截面MAB與底面所成的角等于∠NSC,求

證:SC垂直于截面MAB.

(2)在極坐標(biāo)系內(nèi),方程ρ=5cosθ表示什么曲線?畫(huà)出它的圖形.

S

M

(2)如果正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba,且a<1,證明:a=b.

ANC

D

B

7.(1)已知y=e?xsin2x,求微分dy.

22

(2)一個(gè)小組共有10名同學(xué),其中4名是女同學(xué),6名是男同學(xué).要從小組11.如圖,已知一塊直角三角形板ABC的BC邊在平面α內(nèi),∠ABC=60?,

1983普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷文)內(nèi)選出3名代表,其中至少有1名女同學(xué),求一共有多少種選法.∠ACB=30?,BC=24cm,A點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影為N,AN=9cm.

求以A為頂點(diǎn)的三棱錐A?NBC的體積(結(jié)果可以保留根號(hào)).

A

1.在直角坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)y=|x|的圖象()

(A)關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都不對(duì)稱(B)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C

(C)關(guān)于x軸對(duì)稱(D)關(guān)于y軸對(duì)稱

1N

8.已知復(fù)數(shù)z=cosα+isinα,求證:z3+=2cos3α.

z3B

2.拋物線x2+y=0的焦點(diǎn)位于()α

(A)y軸的負(fù)半軸上(B)y軸的正半軸上

(C)x軸的負(fù)半軸上(D)x軸的正半軸上

3.兩條異面直線,指的是()

(A)在空間內(nèi)不相交的兩條直線

9.在圓心為O、半徑為常數(shù)R的半圓板內(nèi)畫(huà)內(nèi)接矩形(如圖),當(dāng)矩形的長(zhǎng)和12.一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng),如果把第二項(xiàng)加上4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)

(B)分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線寬各取多少時(shí),矩形的面積最大?求出這個(gè)最大面積.列;如果再把這等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成等比數(shù)列,

求原來(lái)的等比數(shù)列

(C)某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線.

(D)不在同一平面內(nèi)的兩條直線

α

4.對(duì)任何180?<α<360?,cos的值等于()

2

√√O(píng)R

1+cosα1?cosα

(A)(B)

22

√√

1+cosα1?cosα

(C)?(D)?

22

20.3

5.0.3,log20.3,2這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是()

??

20.320.313.如圖,已知兩條直線L1:2x3y+2=0,L2:3x2y+3=0.有一動(dòng)圓

(A)0.3<2<log20.3(B)0.3<log20.3<2

10.如圖,地平面上有一旗桿OP,為了測(cè)得它的高度h,在地面上選一基線(圓心和半徑都在變動(dòng))與L1,L2都相交,并且L1,L2被截在圓內(nèi)的兩條

20.30.32?

(C)log20.3<0.3<2(D)log20.3<2<0.3AB,AB=20米,在A點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OAP=30,在B點(diǎn)處測(cè)線段的長(zhǎng)度分別是定值26,24.求圓心M的軌跡方程,并說(shuō)出軌跡的名稱.

∠?∠?

得P點(diǎn)的仰角OBP=45,又測(cè)得AOB=60,求旗桿的高度h(結(jié)y

6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),表中的方程表示什么圖形?畫(huà)出這些圖形.果可以保留根號(hào)).

L1

方程x2+y2=2xx2?y2=0P

圖形名稱L2

?M

h

Ox

圖形30?

A

60?O

45?

20米

√

?2B

7.(1)求函數(shù)y=x+5log2(36x)的定義域.

23

1?2n1

10.求lim的值.17.求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(1,2),以y軸為準(zhǔn)線,離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡

n→∞3n+12

1984普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷理)方程.

1.數(shù)集X={(2n+1)π,n是整數(shù)}與數(shù)集Y={(4k1)π,k是整數(shù)}之間

的關(guān)系是()

11.要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單,任何兩個(gè)舞蹈節(jié)

???

(A)XY(B)XY(C)X=Y(D)X=Y目不得相鄰,問(wèn)有多少種不同的排法(只要求寫(xiě)出式子,不必計(jì)算).

在△中∠∠∠所對(duì)的邊分別為且

如果圓22與軸相切于原點(diǎn)那么18.ABC,A,B,Ca,b,c,c=10,

2.x+y+Gx+Ey+F=0x,()cosAb4

==,P為△ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn).求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,

(A)F=0,G=?0,E=?0(B)E=0,F=0,G=?0cosBa3

B,C的距離的平方和的最大值與最小值.

(C)G=0,F=0,E=?0(D)G=0,E=0,F=?0

1

3.如果n是正整數(shù),那么[1?(?1)n](n2?1)的值()

8{

0,x?0,

(A)一定是零(B)一定是偶數(shù)12.設(shè)H(x)=畫(huà)出函數(shù)y=H(x?1)的圖象.

1,x>0,

(C)是整數(shù)但不一定是偶數(shù)(D)不一定是整數(shù)

4.arccos(?x)大于arccosx的充分條件是()

[]x2

π設(shè)給定數(shù)列{}其中n···

(A)x∈(0,1](B)x∈(?1,0)(C)x∈[0,1](D)x∈0,19.a>2,xn,x1=a,xn+1=?(n=1,2).

22(xn1)

√求證:

θ?θ?θ()xn+1···

5.如果θ是第二象限角,且滿足cossin=1sinθ,那么()π(1)xn>2,且<1(n=1,2);

22213.畫(huà)出極坐標(biāo)方程(ρ?2)θ?=0(ρ>0)的曲線.xn

41

(A)是第一象限角(2)如果a?3,那么x?2+(n=1,2···);

n2n?1

(B)是第三象限角a

lg

(3)如果a>3,那么當(dāng)n?3時(shí),必有x<3.

(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角4n+1

lg

(D)是第二象限角3

6.已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形,求圓柱的體積.

14.已知三個(gè)平面兩兩相交,有三條交線.求證:這三條交線交于一點(diǎn)或互相平

行.

220.如圖,已知圓心為O、半徑為1的圓與直線L相切于點(diǎn)A,一動(dòng)點(diǎn)P自切

7.函數(shù)log0.5(x+4x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)?2

點(diǎn)A沿直線L向右移動(dòng)時(shí),取AC?的長(zhǎng)為AP,直線PC與直線AO交

3

??3π

15.設(shè)c,d,x為實(shí)數(shù),c=0,x為未知數(shù).討論方程logcx+dx=1在什么于點(diǎn)M.又知當(dāng)AP=時(shí),點(diǎn)P的速度為v,求這時(shí)點(diǎn)M的速度.

(x)4

情況下有解,有解時(shí)求出它的解.

1M

8.求方程(sinx+cosx)2=的解集.

2

O

設(shè)?實(shí)系數(shù)一元二次方程2?有兩個(gè)虛數(shù)根再

16.p=0,z2pz+q=0z1,z2.C

設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1,Z2.求以Z1,Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

?l

()3的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng).AP

1

9.求|x|+?2的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

|x|

24

10.要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單,任何兩個(gè)舞蹈節(jié)15.如圖,經(jīng)過(guò)正三棱柱底面一邊AB,作與底面成30?角的平面,已知截面三

1984普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷文)目不得相鄰,問(wèn)有多少種不同的排法(只要求寫(xiě)出式子,不必計(jì)算).角形ABD的面積為32cm2,求截得的三棱錐D?ABC的體積.

1.數(shù)集X={(2n+1)π,n是整數(shù)}與數(shù)集Y={(4k1)π,k是整數(shù)}之間

的關(guān)系是()DB

(A)X?Y(B)X?Y(C)X=Y(D)X=?YC

?1

2.函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)y=f(x)的圖象()2

11.畫(huà)出方程y=?4x的曲線.A

(A)關(guān)于y軸對(duì)稱(B)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(C)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(D)關(guān)于直線x?y=0對(duì)稱

√

13

3.復(fù)數(shù)?i的三角形式是()

2(2)()

ππππ

(A)cos?+isin?(B)cos+isin

3333

πππ5π

(C)cos?isin(D)cos+isin116.某工廠1983年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬(wàn)件,計(jì)劃從1984年開(kāi)始,每年的產(chǎn)量比

333612.畫(huà)出函數(shù)y=的圖象.

(x+1)2上一年增長(zhǎng)20%.問(wèn)從哪一年開(kāi)始,這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過(guò)

4.直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的()

12萬(wàn)件(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771).

(A)一條直線不相交(B)兩條直線不相交

(C)任意一條直線都不相交(D)無(wú)數(shù)條直線不相交

5.方程x2?79x+1=0的兩根可分別作為()

(A)一橢圓和一雙曲線的離心率(B)兩拋物線的離心率

(C)一橢圓和一拋物線的離心率(D)兩橢圓的離心率

?

6.已知函數(shù)log0.5(2x3)>0,求x的取值范圍.

13.已知等差數(shù)列a,b,c中的三個(gè)數(shù)都是正數(shù),且公差不為零.求證它們的倒

111

數(shù)所組成的數(shù)列,,不可能成等差數(shù)列.22?22??

abc17.已知兩個(gè)橢圓的方程分別是C1:x+9y45=0,C2:x+9y6x27=

0.

(1)求這兩個(gè)橢圓的中心、焦點(diǎn)的坐標(biāo);

7.已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形,求圓柱的體積.(2)求經(jīng)過(guò)這兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)且與直線x?2y+11=0相切的圓的方程.

8.已知實(shí)數(shù)m滿足2x2?(2i?1)x+m?i=0,求m及x的值.

1

14.把1?sin22α?sin2β?cos4α化成三角函數(shù)的積的形式(要求結(jié)果最簡(jiǎn)).

4

(n2+1)+(n2+2)+···+(n2+n)

9.求lim的值.

n→∞n(n?1)(n?2)

25

√

8.求曲線y2=?16x+64的焦點(diǎn).15.已知兩點(diǎn)P(?2,2),Q(0,2)以及一條直線:L:y=x,設(shè)長(zhǎng)為2的線段

1985普通高等學(xué)校招生考試(全國(guó)卷理)AB在直線L上移動(dòng),如圖,求直線PA和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程.

(要求把結(jié)果寫(xiě)成普通方程)

y

′′′′′

如果正方體?的棱長(zhǎng)為那么四面體?的體665432

1.ABCDABCDa,AABD9.設(shè)(3x?1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,求

積是()a+a+a+a+a+a+a的值.P??Q

6543210y=x

a3a3a3a3

(A)(B)(C)(D)

2346

√

5Ox

2.tanx=1是x=π的()2B

4

A

(A)必要條件(B)充分條件

10.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],求函數(shù)f(x2)的定義域.

(C)充分必要條件(D)既不充分又不必要的條件

()

π?

3.在下面給出的函數(shù)中,哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間0,上的增函數(shù)又是以π

2M

為周期的偶函數(shù)()

√√√

2∈||∈

(A)y=x(xR)(B)y=sinx(xR)16.設(shè)an=1·2+2·3+···+n(n+1)(n=1,2···).

11.解方程:log(3?x)+log(3+x)=log(1?x)+log(2x+1).2

sin2x40.2540.25n(n+1)(n+1)

(C)y=cos2x(x∈R)(D)y=e(x∈R)(1)證明:不等式<a<對(duì)所有的正整數(shù)n都成立;

2n2

極坐標(biāo)方程的圖象是an1

4.ρ=asinθ(a>0)()(2)設(shè)bn=(n=1,2···),用定義證明:limbn=.

n(n+1)n→∞2

O?√

ax12.解不等式:2x+5>x+1.

O?

ax

(A)2(B)

17.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整數(shù)},B=

{|2}{|22?}

?a(x,y)x=m,y=3m+15,m是整數(shù),C=(x,y)x+y144

?

?a13.如圖,設(shè)平面AC和BD相交于BC,它們所成的一