九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)計劃和全冊教案

二十一章一元二次方程

第1課時21.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程概念和一元二次方程一般式和有關(guān)概念.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a^O)和其派生的概念；應(yīng)用

一元二次方程概念解決一些簡單題目.

1.通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式和其有關(guān)概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

重難點關(guān)鍵

1.重點：一元二次方程的概念和其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些

概念解決問題.

2.難點關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的

概念遷移到一元二次方程的概念.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：列方程.

問題(1)古算趣題：“執(zhí)竿進屋”

笨人執(zhí)竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。

有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。

借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服。

如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個門的寬為尺，長為尺，

根據(jù)題意，得.

整理、化簡，得：.

二、探索新知

學(xué)生活動：請口答下面問題.

(1)上面三個方程整理后含有兒個未知數(shù)？

(2)按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

(3)有等號嗎？還是與多項式一樣只有式子？

老師點評：(1)都只含一個未知數(shù)x;(2)它們的最高次數(shù)都是2次的；(3)都

有等號，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高

次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0(awO).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0(a#0)后，其中ax2是二次項，a

是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

例1.將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=。(awO).因此，方程3x(x-1)

=5(x+2)必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.

解：略

注意:二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符號.

例2.(學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練)將方程(x+l)2+(x-2)(x+2)

=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次

項系數(shù)；常數(shù)項.

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+l)2+(x-2)(x+2)=1化成

ax2+bx+c=0(a#=0)的形式.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)1.2

補充練習(xí):判斷下列方程是否為一元二次方程？

(l)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2--=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx-f-c=0

x

四、應(yīng)用拓展

例3.求證：關(guān)于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+l=0,不論m取何值，該方程

都是一元二次方程.

分析：耍證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17豐

0即可.

證明：m2-8m+17=(m-4)2+1

?「(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1#0

???.不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

練習(xí)：1.方程(2a—4)x2-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在

什么條件下此方程為一元一次方程？

2.當(dāng)m為何值時，方程(m+l)x/4m/-4+27mx+5=0是關(guān)于的一元二次方

程

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a#=0)

和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念和其它們的運用.

六、布置作業(yè)

第2課時21.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程根的概念；

2.根據(jù)題意判定一個數(shù)是否是一元二次方程的根和其利用它們解決一些具體題目.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程根的概念，會判定一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根和利用它

們解決一些具體問題.

提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出

根的概念；再由根的概念判定一個數(shù)是否是根.同時應(yīng)用以上的幾個知識點解決一些具

體問題.

重難點關(guān)鍵

1.重點：判定一個數(shù)是否是方程的根；

2.難點關(guān)鍵：由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否

確定是實際問題的根.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)獨立完成下列問題.

問題L前面有關(guān)“執(zhí)竿進屋”的問題中,我們列得方程x2-8x+20=0

列表：1234567891011???

X

x2-8x+20???

列表：問題2.123456???

老師點評(略)前面有關(guān)長

二、探索新知方形的面積

提問：(1)問題1的問題中，我中一元二次方程的解

是多少？們列得方程問題2中一元二次方

程的解是多x2+7x-44=0少？

(2)如果拋即開實際問題，問題2中

還有其它解嗎？x2+7x=44

老師點評：(1)X問題1中x=2與x=10

是x2-8x+20=0的解，x2+7x???問題2中，x=4是

x2+7x-44=0的解.(2)如果拋開實際問

題，問題2中還有x=-11的解.

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：x2-8x+20=0有兩個根，一個是2,另一個是10,都滿足題意；但是,

問題2中的x=-11的根不滿足題意.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定

是實際問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解.

例1.下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

分析：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一

元二次方程2x2+10x+12=0的兩根.

例2.若x=l是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=O(awO)的一個根，求代數(shù)式

2007(a+b+c)的值

練習(xí):關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+x+a2-l-0的一個根為0,則求a的值

點撥:如果一個數(shù)是方程的根,那么把該數(shù)代入方程，一定能使左右兩邊相等，這種解決

問題的思維方法經(jīng)常用到,同學(xué)們要深刻理解.

例3.你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？

(1)x2-64=0(2)3x2-6=。(3)x2-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意

義.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材思考題練習(xí)1.2.

四、歸納小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點評)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)一元二次方程根的概念；

(2)要會判斷一個數(shù)是否是一元二次方程的根；

(3)要會用一些方法求一元二次方程的根.(“夾逼”方法；平方根的意義)

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固3.4綜合運用5.6.7拓廣探索8、9.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第3課時21.2.1配方法

教學(xué)內(nèi)容

運用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個

一元一次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個方

程，然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重難點關(guān)鍵

1.重點：運用開平方法解形如(x+m)2=n(n>0)的方程；領(lǐng)會降次——轉(zhuǎn)化的

數(shù)學(xué)思想.

2.難點與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據(jù)平方根的意

義解形如(x+m)2=n(n>0)的方程.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題

問題1.填空

(1)x2-8x+=(x-)2;(2)9x2+12x+=(3x+)2;(3)

x2+px+=(x+)2.

問題1：根據(jù)完全平方公式可得：(D164;(2)42;(3)()2.

問題2:目前我們都學(xué)過哪些方程?二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程于一元一次方程

有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了x2=9,根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±3,如果x換元為

2t+l,即(2t+l)2=9,能否也用直接開平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點評：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+l=±3

即2t+l=3,2t+l=-3

方程的兩根為tl=l,t2=-2

例1:解方程：(l)(2x-l)2=5(2)x2+6x+9=2(3)x2-2x+4=-l

分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1.

解：⑵由已知，得：(x+3)2=2

直接開平方，得：x+3=±

即x+3=,x+3=-

所以，方程的兩根xl=-3+,x2=-3-

例2.市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m,求每年人

均住房面積增長率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應(yīng)該是

10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)

2

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,

則：10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接開平方，得l+x=±1.2

即l+x=1.2,l+x=-1.2

所以，方程的兩根是xl=0.2=20%,x2=-2.2

因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.我們把這種

思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”.

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例3.某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、

三月份營業(yè)額平均增長率是多少？

分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x,那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是

(1+x),三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是(1+x)2.

解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x.

那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

把(1+x)當(dāng)成一個數(shù)，配方得：

(l+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56

x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6

方程的根為xl=10%,x2=-3.1

因為增長率為正數(shù)，

所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p(p>0),那么x=±轉(zhuǎn)化

為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p>0),那么mx+n=±,達到降次轉(zhuǎn)化

之目的.若PVO則方程無解

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固1.2.

第4課時22.2.1配方法(1)

教學(xué)內(nèi)容

間接即通過變形運用開平方法降次解方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元二次方程的

解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.

重難點關(guān)鍵

1.重點：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟.

2.難點與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方

法與技巧.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們解下列方程

(1)3x2-l=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9⑷4x2+16x=-7

老師點評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2np(p>0)

的形式，那么可得

x=±或mx+n=±(p>0).

如：4x2+16x+16=(2x+4)2,你育田巴4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9嗎？

二、探索新知

列出下面問題的方程并回答：

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面三個方程的解法呢？

問題2:要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16m2,場地的長和寬各是

多少？

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是

含有x的完全平方式而后二個不具有.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的

方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：

x2+6x-l6=0移項-x?+6x=16

兩邊加(6/2)之使左邊配成x?+2bx+b2的形式一x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式->(x+3)2=25降次一x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程->xl=2,x2=-8

可以驗證：xl=2,x2=-8都是方程的根，但場地的寬不能使負值，所以場地的寬為2m,

常為8m.

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.

例L用配方法解下列關(guān)于x的方程

(1)X2-8X+1=0(2)x2-2x-l=0

2

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全

平方式；(2)同上.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材P38討論改為課堂練習(xí)，并說明理由.

教材P39練習(xí)12.(1)、(2).

四、應(yīng)用拓展

例3.如圖，在RtZkACB中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,點P、Q同時由A,B

兩點出發(fā)分別沿AC.BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是lm/s,幾秒后aPCQ

的面積為RtAACB面積的一半.

cQB

分析：設(shè)X秒后4PCQ的面積為Rt^ABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形.

根據(jù)已知列出等式.

解：設(shè)x秒后aPCQ的面積為RtAACB面積的一半.

根據(jù)題意，得：(8-x)(6-x)=XX8X6

整理，得:x2-14x+24=0

(x-7)2=25BPxl=12,x2=2

xl=12,x2=2都是原方程的根，但xl=12不合題意，舍去.

所以2秒后APCQ的面積為RtAACB面積的一半.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式,

右邊是非負數(shù)，可以直接降次解方程的方程.

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固2.3⑴⑵

第5課時21.2.1配方法(2)

教學(xué)內(nèi)容

給出配方法的概念，然后運用配方法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟.

通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體

題目.

重難點關(guān)鍵

1.重點：講清配方法的解題步驟.

2.難點與關(guān)鍵：把常數(shù)項移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項系數(shù)一半的

平方.

教具、學(xué)具準備

小黑板

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程：

(1)X2-4X+7=0(2)2x2-8x+l=0

老師點評：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式，不可

以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題.

解：略.(2)與⑴有何關(guān)聯(lián)？

二、探索新知

討論:配方法屆一元二次方程的一般步驟：

(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數(shù)為1；(3)常數(shù)項移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=?p士，q;如果qVO,方程無

實根.

例1.解下列方程

(1)2x2+l=3x(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成,

即配一個含有x的完全平方.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)2.(3)、(4)、(5)、(6).

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.配方法的概念和用配方法解一元二次方程的步驟.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中,

也可通過配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負性(如例3)在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù),

到高中學(xué)習(xí)二次曲線時，還將經(jīng)常用到。

六、布置作業(yè)

1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固3.(3)(4)

補充：(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,則求x+y+z的值

(2)求證：無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x?4y+16的值總是正數(shù)

第6課時2L2.2公式法

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解

一元二次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(aR0)的求

根公式的推導(dǎo)公式，井應(yīng)用公式法解一元二次方程.

重難點關(guān)鍵

1.重點：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

2.難點與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程

(1)x2=4(2)(x-2)2=7

提問1這種解法的(理論)依據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負數(shù)”的特殊二次方程

有效，不能實施于一般形式的二次方程。)

2.面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直

接開平方”的形式。)

(學(xué)生活動)用配方法解方程2x2+3=7x

(老師點評)略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點評).

(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數(shù)為1;(3)常數(shù)項移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=?p±，q;如果qvO,方程

無實根.

二、探索新知

用配方法解方程

⑴ax2—7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

⑶如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a^O),你能否用上面配方法的步

驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨立完成下面這個問題.

問題：已知ax2+bx+c=0(awO),試推導(dǎo)它的兩個根xl=,x2=(這個方程一

定有解嗎?什么情況下有解？)

分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當(dāng)成一個具體數(shù)

字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項，得：ax2+bx=-c

二次項系數(shù)化為1,得x2+x=-

配方，得：x2+x+()2=-+()2

?/4a2>0,4a2>0,當(dāng)b2-4ac>0時>0

22=(立三產(chǎn)

2a2a

直接開平方，得：x+=±即x=

.*.xl=,x2=

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a=#0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因

此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當(dāng)b2-4ac>0

時，將a、b、c代入式子乂=就得到方程的根.(公式所出現(xiàn)的運算，恰好包括了所學(xué)

過的六中運算，力口、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

例L用公式法解下列方程.

(1)2x2-x-l=0(2)x2+1.5=-3x⑶X2.0X+1=0(4)4X2-3X+2=0

分析：用公式法解一元二次方程,首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即

可.

補：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、鞏固練習(xí)

教材P42練習(xí)1.(1)、(3)、(5)或⑵、(4)、(6)

四、應(yīng)用拓展

例2.某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程(m+1)+(m-2)x-l=。提出了下列問題.

(1)若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

(2)若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.

你能解決這個問題嗎？

分析：能.(1)要使它為一元二次方程，必須滿足m2+l=2,同

時還要滿足(m+1)WO.

(2)要使它為一元一次方程，必須滿足：

mi.?；騫二;二或③{m+\=0

①

"z—2w0

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)求根公式的概念和其推導(dǎo)過程;(2)公式法的概念;

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)照所給的方程變成一般形式，注意移項

要變號，盡量讓a>0.2)找出系數(shù)a,b,c,注意各項的系數(shù)包括符號。3)計算b2-4ac,若結(jié)

果為負數(shù)，方程無解，4)若結(jié)果為非負數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固4.

第7課時21.2.4判別一元二次方程根的情況

教學(xué)內(nèi)容

用b2-4ac大于、等于0、小于。判別ax2+bx+c=0(a^O)的根的情況和其運用.

教學(xué)目標(biāo)

掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a#0)有兩個不等的實根，反之也成立；b2-4ac=0,

ax2+bx+c=0(a#0)有兩個相等的實數(shù)根，反之也成立；b2-4ac<0,ax2+bx+c=0(a

力。)沒實根，反之也成立；和其它們關(guān)系的運用.

通過復(fù)習(xí)用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0.b2-4ac<0各一題，

分析它們根的情況，從具體到一般，給出三個結(jié)論并應(yīng)用它們解決一些具體題目.

重難點關(guān)鍵

1.重點：b2-4ac>。一元二次方程有兩個不相等的實根；b2-4ac=0一元二次方

程有兩個相等的實數(shù)；b2-4ac<0一元二次方程沒有實根.

2.難點與關(guān)鍵

從具體題目來推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的b2-4ac的情況與根的情

況的關(guān)系.

教具、學(xué)具準備

小黑板

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)用公式法解下列方程.

(1)2x2-3x=0(2)3X2-2V3X+1=O(3)4x2+x+l=0

老師點評，(三位同學(xué)到黑板上作)老師只要點評(1)b2-4ac=9>0,有兩個不相等的

實根；(2)b2-4ac=12-12=0,有兩個相等的實根；(3)b2-4ac=|-4x4x1|=<0,

方程沒有實根.

二、探索新知

b2-4ac的b2-4ac的符xl.x2的關(guān)系

方程

值號(填相等、不等或不存在)

2x2-3x=0

3x2-2&x+1=0

4x2+x+l=0

請觀察上表，結(jié)合b2-4ac的符號，歸納出一元二次方程的根的情況。證明你的猜想。

從前面的具體問題，我們已經(jīng)知道b2-4ac>0(<0,=0)與根的情況，現(xiàn)在我們

從求根公式的角度來分析：

求根公式：x=,當(dāng)b2-4ac>0時，根據(jù)平方根的意義，等于一個具體數(shù)，所以一

元一次方程的xl=*xl=,即有兩個不相等的實根.當(dāng)b2-4ac=0時，根據(jù)平方根

的意義=0,所以xl=x2=，即有兩個相等的實根；當(dāng)b2-4ac<0時，根據(jù)平方根的意

義，負數(shù)沒有平方根，所以沒有實數(shù)解.

因此，(結(jié)論)⑴當(dāng)b2-4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a=#0)有兩

個不相等實數(shù)根即xl=,x2=.

(2)當(dāng)b-4ac=0時，一元二次方程ax2+bx+c=O(awO)有兩個相等實數(shù)根即

xl=x2=.

(3)當(dāng)b2-4acv。時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)沒有實數(shù)根.

例1.不解方程，判定方程根的情況

(1)16x2+8x=-3(2)9X2+6X+1=0

(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情

況進行分析即可.

解：(1)化為16x2+8x+3=0

這里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4X16x3=-128<0

所以，方程沒有實數(shù)根.

三、鞏固練習(xí)

不解方程判定下列方程根的情況：

(1)x2+10x+23=0(2)x2-x--=O(3)3x2+6x-5=0(4)

4

4x2-x+—=0

16

(5)X2-V3X-1=0(6)4x2-6x=0(7)x(2x-4)=5-8x

4

四、應(yīng)用拓展

例2.若關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+l=0沒有實數(shù)解，求ax+3>0的

解集(用含a的式子表示).

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是

正、負或。.因為一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+l=。沒有實數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)

(a+1)v。就可求出a的取值范圍.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0(awO)有兩個不相等的實根；b2-4ac=0

一元二次方程ax2+bx+c=0(ar。)有兩個相等的實根；b2-4ac<0一元二次方程

ax2+bx+c=0(a#0)沒有實數(shù)根和其它的運用.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固6綜合運用9拓廣探索1.2.

第8課時21.2.3因式分解法

教學(xué)內(nèi)容

用因式分解法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法——因式

分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問題.

重難點關(guān)鍵

1.重點：用因式分解法解一元二次方程.

2.難點與關(guān)鍵：讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使

解題簡便.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程.

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后,x前面的系數(shù)應(yīng)為，的一半應(yīng)為

,因此，應(yīng)加上()2,同時減去()2.(2)直接用公式求解.

二、探索新知

(學(xué)生活動)請同學(xué)們口答下面各題.

(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數(shù)項？

(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？

(學(xué)生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解：

因此，上面兩個方程都可以寫成：

(1)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因為兩個因式乘積要等于0,至少其中一個因式要等于0,也就是(1)x-0或

2x+l=0,所以xl=0,x2=?.

(2)3x=0或x+2=0,所以xl=0,x2=-2.(以上解法是如何實現(xiàn)降次的？)

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式

分解使方程化為兩個一次式的乘積等于。的形式，再使這兩個一次式分別等于0,從而

實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.

例1.解方程

(1)1Ox-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)5x2-2x--=x2-2x+—

44

(4)(x-l)2=(3-2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什

么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個一次因式乘積。)

練習(xí)：1.下面一元二次方程解法中，正確的是().

A.(x-3)(x-5)=10x2,.*.x-3=10,x-5=2,.*.xl=13,x2=7

B.(2-5x)+(5x-2)2=0,(5x-2)(5x-3)=0,.*.xl=,x2=

C.(x+2)2+4x=0,/.xl=2,x2=-2

D.x2=x兩邊同除以x,得x=l

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)1.2.

例2.已知9a2-4b2=0,求代數(shù)式的值.

分析:要求的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系

后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發(fā)生錯誤.

解：原式=

?/9a2-4b2=0

(3a+2b)(3a-2b)=0

3a+2b=0或3a-2b=0,

22

a=--b或a=-b

33

當(dāng)a=-b時，原式=?=3

當(dāng)@=b時，原式=-3.

四、應(yīng)用拓展

例3.我們知道x2?(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=O就可

轉(zhuǎn)化為(x-a)(x-b)=0,請你用上面的方法解下列方程.

(1)x2-3x-4=0(2)x2-7x+6=0(3)x2+4x-5=0

分析：二次三項式x2?(a+b)x+ab的最大特點是x2項是由x?x而成，常數(shù)項ab

是由-a-(-b)而成的，而一次項是由-a?x+(-b?x)交叉相乘而成的.根據(jù)上面的分

析，我們可以對上面的三題分解因式.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程和其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再分別使各一次

因式等于。.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固5綜合運用8、10拓廣探索11.

第9課時一元二次方程的解法復(fù)習(xí)課

教學(xué)內(nèi)容習(xí)題課

教學(xué)目標(biāo)

能掌握解一元二次方程的四種方法以和各種解法的要點。會根據(jù)不同的方程特點選用

恰當(dāng)?shù)姆椒?，是解題過程簡單合理，通過揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思

想方法。

重難點關(guān)鍵

1.重點：會根據(jù)不同的方程特點選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，是解題過程簡單合理。

難點：通過揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思想。

教學(xué)過程

1.用不同的方法解一元二次方程3x2-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解發(fā))

教師點評：三種不同的解法體現(xiàn)了同樣的解題思路——把一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化

為一元一次方程求解。

2把下列方程的最簡潔法選填在括號內(nèi)。

(A)直接開平方法(B)配方法(C)公式法(D)因式分解法

(1)7x-3=2x2()(2)4(9x-l)2=25()(3)(x+2)(x-1)=20()

(4)4X2+7X=2()(5)2(0.2t+3)2-12.5=0()(6)x2+2V2x-4=0()

2.說明:一元二次方程解法的選擇順序一般為因式分解法、公式法，若沒有特殊說明

一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，適用于解所有的一元二次方程，因

式分解法是特殊方法，在解符合方程左邊易因式分解，右邊為。的特點的一元二

次方程時，非常簡便。

將下列方程化成一般形式，在選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

(1)3X2=X+4(2)(2X+1)(4X-2)=(2X-1)2+2(3)(X+3)(X-4)=-6(4)(X+1)2-2(X-1)2=6X-5

說明：將一元二次方程化成一般形式不僅是解一元二次方程的基本技能，而節(jié)能為

揭發(fā)的選擇提供基礎(chǔ)。

4.閱讀材料，解答問題：

材料：為解方程(x2?l)2-5(x2-l)2+4=0,我們可以視(x2-l)為一個整體,然后設(shè)

x2-l=y,原方程可化為y2-5y+4=0①.解得yl=l,y2=4。當(dāng)yl=l時,x2-l=l即x2=2,

x=±.當(dāng)y2=4時,x2-l=4即x2=5,x=±，5。原方程的解為xl=,x2=-,x3=

V5,

Z

X4=-V5

解答問題：(1)填空：在由原方程得到①的過程中利用法，達到了降次的目

的，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。(2)解方程x4—x2—6=0.

5.小結(jié)⑴說說你對解一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程的認識

(消元、降次、化歸的思想)

⑵三種方法(配方法、公式法、因式分解法)的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次.

②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到.

③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程.

區(qū)別：①配方法要先配方，再開方求根.

②公式法直接利用公式求根.

③因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再分別使各一

次因式等于。.

作業(yè)P58復(fù)習(xí)題221.

21.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【教學(xué)設(shè)計總意圖】：本課是一節(jié)公式定理的新知課第一課時，曾在舊版的教材中占據(jù)

很重要的位置，不但在中考中體現(xiàn)，延伸到高中的數(shù)學(xué)教學(xué)也有廣泛的應(yīng)用.本冊教材又

將曾一度刪去的內(nèi)容恢復(fù)，可見根系關(guān)系的重耍.它為進一步解決一元二次方程、二次函

數(shù)以和相關(guān)的數(shù)學(xué)問題提供一些新的思路,但本課畢竟是第一課時，讓學(xué)生體會公式基

本內(nèi)容，在頭腦中形成積極印象很關(guān)鍵.所以從絕大多數(shù)同學(xué)掌握的知識程度出發(fā)，針對

本班學(xué)生的特點，本課在(a*0,b2-4ac》0)的前提條件下設(shè)計，所有的一元二次方

程均有解.

教學(xué)目標(biāo)：1.理解根系關(guān)系的推導(dǎo)過程；

2.掌握不解方程，應(yīng)用根系關(guān)系解題的方法；

3.體會從特殊到一般，再有一般到特殊的推導(dǎo)思路

教學(xué)重點：應(yīng)用根系關(guān)系解決問題；

教學(xué)難點：根系關(guān)系的推導(dǎo)過程

教學(xué)流程：引入新知，推導(dǎo)新知，鞏固新知，應(yīng)用新知，

一、教學(xué)過程：

前2天悄悄地聽到口自班的鄭帥和董沐青的一段對話，內(nèi)容如下：

鄭：我說董沐青，我有一個秘密，你想聽嗎？

蚩:什么秘密？

鄭：你知道咱們可愛的張老師年齡到底有多大嗎？

董：哦？

鄭：呵呵，這絕對是個秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：她的年齡啊是方程

x2-12x+35=。的兩根的積，回去你把2根求出來就知道了.

董：咳，你難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還告訴你，張老師的年齡啊

還是方程x2-35x-200=0的2根的和呢.

鄭：哈哈，你太有才了。對了，咱們應(yīng)該也讓同學(xué)猜一猜，不解方程，能不能求出張老師

的年齡.

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)一個情境：學(xué)生自我娛樂的同時自我探討數(shù)學(xué)知識，本班學(xué)生活躍，他

們自己在平時也會開一些類似的玩笑.希望這一次能夠激起班級進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

求出

下列方

程的2

根，計

算2根

和與2

根積的

值，并

猜想2一元二次方程XiX1+XXiX

x222

根和、2

根積與

一元二

次方程

各項系

數(shù)之間

的關(guān)系

序號

(1)x2-5x+6=02356

1.31

(2)2x2-3x+l=0

2122

212

(3)3x2+x-2=0

3-1-3-3

【設(shè)計意圖】二次項系數(shù)為1有1題；二次項系數(shù)不為1有2題,系數(shù)性質(zhì)符號各有不

同.讓學(xué)生盡量體會與猜想2根和、2根積與系數(shù)之間的關(guān)系.

引導(dǎo)學(xué)生獨立證明：

X1和X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a#=0,b2-4ac>0)

xl+x2=-,xlx2=注意：負號不能漏寫

【設(shè)計意圖】學(xué)生在已有公式法解一元二次方程的知識基礎(chǔ)上，可以最快速度說出xl和

x2的值，接下來將字母系數(shù)表示的xl和x2的值代入相應(yīng)的代數(shù)式xl+x2和xlx2

得出根系關(guān)系的結(jié)論，憑借學(xué)生自己的現(xiàn)有能力可以解決證明過程.還可以讓學(xué)生體會,

數(shù)學(xué)知織的一些結(jié)論是在計算的過程中產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中那一系列的字母并不是高不可

二、應(yīng)用

(1)第一組習(xí)題：不解方程，求下列方程的2根和與2根積

(2)x2-3x+1=0

(3)3x2-2x-2=0

(4)2x2-3x=0

(5)3x2=1

【設(shè)計意圖】新知產(chǎn)生后，直接應(yīng)用新知是學(xué)生的模仿階段，也是本課教學(xué)最基本的知

識目標(biāo)，這時需要強化記憶，除設(shè)計第1組習(xí)題外還設(shè)計板書例題和第2組習(xí)題.第一組

習(xí)題小評時，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)用根系關(guān)系解決2根和與2根積的問題不需求出復(fù)雜的

2根，同時滲透著整體代入的數(shù)學(xué)方法，為例2鞏固知識奠定基礎(chǔ).

例2:已知：

X1和X2是一元二次方程x2-4x+l=。的2根，求下列代數(shù)式的值

11

(1)一+一

XlX2

22

⑵Xl+x2

(2

(3)X1-X2)

學(xué)生練習(xí)：(1)+

(2)(xi+1)(x2+l)

三、【設(shè)計意圖】本例對絕大多數(shù)同學(xué)來說是可以掌握的內(nèi)容，也是研究根系關(guān)系應(yīng)掌

握的內(nèi)容，還可以讓學(xué)生進一步體會整體代入的數(shù)學(xué)思想方法.

四、本課小結(jié):

課后作業(yè)：

第10課時21.3實際問題與一元二次方程(1)

教學(xué)內(nèi)容

由“倍數(shù)關(guān)系”等問題建立數(shù)學(xué)模型，并通過配方法或公式法或分解因式法解決實

際問題.

教學(xué)目標(biāo)

掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實際問題，引入用“倍數(shù)關(guān)

系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實際問題.

重難點關(guān)鍵

1.重點：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

2.難點與關(guān)鍵：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）問題1：列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟？

①審題，②設(shè)由未知數(shù).③找等量關(guān)系.④列方程，⑤解方程，⑥答.

二、探索新知

上面這道題大家都做得很好，這是一種利用一元一次方程的數(shù)量關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模

型，那么還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面所學(xué)過的一元二次方程建立數(shù)學(xué)

模型解應(yīng)用題呢？請同學(xué)們完成下面問題.

（學(xué)生活動）探究1：有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪

傳染中平均一個人傳染了幾個人？

分析：1第一輪傳染1+x第一輪傳染后l+x+x（l+x）

解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪后共有

人患了流感,第二輪后共有_____________人患了流感.

列方程得1+x+x（x+1）=121

x2+2x-120=0

解方程，得Xi=-12,x2=10

根據(jù)問題的實際意義,x=10

答:每輪傳染中平均一個人傳染了1。個人.

思考:按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感？（121+121X10=1331）

通過對這個問題的探究，你對類似的傳播問題中的數(shù)量關(guān)系有新的認識嗎？

（后一輪被傳染的人數(shù)前一輪患病人數(shù)的x倍）烈已于

四.鞏固練習(xí).

1.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支

干和小分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少小分支？

解:設(shè)每個支干長出x個小分支，

則l+x+x.x=91即x2+x-90=0解得xl=9,x2=—10（不合題意,舍去）

答:每個支干長出9個小分支.

2.要組織一場籃球聯(lián)賽，每兩隊之間都賽2場，計劃安排90場比賽，應(yīng)邀請多少個球

隊參加比賽？

五、歸納小結(jié)

1.本節(jié)課應(yīng)掌握：

利用“倍數(shù)關(guān)系”建立關(guān)于一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并利用恰當(dāng)方法解它.

列一元二次方程解一元二次方程的一般步驟（1）審（2）設(shè)（3）列（4）解（5）驗一

一檢驗方程的解是否符合題意，將不符合題意的解舍去。（6）答

六、布置作業(yè)

1.教材P58復(fù)習(xí)題226

第11課時21.3實際問題與一元二次方程（2）

教學(xué)內(nèi)容

建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解決增長率與降低率問題。

教學(xué)目標(biāo)

掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決增長率與降低率問題,

重難點關(guān)鍵

1.重點：如何解決增長率與降低率問題。

2.難點與關(guān)鍵：解決增長率與降低率問題的公式a（l±x）n=b,其中a是原有量,x增

長（或降低）率,n為增長（或降低）的次數(shù),b為增長（或降低）后的量。

教學(xué)過程

探究2兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是

6000元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種

藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

分析:甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）+2=1000阮）

乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3600）:2=1200阮）

乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是，年平均下降額（元）不等同于年平均下降率

解:設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000（l-x）元，兩年

后甲種藥品成本為5000（l-x）2元，依題意得

5000（1-x）2=3000

解方程，得

x產(chǎn)0.225,無q1.775（不合題意，舍去）

答:甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.

算一算:乙種藥品成本的年平均下降率是多少？比較:兩種藥品成本的年平均下降率

（22.5%,相同）

思考：經(jīng)過計算,你能得出什么結(jié)論?成本下降額較大的藥品,它的成本下降率一定也較大

嗎？應(yīng)怎樣全面地比較對象的變化狀況？

（經(jīng)過計算，成本下降額較大的藥品,它的成木下降率不一定較大，應(yīng)比較降前和降后的價

格.）

小結(jié)：類似地這種增長率的問題在實際生活普遍存在,有一定的模式

若平均增長（或降低）百分率為x,增長（或降低）前的是a,增長（或降低）