《2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)-理解并掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。-能夠運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則進(jìn)行簡單函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算。2.過程與方法目標(biāo)-通過對(duì)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的探究過程，體會(huì)從特殊到一般的歸納推理方法。-培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)-通過自主探究、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。-讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)-函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。-運(yùn)用求導(dǎo)法則進(jìn)行簡單函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算。2.難點(diǎn)-函數(shù)積與商的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)與理解。-正確運(yùn)用求導(dǎo)法則解決復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)問題。三、學(xué)習(xí)方法自主探究、合作交流、講練結(jié)合四、學(xué)習(xí)過程（一）知識(shí)回顧1.導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)。2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：-\(C^\prime=0\)（\(C\)為常數(shù)）-\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)（\(n\inQ\)）-\((\sinx)^\prime=\cosx\)-\((\cosx)^\prime=-\sinx\)-\((e^x)^\prime=e^x\)-\((a^x)^\prime=a^x\lna\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）-\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)-\((\log_ax)^\prime=\frac{1}{x\lna}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-\(y=5\)-\(y=x^3\)-\(y=\sinx\)-\(y=e^x\)（二）新課導(dǎo)入問題1：已知\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=x^3\)，那么\(f(x)+g(x)=x^2+x^3\)，\([f(x)+g(x)]^\prime\)與\(f^\prime(x)+g^\prime(x)\)有什么關(guān)系呢？我們先分別求出\(f^\prime(x)\)，\(g^\prime(x)\)，\([f(x)+g(x)]^\prime\)。-由\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)可得\(f^\prime(x)=(x^2)^\prime=2x\)，\(g^\prime(x)=(x^3)^\prime=3x^2\)。-對(duì)于\(y=f(x)+g(x)=x^2+x^3\)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)：\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{[(x+\Deltax)^2+(x+\Deltax)^3]-(x^2+x^3)}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{(x^2+2x\Deltax+(\Deltax)^2+x^3+3x^2\Deltax+3x(\Deltax)^2+(\Deltax)^3)-(x^2+x^3)}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{2x\Deltax+(\Deltax)^2+3x^2\Deltax+3x(\Deltax)^2+(\Deltax)^3}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}(2x+\Deltax+3x^2+3x\Deltax+(\Deltax)^2)=2x+3x^2\)而\(f^\prime(x)+g^\prime(x)=2x+3x^2\)，所以\([f(x)+g(x)]^\prime=f^\prime(x)+g^\prime(x)\)。問題2：那么對(duì)于一般的函數(shù)\(u(x)\)和\(v(x)\)，\([u(x)+v(x)]^\prime\)與\(u^\prime(x)+v^\prime(x)\)是否也有這樣的關(guān)系呢？（三）知識(shí)探究1.函數(shù)和與差的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在點(diǎn)\(x\)處具有導(dǎo)數(shù)，則它們的和、差也在點(diǎn)\(x\)處具有導(dǎo)數(shù)，且\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)。證明：設(shè)\(y=u(x)+v(x)\)，則\(\Deltay=[u(x+\Deltax)+v(x+\Deltax)]-[u(x)+v(x)]=[u(x+\Deltax)-u(x)]+[v(x+\Deltax)-v(x)]=\Deltau+\Deltav\)\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\Deltau}{\Deltax}+\frac{\Deltav}{\Deltax}\)\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(\frac{\Deltau}{\Deltax}+\frac{\Deltav}{\Deltax})=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltau}{\Deltax}+\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltav}{\Deltax}=u^\prime+v^\prime\)同理可證\((u-v)^\prime=u^\prime-v^\prime\)。說明：-此法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)的和與差的求導(dǎo)，即\((u_1\pmu_2\pm\cdots\pmu_n)^\prime=u_1^\prime\pmu_2^\prime\pm\cdots\pmu_n^\prime\)。-法則中的\(u\)，\(v\)必須是可導(dǎo)函數(shù)。練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-\(y=x^4-x^2+x-3\)-\(y=\sinx-\cosx+2^x\)2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在點(diǎn)\(x\)處具有導(dǎo)數(shù)，則它們的積也在點(diǎn)\(x\)處具有導(dǎo)數(shù)，且\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)。證明：設(shè)\(y=u(x)v(x)\)，則\(\Deltay=u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)-u(x)v(x)\)\(=u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)-u(x)v(x+\Deltax)+u(x)v(x+\Deltax)-u(x)v(x)\)\(=[u(x+\Deltax)-u(x)]v(x+\Deltax)+u(x)[v(x+\Deltax)-v(x)]=\Deltau\cdotv(x+\Deltax)+u(x)\cdot\Deltav\)\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x+\Deltax)+u(x)\cdot\frac{\Deltav}{\Deltax}\)因?yàn)閈(v(x)\)在點(diǎn)\(x\)處可導(dǎo)，則\(v(x)\)在點(diǎn)\(x\)處連續(xù)，所以\(\lim\limits_{\Deltax\to0}v(x+\Deltax)=v(x)\)。\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x+\Deltax)+u(x)\cdot\frac{\Deltav}{\Deltax})\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}v(x+\Deltax)+u(x)\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltav}{\Deltax}=u^\primev+uv^\prime\)推論：若\(C\)為常數(shù)，則\((Cu)^\prime=Cu^\prime\)。因?yàn)閈((Cu)^\prime=C^\primeu+Cu^\prime=0\cdotu+Cu^\prime=Cu^\prime\)。練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-\(y=x^2\sinx\)-\(y=3x^3e^x\)3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都在點(diǎn)\(x\)處具有導(dǎo)數(shù)，且\(v(x)\neq0\)，則它們的商\(\frac{u}{v}\)在點(diǎn)\(x\)處具有導(dǎo)數(shù)，且\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)。證明：設(shè)\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)，則\(\Deltay=\frac{u(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)}-\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u(x+\Deltax)v(x)-u(x)v(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)v(x)}\)\(=\frac{u(x+\Deltax)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)v(x)}\)\(=\frac{[u(x+\Deltax)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+\Deltax)-v(x)]}{v(x+\Deltax)v(x)}=\frac{\Deltau\cdotv(x)-u(x)\cdot\Deltav}{v(x+\Deltax)v(x)}\)\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x)-u(x)\cdot\frac{\Deltav}{\Deltax}}{v(x+\Deltax)v(x)}\)因?yàn)閈(v(x)\)在點(diǎn)\(x\)處可導(dǎo)，則\(v(x)\)在點(diǎn)\(x\)處連續(xù)，所以\(\lim\limits_{\Deltax\to0}v(x+\Deltax)=v(x)\)。\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltau}{\Deltax}\cdotv(x)-u(x)\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltav}{\Deltax}}{v(x)\cdotv(x)}=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-\(y=\frac{\sinx}{x}\)-\(y=\frac{x^2+1}{x-1}\)（四）典例分析例1：求\(y=(2x^2+3)(3x-2)\)的導(dǎo)數(shù)。解法一：先展開式子\(y=(2x^2+3)(3x-2)=6x^3-4x^2+9x-6\)，再求導(dǎo)\(y^\prime=(6x^3-4x^2+9x-6)^\prime=18x^2-8x+9\)。解法二：根據(jù)積的求導(dǎo)法則\(y^\prime=(2x^2+3)^\prime(3x-2)+(2x^2+3)(3x-2)^\prime=(4x)(3x-2)+(2x^2+3)\times3=12x^2-8x+6x^2+9=18x^2-8x+9\)。例2：已知\(f(x)=\frac{x^2}{x+1}\)，\(g(x)=\frac{x+1}{x}\)，求\([f(x)g(x)]^\prime\)。先求\(f(x)g(x)=\frac{x^2}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x}=x\)，則\([f(x)g(x)]^\prime=x^\prime=1\)。（五）課堂小結(jié)1.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：-\((u\pmv)^\prime=u^\pr