中考數(shù)學(xué)攻略_平面向量基礎(chǔ)與進(jìn)階應(yīng)用詳解一、引言在中考數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，平面向量是一個(gè)相對(duì)較新但卻十分重要的內(nèi)容。它不僅是連接代數(shù)與幾何的橋梁，還在解決幾何問題、物理問題等方面有著廣泛的應(yīng)用。掌握平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)和進(jìn)階應(yīng)用，對(duì)于提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力有著重要的作用。本文將詳細(xì)介紹平面向量的基礎(chǔ)概念，并深入探討其進(jìn)階應(yīng)用，幫助同學(xué)們在中考中更好地應(yīng)對(duì)相關(guān)題目。二、平面向量的基礎(chǔ)概念（一）向量的定義向量是既有大小又有方向的量。在數(shù)學(xué)中，我們通常用有向線段來表示向量。有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)到點(diǎn)\(B(x_2,y_2)\)的有向線段\(\overrightarrow{AB}\)就是一個(gè)向量。（二）向量的表示方法1.幾何表示法：用有向線段\(\overrightarrow{AB}\)表示，其中\(zhòng)(A\)為向量的起點(diǎn)，\(B\)為向量的終點(diǎn)。2.字母表示法：用小寫字母\(\vec{a}\)、\(\vec\)、\(\vec{c}\)等表示向量。在印刷時(shí)，向量通常用黑體字母表示，如\(\mathbf{a}\)、\(\mathbf\)、\(\mathbf{c}\)；在手寫時(shí)，需要在字母上方加上箭頭，如\(\vec{a}\)、\(\vec\)、\(\vec{c}\)。（三）向量的模向量的模是指向量的大小，也就是有向線段的長度。向量\(\vec{a}\)的模記作\(\vert\vec{a}\vert\)。若向量\(\overrightarrow{AB}\)的起點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)，終點(diǎn)\(B(x_2,y_2)\)，則\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)。（四）零向量與單位向量1.零向量：長度為\(0\)的向量叫做零向量，記作\(\vec{0}\)。零向量的方向是任意的。2.單位向量：長度等于\(1\)個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。與非零向量\(\vec{a}\)同向的單位向量記作\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。（五）相等向量與相反向量1.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若\(\vec{a}\)與\(\vec\)相等，則記作\(\vec{a}=\vec\)。2.相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量\(\vec{a}\)的相反向量記作\(-\vec{a}\)。（六）向量的加法與減法1.向量加法-三角形法則：已知非零向量\(\vec{a}\)、\(\vec\)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec\)，則向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)與\(\vec\)的和，記作\(\vec{a}+\vec\)，即\(\vec{a}+\vec=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。-平行四邊形法則：以同一點(diǎn)\(O\)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量\(\vec{a}\)、\(\vec\)為鄰邊作平行四邊形\(OACB\)，則以\(O\)為起點(diǎn)的對(duì)角線\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\vec{a}\)與\(\vec\)的和，即\(\vec{a}+\vec=\overrightarrow{OC}\)。-運(yùn)算律：交換律\(\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}\)；結(jié)合律\((\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})\)。2.向量減法：向量\(\vec{a}\)減去向量\(\vec\)等于向量\(\vec{a}\)加上\(\vec\)的相反向量，即\(\vec{a}-\vec=\vec{a}+(-\vec)\)。其幾何意義是：已知向量\(\vec{a}\)、\(\vec\)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec\)，則\(\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec\)。（七）向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)\(\lambda\)與向量\(\vec{a}\)的積是一個(gè)向量，記作\(\lambda\vec{a}\)，它的長度與方向規(guī)定如下：1.\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\)；2.當(dāng)\(\lambda\gt0\)時(shí)，\(\lambda\vec{a}\)的方向與\(\vec{a}\)的方向相同；當(dāng)\(\lambda\lt0\)時(shí)，\(\lambda\vec{a}\)的方向與\(\vec{a}\)的方向相反；當(dāng)\(\lambda=0\)時(shí)，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。3.運(yùn)算律：\(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\)；\((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)；\(\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec\)。三、平面向量的進(jìn)階應(yīng)用（一）利用向量證明幾何問題1.證明線段平行-若存在實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{CD}\)，且\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{CD}\)不共線（通常是不在同一條直線上），則\(AB\parallelCD\)。-例題：已知在四邊形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}+2\vec\)，\(\overrightarrow{BC}=-4\vec{a}-\vec\)，\(\overrightarrow{CD}=-5\vec{a}-3\vec\)，證明四邊形\(ABCD\)是梯形。-證明：首先計(jì)算\(\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\vec{a}+2\vec)+(-4\vec{a}-\vec)+(-5\vec{a}-3\vec)=-8\vec{a}-2\vec\)。然后發(fā)現(xiàn)\(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}\)，所以\(AD\parallelBC\)。又因?yàn)閈(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{CD}\)不滿足倍數(shù)關(guān)系，即\(AB\)與\(CD\)不平行，所以四邊形\(ABCD\)是梯形。2.證明線段相等-若\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{CD}\vert\)，則線段\(AB\)與\(CD\)相等。-例題：在平行四邊形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec\)，\(M\)、\(N\)分別是\(BC\)、\(CD\)的中點(diǎn)，證明\(AM=AN\)。-證明：\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec\)，\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\vec+\frac{1}{2}\vec{a}\)。計(jì)算\(\vert\overrightarrow{AM}\vert^2=(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec)^2=\vec{a}^2+\vec{a}\cdot\vec+\frac{1}{4}\vec^2\)，\(\vert\overrightarrow{AN}\vert^2=(\vec+\frac{1}{2}\vec{a})^2=\vec^2+\vec{a}\cdot\vec+\frac{1}{4}\vec{a}^2\)。在平行四邊形中\(zhòng)(\vert\vec{a}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert\)，\(\vert\vec\vert=\vert\overrightarrow{AD}\vert\)，所以\(\vert\overrightarrow{AM}\vert=\vert\overrightarrow{AN}\vert\)，即\(AM=AN\)。3.證明垂直關(guān)系-若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。-例題：已知\(\vert\vec{a}\vert=2\)，\(\vert\vec\vert=3\)，\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(60^{\circ}\)，\(\vec{c}=5\vec{a}+3\vec\)，\(\veclssbgtt=3\vec{a}+k\vec\)，當(dāng)\(k\)為何值時(shí)，\(\vec{c}\perp\vecmmlbazj\)？-解：因?yàn)閈(\vec{c}\perp\vecpjvt2d2\)，所以\(\vec{c}\cdot\vecbehhzow=0\)。\(\vec{c}\cdot\vecjh2mfmh=(5\vec{a}+3\vec)\cdot(3\vec{a}+k\vec)=15\vec{a}^2+(5k+9)\vec{a}\cdot\vec+3k\vec^2\)。已知\(\vec{a}^2=\vert\vec{a}\vert^2=4\)，\(\vec^2=\vert\vec\vert^2=9\)，\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos60^{\circ}=2\times3\times\frac{1}{2}=3\)。則\(15\times4+(5k+9)\times3+3k\times9=0\)，\(60+15k+27+27k=0\)，\(42k=-87\)，解得\(k=-\frac{29}{14}\)。（二）利用向量解決幾何中的位置關(guān)系問題1.確定點(diǎn)的位置-已知向量關(guān)系可以確定點(diǎn)在直線上的位置。-例題：已知\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec\)，點(diǎn)\(P\)在直線\(AB\)上，且\(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}\)，求\(\overrightarrow{OP}\)。-解：因?yàn)閈(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}\)，所以\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\)。展開得到\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OP}\)。移項(xiàng)可得\(3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec\)。2.判斷三角形的形狀-通過向量的數(shù)量積和模的關(guān)系可以判斷三角形的形狀。-例題：已知\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec\)，\(\overrightarrow{CA}=\vec{c}\)，且\(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}\)，判斷\(\triangleABC\)的形狀。-解：因?yàn)閈(\vec{a}+\vec+\vec{c}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)，所以\(\vec{a}+\vec=-\vec{c}\)。兩邊平方得\((\vec{a}+\vec)^2=\vec{c}^2\)，即\(\vec{a}^2+2\vec{a}\cdot\vec+\vec^2=\vec{c}^2\)。同理\(\vec^2+2\vec\cdot\vec{c}+\vec{c}^2=\vec{a}^2\)，\(\vec{c}^2+2\vec{c}\cdot\vec{a}+\vec{a}^2=\vec^2\)。又因?yàn)閈(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}\)，所以\(\vec{a}^2=\vec^2=\vec{c}^2\)，即\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert=\vert\vec{c}\vert\)，所以\(\triangleABC\)是等邊三角形。（三）向量在物理中的應(yīng)用1.力的合成與分解-力是向量，力的合成與分解可以用向量的加法與減法來解決。-例題：有兩個(gè)力\(\vec{F}_1\)和\(\vec{F}_2\)，\(\vert\vec{F}_1\vert=3N\)，\(\vert\vec{F}_2\vert=4N\)，它們的夾角為\(90^{\circ}\)，求這兩個(gè)力的合力\(\vec{F}\)的大小。-解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，合力\(\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2\)。因?yàn)閈(\vec{F}_1\)與\(\vec{F}_2\)夾角為\(90^{\circ}\)，所以\(\vert\vec{F}\vert=\sqrt{\vert\vec{F}_1\vert^2+\vert\vec{F}_2\vert^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5N\)。2.速度的合成與分解-速度也是向量，速度的合成與分解同樣可以用向量的運(yùn)算來處理。-例題：一艘船在靜水中的速度\(\vec{v}_1\)的大小為\(4m/s\)，水流速度\(\vec{v}_2\)的大小為\(3m/s\)，船垂直于河岸行駛，求船的實(shí)際航行速度\(\vec{v}\)的大小。-解：船的實(shí)際航行速度\(\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2\)，因?yàn)榇怪庇诤影缎旭偅琝(\vec{v}_1\)與\(\vec{v}_2\)垂直，所以\(\vert\vec{v}\vert=\sqrt{\vert\vec{v}_1\vert^2+\vert\vec{v}_2\vert^2}=\sqrt{4^2