高中數(shù)學定積分復習_從基礎概念到解題技巧的全面解析一、引言在高中數(shù)學的知識體系中，定積分是一個重要且具有一定難度的內容。它不僅是微積分學的重要組成部分，也是連接微分與積分的橋梁，在幾何、物理等多個領域都有著廣泛的應用。對于即將面臨高考的高中生來說，全面、深入地復習定積分知識，掌握其基礎概念和解題技巧，對于提升數(shù)學成績和解決實際問題的能力都有著至關重要的意義。本文將從定積分的基礎概念入手，逐步深入探討其計算方法和解題技巧，幫助同學們進行系統(tǒng)的復習。二、定積分的基礎概念（一）定積分的定義設函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，用分點\(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\)將區(qū)間\([a,b]\)等分成\(n\)個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為\(\Deltax=\frac{b-a}{n}\)，在每個小區(qū)間\([x_{i-1},x_i]\)上任取一點\(\xi_i(i=1,2,\cdots,n)\)，作和式\(S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)。當\(n\to+\infty\)時，上述和式無限趨近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分，記作\(\int_{a}^f(x)dx\)，即\(\int_{a}^f(x)dx=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)。從定義中我們可以看出，定積分是一個極限值，它與區(qū)間\([a,b]\)和被積函數(shù)\(f(x)\)有關，而與積分變量用什么字母表示無關，即\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^f(t)dt\)。（二）定積分的幾何意義1.當\(f(x)\geq0\)時：\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由直線\(x=a\)，\(x=b\)，\(y=0\)和曲線\(y=f(x)\)所圍成的曲邊梯形的面積。2.當\(f(x)\leq0\)時：\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由直線\(x=a\)，\(x=b\)，\(y=0\)和曲線\(y=f(x)\)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)。3.當\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有正有負時：\(\int_{a}^f(x)dx\)表示\(x\)軸上方的曲邊梯形的面積減去\(x\)軸下方的曲邊梯形的面積。例如，對于函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([0,2\pi]\)上，\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=\int_{0}^{\pi}\sinxdx+\int_{\pi}^{2\pi}\sinxdx\)。因為\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)表示\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上與\(x\)軸圍成的曲邊梯形的面積，值為\(2\)；\(\int_{\pi}^{2\pi}\sinxdx\)表示\(y=\sinx\)在\([\pi,2\pi]\)上與\(x\)軸圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)，值為\(-2\)，所以\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=2+(-2)=0\)。（三）定積分的基本性質1.常數(shù)倍數(shù)性質：\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）。2.和差性質：\(\int_{a}^[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx\pm\int_{a}^g(x)dx\)。3.區(qū)間可加性：\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（其中\(zhòng)(a<c<b\)）。這些性質在定積分的計算和化簡中有著重要的作用。例如，計算\(\int_{0}^{1}(2x+3)dx\)，根據(jù)和差性質可得\(\int_{0}^{1}(2x+3)dx=\int_{0}^{1}2xdx+\int_{0}^{1}3dx\)，再根據(jù)常數(shù)倍數(shù)性質\(\int_{0}^{1}2xdx=2\int_{0}^{1}xdx\)，這樣就可以將復雜的定積分計算轉化為簡單的定積分計算。三、定積分的計算方法（一）牛頓-萊布尼茨公式如果函數(shù)\(F(x)\)是函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的一個原函數(shù)，即\(F^\prime(x)=f(x)\)，那么\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，記作\(F(x)\vert_{a}^=F(b)-F(a)\)。牛頓-萊布尼茨公式為定積分的計算提供了一種有效的方法，將定積分的計算轉化為求原函數(shù)在區(qū)間端點的值的差。例如，計算\(\int_{1}^{2}x^2dx\)，因為\((\frac{1}{3}x^3)^\prime=x^2\)，所以\(\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\vert_{1}^{2}=\frac{1}{3}\times2^3-\frac{1}{3}\times1^3=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)。（二）常見函數(shù)的原函數(shù)1.冪函數(shù)：若\(f(x)=x^n\)（\(n\neq-1\)），則其原函數(shù)\(F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)。2.指數(shù)函數(shù)：若\(f(x)=e^x\)，則其原函數(shù)\(F(x)=e^x+C\)；若\(f(x)=a^x\)（\(a>0,a\neq1\)），則其原函數(shù)\(F(x)=\frac{a^x}{\lna}+C\)。3.三角函數(shù)：若\(f(x)=\sinx\)，則其原函數(shù)\(F(x)=-\cosx+C\)；若\(f(x)=\cosx\)，則其原函數(shù)\(F(x)=\sinx+C\)。掌握常見函數(shù)的原函數(shù)是運用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分的基礎。例如，計算\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx\)，因為\((\sinx)^\prime=\cosx\)，所以\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx=\sinx\vert_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin0=1-0=1\)。四、定積分的解題技巧（一）利用定積分的幾何意義解題當被積函數(shù)的幾何圖形比較容易畫出時，利用定積分的幾何意義可以快速計算定積分的值。例1：計算\(\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)。解：令\(y=\sqrt{1-x^2}\)，兩邊平方可得\(y^2=1-x^2\)，即\(x^2+y^2=1(y\geq0)\)，它表示以原點\((0,0)\)為圓心，半徑\(r=1\)的上半圓。所以\(\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)表示該上半圓的面積，根據(jù)圓的面積公式\(S=\pir^2\)，可得\(\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\pi\times1^2=\frac{\pi}{2}\)。（二）利用定積分的性質化簡計算定積分的性質可以將復雜的定積分轉化為簡單的定積分進行計算。例2：計算\(\int_{0}^{2}(3x^2-2x+1)dx\)。解：根據(jù)定積分的和差性質\(\int_{0}^{2}(3x^2-2x+1)dx=\int_{0}^{2}3x^2dx-\int_{0}^{2}2xdx+\int_{0}^{2}1dx\)。再根據(jù)常數(shù)倍數(shù)性質，\(\int_{0}^{2}3x^2dx=3\int_{0}^{2}x^2dx\)，\(\int_{0}^{2}2xdx=2\int_{0}^{2}xdx\)。因為\((\frac{1}{3}x^3)^\prime=x^2\)，\((x^2)^\prime=2x\)，\((x)^\prime=1\)，所以：\(\int_{0}^{2}3x^2dx=3\times\frac{1}{3}x^3\vert_{0}^{2}=2^3-0^3=8\)；\(\int_{0}^{2}2xdx=2\times\frac{1}{2}x^2\vert_{0}^{2}=2^2-0^2=4\)；\(\int_{0}^{2}1dx=x\vert_{0}^{2}=2-0=2\)。則\(\int_{0}^{2}(3x^2-2x+1)dx=8-4+2=6\)。（三）換元積分法當被積函數(shù)比較復雜時，可以通過換元的方法將其轉化為簡單的形式。例3：計算\(\int_{0}^{1}2x\sqrt{1+x^2}dx\)。解：令\(t=1+x^2\)，則\(dt=2xdx\)。當\(x=0\)時，\(t=1+0^2=1\)；當\(x=1\)時，\(t=1+1^2=2\)。所以\(\int_{0}^{1}2x\sqrt{1+x^2}dx=\int_{1}^{2}\sqrt{t}dt\)。因為\((\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}})^\prime=\sqrt{t}\)，所以\(\int_{1}^{2}\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\vert_{1}^{2}=\frac{2}{3}\times2^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times1^{\frac{3}{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{2}-2}{3}\)。（四）利用函數(shù)的奇偶性解題若函數(shù)\(y=f(x)\)在關于原點對稱的區(qū)間\([-a,a]\)上連續(xù)，則有：1.當\(f(x)\)是奇函數(shù)時，\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。2.當\(f(x)\)是偶函數(shù)時，\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。例4：計算\(\int_{-1}^{1}(x^3+\sinx)dx\)。解：設\(f(x)=x^3+\sinx\)，因為\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函數(shù)。根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質，可得\(\int_{-1}^{1}(x^3+\sinx)dx=0\)。五、定積分的應用（一）求平面圖形的面積由曲線\(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)以及直線\(x=a\)，\(x=b\)（\(a<b\)）所圍成的平面圖形的面積\(S=\int_{a}^\vertf(x)-g(x)\vertdx\)。例5：求由曲線\(y=x^2\)和\(y=x\)所圍成的平面圖形的面積。解：首先聯(lián)立方程組\(\begin{cases}y=x^2\\y=x\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}\)和\(\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)，即兩曲線的交點為\((0,0)\)和\((1,1)\)。在區(qū)間\([0,1]\)上，\(x\geqx^2\)，所以所求面積\(S=\int_{0}^{1}(x-x^2)dx\)。因為\((\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3)^\prime=x-x^2\)，所以\(S=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\vert_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)。（二）求變速直線運動的路程設某物體做變速直線運動，其速度函數(shù)為\(v=v(t)\)（\(v(t)\geq0\)），則該物體在時間區(qū)間\([a,b]\)內所經過的路程\(s=\int_{a}^v(t)dt\)。例6：一物體以速度\(v(t)=3t^2+2t\)（單位：\(m/s\)）做直線運動，求該物體在\(t=0\)到\(t=3\)這段時間內所經過的路程。解：根據(jù)變速直線運動的路程公式，可得\(s=\int_{0}^{3}(3t^2+2t)dt\)。因為\((t^3+t^2)^\prime=3t^2+2t\)，所以\(s=(t^3+t^2)\vert_{0}