深度剖析高考數(shù)學(xué)第35講_平面向量概念及坐標運算全攻略解析引言在高考數(shù)學(xué)的龐大知識體系中，平面向量是一塊至關(guān)重要的內(nèi)容。它不僅是連接代數(shù)與幾何的橋梁，更是解決許多數(shù)學(xué)問題和實際應(yīng)用問題的有力工具。高考數(shù)學(xué)第35講通常聚焦于平面向量的概念及坐標運算，這一部分內(nèi)容在高考中占據(jù)著一定的分值，題型多樣，涵蓋選擇題、填空題以及解答題。深入理解平面向量的概念和熟練掌握其坐標運算方法，對于考生在高考中取得優(yōu)異成績具有關(guān)鍵意義。本文將對平面向量概念及坐標運算進行全面、深入的剖析，為考生提供一份詳盡的攻略。一、平面向量的基本概念（一）向量的定義向量是既有大小又有方向的量。與數(shù)量不同，數(shù)量只有大小，而向量兼具大小和方向兩個要素。例如，在物理學(xué)中的位移、速度、力等都是向量的實際例子。我們可以用有向線段來直觀地表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。以有向線段$\overrightarrow{AB}$為例，點$A$為起點，點$B$為終點，其長度$|\overrightarrow{AB}|$就是向量$\overrightarrow{AB}$的大小，也稱為向量的模。（二）特殊向量1.零向量：長度為$0$的向量叫做零向量，記作$\overrightarrow{0}$。零向量的方向是任意的，這是零向量的一個重要特性。在實際運算和問題解決中，零向量常常需要特殊考慮，因為它與其他向量的運算規(guī)則有一些特殊之處。2.單位向量：長度等于$1$個單位的向量叫做單位向量。對于任意非零向量$\overrightarrow{a}$，與它同方向的單位向量可以表示為$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$。單位向量在向量的分解和坐標表示中有著重要的應(yīng)用，它可以幫助我們將向量的方向和大小進行分離處理。（三）向量的關(guān)系1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也稱為共線向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。平行向量的概念是向量運算和幾何證明中的重要基礎(chǔ)。例如，在證明兩條直線平行或三點共線的問題中，常常會用到向量平行的性質(zhì)。若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是平行向量，則存在實數(shù)$\lambda$，使得$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow$。2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。相等向量經(jīng)過平移后可以完全重合。在向量的運算和應(yīng)用中，相等向量可以相互替換，這為我們解決問題提供了很大的便利。二、平面向量的線性運算（一）向量的加法1.三角形法則：已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，在平面內(nèi)任取一點$A$，作$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow$，則向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的和，記作$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，即$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。三角形法則的實質(zhì)是將兩個向量首尾相連，和向量是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點。2.平行四邊形法則：以同一點$O$為起點的兩個已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為鄰邊作平行四邊形$OACB$，則以$O$為起點的對角線$\overrightarrow{OC}$就是$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的和。平行四邊形法則適用于兩個向量共起點的情況，它與三角形法則本質(zhì)上是一致的，只是表現(xiàn)形式不同。3.加法運算律：向量的加法滿足交換律$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}$和結(jié)合律$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})$。這些運算律在進行多個向量的加法運算時非常有用，可以簡化運算過程。（二）向量的減法向量的減法是加法的逆運算。已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$。即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。向量減法的幾何意義是連接兩個向量的終點，方向指向被減向量的終點。在解決幾何問題中，向量的減法可以用來表示線段之間的關(guān)系，例如證明線段相等、垂直等問題。（三）向量的數(shù)乘1.定義：實數(shù)$\lambda$與向量$\overrightarrow{a}$的積是一個向量，記作$\lambda\overrightarrow{a}$，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）$|\lambda\overrightarrow{a}|=|\lambda||\overrightarrow{a}|$；（2）當$\lambda>0$時，$\lambda\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$的方向相同；當$\lambda<0$時，$\lambda\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$的方向相反；當$\lambda=0$時，$\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$。2.運算律：向量的數(shù)乘滿足以下運算律：（1）$\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}$；（2）$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}$；（3）$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow$。這些運算律與實數(shù)的乘法運算律有相似之處，但又有向量運算的特點，在進行向量的數(shù)乘運算時需要準確運用。三、平面向量的坐標運算（一）平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與$x$軸、$y$軸方向相同的兩個單位向量$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$作為基底。對于平面內(nèi)的任意一個向量$\overrightarrow{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)$x$，$y$，使得$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$。我們把有序?qū)崝?shù)對$(x,y)$叫做向量$\overrightarrow{a}$的坐標，記作$\overrightarrow{a}=(x,y)$。向量的坐標表示將向量與有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，使得向量的運算可以轉(zhuǎn)化為坐標的運算，大大簡化了向量的運算過程。（二）平面向量坐標運算的法則1.加法：若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。即兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和。2.減法：若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。即兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差。3.數(shù)乘：若$\overrightarrow{a}=(x,y)$，$\lambda$是實數(shù)，則$\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax,\lambday)$。即實數(shù)與向量數(shù)乘的坐標等于這個實數(shù)與向量各坐標的乘積。（三）向量平行和垂直的坐標表示1.平行：設(shè)$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，且$\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$的充要條件是$x_1y_2-x_2y_1=0$。這是通過向量坐標運算得到的平行向量的判定條件，在解決向量平行問題時非常方便。2.垂直：設(shè)$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow$的充要條件是$x_1x_2+y_1y_2=0$。這一條件在解決向量垂直問題以及與垂直相關(guān)的幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用。四、高考中的平面向量概念及坐標運算題型分析（一）選擇題和填空題這類題型主要考查平面向量的基本概念、線性運算和坐標運算的基本法則。例如，可能會給出向量的坐標，要求計算向量的模、向量的和或差、判斷向量是否平行或垂直等。解題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量的各種運算規(guī)則和概念，準確進行計算。例1：已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(3,-1)$，則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值為（）A.$\sqrt{26}$B.$5$C.$\sqrt{10}$D.$2\sqrt{5}$解析：首先計算$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(1+3,2+(-1))=(4,1)$，然后根據(jù)向量模的計算公式$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{x^2+y^2}$（其中$\overrightarrow{m}=(x,y)$），可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，本題無正確選項。（二）解答題解答題通常會將平面向量與其他知識，如三角函數(shù)、解析幾何等結(jié)合起來考查。這類題型綜合性較強，需要考生具備較強的分析問題和解決問題的能力。一般會先根據(jù)已知條件進行向量的運算，再結(jié)合其他知識進行進一步的求解。例2：在平面直角坐標系$xOy$中，已知向量$\overrightarrow{m}=(\sin\theta,1)$，$\overrightarrow{n}=(\cos\theta,\sin^2\theta)$，$\theta\in[0,\pi]$。（1）若$\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}$，求$\tan\theta$的值；（2）若$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=\frac{3}{4}$，求$\sin2\theta$的值。解析：（1）因為$\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}$，根據(jù)向量平行的坐標表示可得$\sin\theta\sin^2\theta-\cos\theta=0$，即$\sin^3\theta-\cos\theta=0$。又因為$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，聯(lián)立可得$\sin^3\theta-\sqrt{1-\sin^2\theta}=0$。設(shè)$\sin\theta=t$，則$t^3-\sqrt{1-t^2}=0$，$t^3=\sqrt{1-t^2}$，兩邊平方得$t^6=1-t^2$，即$t^6+t^2-1=0$。令$u=t^2$，則$u^3+u-1=0$。通過試根法可知$u\approx0.682$，所以$\sin\theta\approx\sqrt{0.682}$，$\cos\theta\approx\sqrt{1-0.682}=\sqrt{0.318}$，則$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\approx\frac{\sqrt{0.682}}{\sqrt{0.318}}\approx1.46$。（2）因為$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta=\frac{3}{4}$，根據(jù)二倍角公式$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$和$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$，可得$\frac{1}{2}\sin2\theta+\frac{1-\cos2\theta}{2}=\frac{3}{4}$，即$\sin2\theta-\cos2\theta=\frac{1}{2}$。兩邊平方得$\sin^22\theta-2\sin2\theta\cos2\theta+\cos^22\th