掌握平面向量關(guān)鍵技能_2024年數(shù)學(xué)備考寶典第35講——平面向量的基本概念與坐標(biāo)運算全解析引言在高中數(shù)學(xué)的知識體系中，平面向量是一個極具魅力且重要的分支。它不僅是連接代數(shù)與幾何的橋梁，在解決幾何問題、物理問題等方面有著廣泛的應(yīng)用，而且在歷年的高考中也占據(jù)著相當(dāng)重要的地位。2024年的數(shù)學(xué)備考中，深入理解和掌握平面向量的基本概念與坐標(biāo)運算，無疑是通向成功的關(guān)鍵一步。本講將對平面向量的基本概念與坐標(biāo)運算進(jìn)行全面解析，幫助同學(xué)們掌握這一關(guān)鍵技能。一、平面向量的基本概念（一）向量的定義向量是既有大小又有方向的量。我們可以用有向線段來直觀地表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。例如，在物理學(xué)中，位移、速度、力等都是向量。與向量相對的是數(shù)量，數(shù)量只有大小，沒有方向，如長度、質(zhì)量、時間等。（二）向量的表示方法1.幾何表示：用有向線段表示向量，以A為起點，B為終點的有向線段記為$\overrightarrow{AB}$。書寫時，注意在字母上方加上箭頭。2.字母表示：可以用小寫字母a，b，c等表示向量，書寫時同樣要在字母上方加上箭頭，如$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$。3.坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$的起點是坐標(biāo)原點O，終點是點P(x,y)，則向量$\overrightarrow{a}$可以用坐標(biāo)(x,y)表示，記作$\overrightarrow{a}=(x,y)$。（三）向量的模向量的大小叫做向量的模。向量$\overrightarrow{AB}$的模記作$|\overrightarrow{AB}|$，向量$\overrightarrow{a}$的模記作$|\overrightarrow{a}|$。如果$\overrightarrow{a}=(x,y)$，那么根據(jù)勾股定理，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。例如，向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，則$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。（四）特殊向量1.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作$\overrightarrow{0}$。零向量的方向是任意的。2.單位向量：長度等于1個單位的向量叫做單位向量。對于任意非零向量$\overrightarrow{a}$，與它同方向的單位向量記作$\overrightarrow{e}$，則$\overrightarrow{e}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$。例如，已知$\overrightarrow{a}=(2,0)$，$|\overrightarrow{a}|=2$，那么與$\overrightarrow{a}$同方向的單位向量$\overrightarrow{e}=(\frac{2}{2},0)=(1,0)$。3.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若$\overrightarrow{a}=\overrightarrow$，則$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$方向相同。相等向量經(jīng)過平移后可以完全重合。4.相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量$\overrightarrow{a}$的相反向量記作$-\overrightarrow{a}$，則$|\overrightarrow{a}|=|-\overrightarrow{a}|$，且$\overrightarrow{a}$與$-\overrightarrow{a}$方向相反。例如，若$\overrightarrow{a}=(1,2)$，則$-\overrightarrow{a}=(-1,-2)$。5.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行，記作$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$。二、平面向量的線性運算（一）向量的加法1.三角形法則：已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，在平面內(nèi)任取一點A，作$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow$，則向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的和，記作$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，即$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則。2.平行四邊形法則：以同一點O為起點的兩個已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線$\overrightarrow{OC}$就是$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的和。平行四邊形法則只適用于不共線的兩個向量相加。3.運算律-交換律：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}$。-結(jié)合律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})$。（二）向量的減法向量$\overrightarrow{a}$減去向量$\overrightarrow$等于向量$\overrightarrow{a}$加上$\overrightarrow$的相反向量，即$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow)$。在平面內(nèi)任取一點O，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$。這就是向量減法的幾何意義，即$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$可以表示為從向量$\overrightarrow$的終點指向向量$\overrightarrow{a}$的終點的向量。（三）向量的數(shù)乘1.定義：實數(shù)λ與向量$\overrightarrow{a}$的積是一個向量，記作λ$\overrightarrow{a}$，它的長度與方向規(guī)定如下：-$|\lambda\overrightarrow{a}|=|\lambda|\cdot|\overrightarrow{a}|$。-當(dāng)λ>0時，λ$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$的方向相同；當(dāng)λ<0時，λ$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$的方向相反；當(dāng)λ=0時，λ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$。2.運算律-結(jié)合律：$\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}$。-第一分配律：$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}$。-第二分配律：$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow$。（四）向量共線定理向量$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$）與$\overrightarrow$共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ，使得$\overrightarrow=\lambda\overrightarrow{a}$。這一定理在證明向量共線、三點共線等問題中有著重要的應(yīng)用。例如，已知$\overrightarrow{OA}=(1,2)$，$\overrightarrow{OB}=(2,4)$，則$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，所以$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$共線，又因為$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$有公共點O，所以A，O，B三點共線。三、平面向量的坐標(biāo)運算（一）向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$作為基底。對于平面內(nèi)的一個向量$\overrightarrow{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$，我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)，記作$\overrightarrow{a}=(x,y)$。（二）向量坐標(biāo)運算的法則1.加法：若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。例如，$\overrightarrow{a}=(1,3)$，$\overrightarrow=(2,-1)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(1+2,3+(-1))=(3,2)$。2.減法：若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。比如，$\overrightarrow{a}=(5,4)$，$\overrightarrow=(3,2)$，那么$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(5-3,4-2)=(2,2)$。3.數(shù)乘：若$\overrightarrow{a}=(x,y)$，λ是實數(shù)，則$\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax,\lambday)$。例如，$\overrightarrow{a}=(2,1)$，λ=3，則$3\overrightarrow{a}=(3\times2,3\times1)=(6,3)$。4.向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：若點A的坐標(biāo)為$(x_1,y_1)$，點B的坐標(biāo)為$(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。這表明向量的坐標(biāo)等于終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。（三）向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，其中$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$的充要條件是$x_1y_2-x_2y_1=0$。例如，已知$\overrightarrow{a}=(2,3)$，$\overrightarrow=(4,y)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$，則$2y-4\times3=0$，即$2y-12=0$，解得$y=6$。四、平面向量基本概念與坐標(biāo)運算的應(yīng)用（一）在幾何問題中的應(yīng)用1.證明線段平行或相等：利用向量共線定理和向量相等的定義，可以證明線段平行或相等。例如，在四邊形ABCD中，已知$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{DC}=(1,2)$，因為$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以AB與DC平行且相等，四邊形ABCD是平行四邊形。2.求線段長度：通過向量的模的計算公式，可以求出線段的長度。比如，已知點A(1,2)，點B(4,6)，則$\overrightarrow{AB}=(4-1,6-2)=(3,4)$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，即線段AB的長度為5。（二）在物理問題中的應(yīng)用1.力的合成與分解：力是向量，利用向量的加法和數(shù)乘運算可以解決力的合成與分解問題。例如，一個物體受到兩個力$\overrightarrow{F_1}=(3,4)$和$\overrightarrow{F_2}=(1,-2)$的作用，那么這兩個力的合力$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarro