向量魔法揭秘_平面向量坐標(biāo)運(yùn)算全解析_高考數(shù)學(xué)第35講攻略一、引言在高考數(shù)學(xué)的浩瀚知識(shí)海洋中，平面向量是一顆璀璨的明珠。它不僅具有豐富的幾何背景，還與代數(shù)緊密相連，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算更是向量知識(shí)體系中的核心內(nèi)容，它將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算，為解決幾何問(wèn)題提供了有力的工具。在高考中，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算常常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，也會(huì)融入解答題中，考查同學(xué)們的綜合運(yùn)用能力。本講將全方位解析平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，揭開其神秘的面紗，幫助同學(xué)們?cè)诟呖贾泄タ诉@一重要考點(diǎn)。二、平面向量坐標(biāo)的基本概念（一）向量坐標(biāo)的定義在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與\(x\)軸、\(y\)軸方向相同的兩個(gè)單位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量\(\vec{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)。我們把有序數(shù)對(duì)\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐標(biāo)，記作\(\vec{a}=(x,y)\)。其中\(zhòng)(x\)叫做\(\vec{a}\)在\(x\)軸上的坐標(biāo)，\(y\)叫做\(\vec{a}\)在\(y\)軸上的坐標(biāo)。例如，若向量\(\vec{a}\)在\(x\)軸上的投影為\(3\)，在\(y\)軸上的投影為\(-2\)，則\(\vec{a}=(3,-2)\)。（二）點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則向量\(\overrightarrow{AB}\)的坐標(biāo)為\((x_2-x_1,y_2-y_1)\)。這是因?yàn)閈(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{OB}=(x_2,y_2)\)，根據(jù)向量減法的三角形法則\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\)。比如，已知\(A(1,2)\)，\(B(3,5)\)，那么\(\overrightarrow{AB}=(3-1,5-2)=(2,3)\)。三、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則（一）加法運(yùn)算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。證明：\(\vec{a}+\vec=(x_1\vec{i}+y_1\vec{j})+(x_2\vec{i}+y_2\vec{j})=(x_1+x_2)\vec{i}+(y_1+y_2)\vec{j}\)，所以\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。例如，\(\vec{a}=(1,3)\)，\(\vec=(2,-1)\)，則\(\vec{a}+\vec=(1+2,3+(-1))=(3,2)\)。（二）減法運(yùn)算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。證明：\(\vec{a}-\vec=(x_1\vec{i}+y_1\vec{j})-(x_2\vec{i}+y_2\vec{j})=(x_1-x_2)\vec{i}+(y_1-y_2)\vec{j}\)，所以\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。比如，\(\vec{a}=(5,4)\)，\(\vec=(3,2)\)，則\(\vec{a}-\vec=(5-3,4-2)=(2,2)\)。（三）數(shù)乘運(yùn)算若\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\)是實(shí)數(shù)，則\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。證明：\(\lambda\vec{a}=\lambda(x\vec{i}+y\vec{j})=\lambdax\vec{i}+\lambday\vec{j}\)，所以\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。例如，\(\vec{a}=(2,-3)\)，\(\lambda=3\)，則\(3\vec{a}=(3\times2,3\times(-3))=(6,-9)\)。（四）向量的數(shù)量積運(yùn)算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。證明：\(\vec{a}\cdot\vec=(x_1\vec{i}+y_1\vec{j})\cdot(x_2\vec{i}+y_2\vec{j})=x_1x_2\vec{i}^2+x_1y_2\vec{i}\cdot\vec{j}+x_2y_1\vec{j}\cdot\vec{i}+y_1y_2\vec{j}^2\)。因?yàn)閈(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)是單位向量且\(\vec{i}\perp\vec{j}\)，所以\(\vec{i}^2=1\)，\(\vec{j}^2=1\)，\(\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。比如，\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times(-1)=3-2=1\)。四、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的性質(zhì)（一）向量平行的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，且\(\vec\neq\vec{0}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec\)的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。證明：因?yàn)閈(\vec{a}\parallel\vec\)，且\(\vec\neq\vec{0}\)，所以存在實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec\)，即\((x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)=(\lambdax_2,\lambday_2)\)，則\(\begin{cases}x_1=\lambdax_2\\y_1=\lambday_2\end{cases}\)，消去\(\lambda\)可得\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(2,4)\)，\(\vec=(x,6)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(2\times6-4x=0\)，解得\(x=3\)。（二）向量垂直的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)的充要條件是\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec=(m,6)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(3m+(-2)\times6=0\)，解得\(m=4\)。（三）向量的模若\(\vec{a}=(x,y)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。證明：因?yàn)閈(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，所以\(\vert\vec{a}\vert^2=\vec{a}^2=(x\vec{i}+y\vec{j})^2=x^2\vec{i}^2+2xy\vec{i}\cdot\vec{j}+y^2\vec{j}^2=x^2+y^2\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。比如，\(\vec{a}=(3,4)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^2+4^2}=5\)。五、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算在高考中的常見題型及解法（一）向量坐標(biāo)運(yùn)算的基本計(jì)算這類題型主要考查向量的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積的基本運(yùn)算。例1：已知\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(-3,4)\)，求\(2\vec{a}+3\vec\)和\(\vec{a}\cdot\vec\)。解：\(2\vec{a}=(2\times2,2\times(-1))=(4,-2)\)，\(3\vec=(3\times(-3),3\times4)=(-9,12)\)。則\(2\vec{a}+3\vec=(4+(-9),-2+12)=(-5,10)\)。\(\vec{a}\cdot\vec=2\times(-3)+(-1)\times4=-6-4=-10\)。（二）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決平行與垂直問(wèn)題這類題型通常會(huì)給出向量平行或垂直的條件，要求求解參數(shù)的值。例2：已知向量\(\vec{a}=(m,1)\)，\(\vec=(1,-2)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，求\(m\)的值。解：因?yàn)閈(\vec{a}\perp\vec\)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，即\(m\times1+1\times(-2)=0\)，解得\(m=2\)。（三）向量坐標(biāo)運(yùn)算與幾何問(wèn)題的結(jié)合這類題型需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解。例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,0)\)，判斷\(\triangleABC\)的形狀。解：首先求向量\(\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(5-1,0-2)=(4,-2)\)，\(\overrightarrow{BC}=(5-3,0-4)=(2,-4)\)。然后計(jì)算向量的模：\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，\(\vert\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow{BC}\vert=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。因?yàn)閈(\vert\overrightarrow{AC}\vert=\vert\overrightarrow{BC}\vert\)，所以\(\triangleABC\)是等腰三角形。再計(jì)算向量的數(shù)量積：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+2\times(-2)=8-4=4\neq0\)，說(shuō)明\(\angleBAC\)不是直角。綜上，\(\triangleABC\)是等腰三角形。六、高考實(shí)戰(zhàn)演練及策略（一）高考真題剖析例4：（[具體年份][具體省份]高考真題）已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，則\(m=(\quad)\)A.-8B.-6C.6D.8解：先求出\(\vec{a}+\vec=(1+3,m+(-2))=(4,m-2)\)。因?yàn)閈((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec=0\)，即\(4\times3+(m-2)\times(-2)=0\)。展開得\(12-2m+4=0\)，移項(xiàng)可得\(2m=16\)，解得\(m=8\)。所以答案選D。（二）解題策略總結(jié)1.仔細(xì)審題：明確題目所給的條件和要求，確定是考查向量的哪種運(yùn)算或性質(zhì)。2.準(zhǔn)確計(jì)算：在進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。3.結(jié)合圖形：對(duì)于一些幾何問(wèn)題，可以畫出圖形，直觀地分析向量之間的關(guān)系，幫助解題。4.靈活運(yùn)用性質(zhì)：熟練掌握向量平行、垂直、模等性質(zhì)，根據(jù)題目條件合理運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行求解。七、總結(jié)與展望平面向量坐標(biāo)運(yùn)算作為高考數(shù)