外接球模型：基礎(chǔ)思維外接球模型：基礎(chǔ)思維外接球模型：對(duì)棱補(bǔ)形外接球模型：線面垂直型外接球模型：面面垂直型特殊三角形雙線定心型特殊幾何體：不規(guī)則型特殊幾何體：棱臺(tái)型特殊幾何體：圓錐型特殊幾何體：圓臺(tái)型題型1外接球模型：基礎(chǔ)思維1.(24-25高二上云南文山·期末)已知長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?的體積為16,且AA?=2,則長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?外接球表面積的最小值為()【詳解】設(shè)AB=a,AD=b,由長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?的體積為16可得：所以當(dāng)r=√5,D?A?<CBDi.AD?E+CE的最小值為()【詳解】設(shè)外接球O的半徑為R,則球O的表面積S=4πR2=20π,所以R=√D?DB?CB沿AB沿AB展開，與ABC?D?處于同一平面，D?BBD-C則三棱錐P-ABC外接球體積的最小值為()A.8√6πB.16√6πC.24√6π【分析】將三棱錐P-ABC可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，從而得到PC為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，要想體積球體積的最小值.【詳解】根據(jù)題意三棱錐P-ABC可以補(bǔ)成分別以BC,AB,PA為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，其中PC為長(zhǎng)方體則三棱錐P-ABC的外接球球心即為PC的中點(diǎn)，要使三棱錐P-ABC的外接球的體積最小，則PC最小.PABLC設(shè)AB=x,則PA=x,BC=6-x,|PC|=√AB2+PA2+BC2=√3(x-2)2+24,所以當(dāng)x=2時(shí)，,則有三棱錐P-ABC的外接球的球半徑最小為√6,BD⊥PC,側(cè)棱PA=4,則球O的表面積為()【分析】由題意作圖，補(bǔ)形，根據(jù)正方體的外接球直徑的求解公式，可得答案.BB4正三棱錐P-ABC為棱長(zhǎng)為4的正方體的一個(gè)角，顯然CP⊥平面APB,QBD=平面APB,∴CP⊥BD,符合題意，顯然正三棱錐P-ABC的外接球就是圖中正方體的外接球，題型2外接球模型：對(duì)棱補(bǔ)形對(duì)棱相等模型是三棱錐的三組對(duì)棱長(zhǎng)分別相等模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長(zhǎng)方體)解決.外接球的直徑等(三棱錐的三組對(duì)棱長(zhǎng)分別為x、y、z).可求出球的半徑從而解決問題.1.(23=24高三·安徽階段練習(xí))如圖所示，三棱錐S-ABC中，SA=BC=2√5,SB=AC=√53,SC=AB=√65,則三棱錐S-ABC的外接球表面積為()C.69π【分析】將該三棱錐置于一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體中，求出a2+b2+c2=69即得解.可得a2+b2+c2=69,故S-ABC的外接球表面積為【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的表面積的計(jì)算，考查長(zhǎng)方體的外接知識(shí)的理解掌握水平.2.(2020全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知三棱錐A-BCD的所有棱長(zhǎng)都為2,且球0為三棱錐A-BCD的外接球，點(diǎn)M是線段BD上靠近D的四等分點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面α截球O得到的截面面積為Ω,則Q的取值范圍為【分析】求出三棱錐A-BCD的外接球半徑R,可知截面面積的最大值為πR2,當(dāng)球心○到截面的距離最【詳解】三棱錐A-BCD是正四面體，棱長(zhǎng)為2,將三棱錐A-BCD放置于正方體中，可得正方體的外接球就是三棱錐A-BCD的外接球.因?yàn)槿忮FA-BCD的棱長(zhǎng)為2,故正方體的棱長(zhǎng)為√2,此時(shí)球心O到截面的距離為OM,△OBD過點(diǎn)0作BD的垂線，垂足為H,B0AC【點(diǎn)睛】外接球問題與截面問題是近年來的熱點(diǎn)問題，平常學(xué)習(xí)中要多積累，本力、推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.體A-BCD外接球表面積是()【分析】利用割補(bǔ)法及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.CA√25,2,四面體A-BCD如圖所示，DB面體，而正四面體的外接球恰好是正方體的外接球，立體幾何中有好多類似的事實(shí)存在：若四面體P-ABC,PA=BC=√6,PB=AC=2√2,PC=AB=√10,則該四面體外接球的體積為.【分析】根據(jù)給定條件，把四面體PABC置于長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可得解.設(shè)此長(zhǎng)方體共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為則于是a2+b2+題型3外接球模型：線面垂直型招線面垂直型：存在一條棱垂直一個(gè)底面(底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形(少),它的外接圓半徑是r,滿足正弦定理)線面垂直型滿足條件：1、線面垂直；2、面可以是任何多邊形，多邊形外接圓半徑，都可以借助多邊形上任意三定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，借助正弦定理來計(jì)算(等腰或者等比可以用特殊法計(jì)算);其中三棱錐S-ABC外接球O的表面積為100π,則球O的體積為,異面直線SA,OB所成角的余弦值如圖，設(shè)球心為0,H為SA中點(diǎn)，G為VABC中心，連接OB,OG,H0因?yàn)镚為VABC中心，球心為0,所以O(shè)G1平面ABC,又SA⊥平面ABC,風(fēng)G2.(2022·安徽·模擬預(yù)測(cè))已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，其中AB=2,AD=4,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,E為PD的中點(diǎn)，若四棱錐P-ABCD的外接球表面積為36π,則直線BE與CD所成角的余弦所以2r=√22+42+PA2=6,PA=4,設(shè)F是PC的中點(diǎn)，連接BF,EF,由于PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥BC,PB=√4+16=2√5由于AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥AE,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,EFFA所以直線所以直線BE與CD所成角的余弦值為.故答案為：PA⊥平面PBC,則四面體P-ABC的外接球表面積為.徑，可得出四面體P-ABC的外接球的半徑，然后算出答案即可.【詳解】由題意，已知PA⊥平面PBC,PA=4,PB=BC=2√3,所以，由勾股定理得：AB=2√7,PC=2√3,所以，△PBC為等邊三角形，VABC為等腰三角形，等邊三角形PBC的外接圓的直徑為所以四面4P【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何體的外接球問題，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.4.(2020河南·模擬預(yù)測(cè))三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC=2√3,則三棱錐P-ABC外接球表面積為.B【分析】設(shè)VABC外心為0?,求得AO?=2,再結(jié)合截面性質(zhì)，求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)VABC外心為0,AO?交點(diǎn)BC于M,則M為BC中點(diǎn)，又由可得AO?=2,由△O?BA為正三角形，可得O?M=M又由PA⊥平面ABC,可得B【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的性質(zhì)，以及球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟練應(yīng)用求得截面題型4外接球模型：面面垂直型大面面垂直型基本圖形ABC,若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為().A.25πB.60πC.72πD.80π【分析】根據(jù)已知條件求得外接球的半徑，由此求得球的表面積.【詳解】設(shè)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，由于PB=PA,所以PD⊥AB,由于平面PAB⊥平面ABC且交線為AB,所以PD⊥平面ABC,由于AB⊥BC,所以E是RtABC的外AB=√82-42=4√3,AD=BD設(shè)外接球的半徑為R,所以R2=22+(2+DF)2=42+OE2,PBEA02.(2023貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,△BCD是邊長(zhǎng)為2√3的等邊三角形，AB=AD=2,則該幾何體外接球表面積為()DFCCA.20πB.8πC.28π線，則垂線交點(diǎn)0為外接球球心.后利用正弦定理可得△BCD,△ABD外接圓半徑r,r?,又注意到四邊形【詳解】設(shè)△ABD外心為O?,△BCD外心為平面ABDn平面BCD=BD,則O?E⊥平面ABD,又O?Ec平面ABD,則O?E⊥O?E.過O?,01分別作平面ABD,平面BCD垂線，則垂線交點(diǎn)0為外接球球心，又00?I平面BCD,BO?C平面BCD,則00?⊥BO?.故外接球半徑R=OB=√oo2+BO2=√4+1=√5,故選：AB0C與側(cè)面公共棱長(zhǎng)度為1,則外接球半徑3.(24-25高三下·福建寧德階段練習(xí))如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形EFBD為矩形，且平面ABCD與平面EFBD互相垂直.若多面體ABCDEF的體積為則該多面體外接球表面積的最小值為EEDCBFA.16πB.12πC.8π【分析】根據(jù)題意，設(shè)出正方形邊長(zhǎng)和矩形的高，根據(jù)體積公式，求得a,b等量關(guān)系；再找到球心，求得半徑，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，連接AC,BD交于M點(diǎn)，過M作MN//DE交EF于N點(diǎn)，交BE于0,連接OC.FNEOAMC因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，故可得AC⊥BD,又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面EFBD,且交線為BD,又ACc平面ABCD,故AC⊥平面EFBD,于是00⊥平面ABC,取AB中點(diǎn)D,連接PD,則PD⊥AB,而平面PAB⊥平面ABC,00?=O?D=√3,因此球O的半徑R=OA=√(√3)2+(3√2)2=RBDAC題型5特殊三角形雙線定心型解1、尋找一個(gè)或兩個(gè)面的外接圓圓心2、分別過兩個(gè)面的外心作該面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為外接圓圓心；3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進(jìn)而求出外接球表面積或體積.如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線交心法1、包含了面面垂直(倆面必然是特殊三角形)2、等邊或者直角：(1)等邊三角形中心(外心)做面垂線，必過球心；(2)直角三角形斜邊中點(diǎn)(外心)做面垂線，必過球心；1.(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè))在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB=1,AC=√3,PB=3√3,∠ABP=90°,點(diǎn)M在該三棱錐的外接球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠AMC=60°,則三棱錐M-APC的體積【答案】A【分析】先通過PC⊥AC和PB⊥AB可知三棱錐的外接球0為AP的中點(diǎn)，在△AMC中，由正弦定理可得△AMC的外接圓的半徑，進(jìn)而可得球心到面AMC的距離，從而得1再由解三角形知識(shí)求解△AMC的面積最大即可.【詳解】該三棱錐的外接球O為AP的中點(diǎn)，下證：又∠ABP=90°,即PB⊥AB,所以O(shè)A=OB=OP,即三棱錐的外接球球心為AP的中點(diǎn)，球半徑點(diǎn)M在該三棱錐的外接球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠AMC=60°,在△AMC中，由正弦定理可得△AMC的外接圓的半徑為球心O到平面AMC的距離為d=√R2-r2=√6,因?yàn)?為AP的中點(diǎn)，所以P到平面AMC的距離為2d=2√6,要使三棱錐要使三棱錐M-APC的體積最大，只需△AMC的面積最大即可.在△AMC中由余弦定理可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcos60=MA2+MC2-MA·MC≥MA·MC,所以MA·MC≤AC2=3,當(dāng)且僅當(dāng)MA=MC=√3時(shí)等號(hào)成立，2.(2022河南·模擬預(yù)測(cè))在四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SAD⊥底面ABCD,且SA=SD,∠ASD=90°,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，設(shè)P為該四棱錐外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-SAD的最大體積為【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合幾何關(guān)系，求得四棱錐S-ABCD外接球的球錐P-SAD體積的最大值即可.【詳解】連接AC,BD交于點(diǎn)0,取AD中點(diǎn)為M,連接SM,OS,作圖如下：因?yàn)锳S=DS,∠ASD=90°,又M為AD的中點(diǎn)，故M為RtaSAD的外心，又平面SAD⊥平面ABCD,且面SAD∩面ABCD=AD,又OM⊥AD,OMc面ABCD,又四邊形ABCD為正方形，且0為對(duì)角線交點(diǎn)，故可得OA=OB=OC=OD,綜上所述，OA=OB=OC=OD=OS,故0為四棱錐S-ABCD的外接球的球心.則其外接球半徑又P為該四棱錐外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，若使得三棱錐P-SAD的體積最大，則此時(shí)點(diǎn)P到平面SAD的距離h=OM+R=1+√2,3.(21-22高三上山西太原·階段練習(xí))已知三棱錐B-ACD中，AB=BC=AC=2,CD=BD=√2,BC的中點(diǎn)為E,DE的中點(diǎn)恰好為點(diǎn)A在平面BCD上的射影，則該三棱錐外接球半徑的平方為()【分析】如圖，設(shè)點(diǎn)A在面BCD上的射影為點(diǎn)F,根據(jù)題意和勾股定理求出BF、AF,設(shè)球心到平面BCD的距離為h,利用勾股定理求出h,進(jìn)而可得出結(jié)果.設(shè)點(diǎn)A在面BCD上的射影為點(diǎn)F,則點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，A.由AB=2√3得CM=2,MD=AA?=4.設(shè)球心0在側(cè)面6,BC,內(nèi)的射影為09,則0到BC的距離為題型6二面角型外接球二面角型，多采用兩個(gè)外心垂線交線定球心法(1)選定一個(gè)面，定外接圓的圓心O?(2)選定另一個(gè)面，定外接圓的圓心O?;(3)分別過O?作該底面的垂線，過O?作該面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球的球心O.1.(21-22高三·黑龍江哈爾濱階段練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC,PAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且CB=2√2,AB=AC=√6,二面角P-AC-B的大小為120°,則三棱錐P-ABC的外接球表面B.10πC.9π【分析】由題作出圖形，易得PAC外接圓圓心在AC中點(diǎn)，結(jié)合正弦定理可求VABC外接圓半徑，結(jié)合圖形知，R2=AO2=(AO?)2+(O0?)2,再結(jié)合二面角大小求出0O?,進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因?yàn)镻AC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以PAC的外心在AC中點(diǎn)，設(shè)為O?,設(shè)VABC的外心為0,BC中點(diǎn)為E,AO?=r,因?yàn)锳B=AC=√6,所以0?必在AE連線上，則即因?yàn)閮善矫娼痪€為AC,O為平面ABC所在圓面中心，所以QQ⊥AC,錐體P-ABC外接球半徑R2=AO2=(AO?2+(002)2=()+1=5則三棱錐P-ABC的外接球表面積為S=4πR2=10π,故選：BA2.(2024陜西西安·模擬預(yù)測(cè))已知三棱錐A-BCD,AB=BC=2√3,E角，且∠AED為二面角A-BC-D的平面角，三棱錐A-BCD的外接球O表面積為則平面BCD被球O截得的截面面積及直線AD與平面BCD所成角的正切值分別為()【分析】利用球的截面的性質(zhì)，找出球心球心0,再根據(jù)條件求出球的半徑在Rt△OBF中，利用勾股定理，求出△BCD外接圓的半徑，即可求出截面面積，再求出DE的長(zhǎng)，即可求出直線AD與平面BCD所成角的正切值，從而求出結(jié)果.【詳解】依題知AE⊥平面BCD,又BCc面BCD,所以AE⊥BC,又E為BC中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)為G,連接BG交AE于H,則H是VABC外心，又過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為三棱錐A-BCD外接球球心0,設(shè)球0半徑為OB=R,因?yàn)榍騉的表面積為,所以得到所以在RI△OBF中，所以平面BCD截球O的截面面積【分析】根據(jù)二面角的幾何法可得即可利用余弦定理以及正弦定理求解外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理可得球半徑即可求解.角，故由于AB⊥PA,AB⊥AC,PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,故AB⊥平面PAC,設(shè)AB=x,則AC=6-x,在PAC中，由余弦定理可得故外接球的半徑故外接球的半徑當(dāng)時(shí)，球的半徑取得最小值，此時(shí)三棱錐的外接球體積最小，B0MC故4.(22-23高三上全國(guó)·專題練習(xí))四棱錐P-ABCD中，△ABP是等邊三角形，底面ABCD是矩形，二面角P-AB-C是直二面角，AB=2√3,若四棱錐P-ABCD的外接球表面積是20π,則PA,BD所成角的【答案】C【分析】利用外接球的表面積計(jì)算出AD,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法計(jì)算出PA,BD所成角的余弦值.【詳解】四棱錐P-ABCD外接球的表面積為4πr2=20π,r=√5.連接AC角BD于0,由于四邊形ABCD是矩形，所以01是矩形ABCD的外心，球心0在其正上方.設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接PE,由于△PAB是等邊三角形，所以PE⊥AB,由于平面PAB⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.由于AB=2√3,BE=AE=√3,所以PE=√3BE=3.設(shè)AD=a,!則所以O(shè)?E//AD以及PE⊥平面ABCD可知EO?,EB,EP兩兩垂直，以E為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(0,-J3,0),P(0,0,3),B(0,J3,0),D(2,-√3,0),則AP=(0,J3,3),BD=(2,-2√3,0),設(shè)異面直線PA,BD所成角為θ,則PDEByx【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積有關(guān)計(jì)算，考查線線角的余弦值的求法，屬于中檔題.題型7動(dòng)點(diǎn)翻折型外接球?qū)ⅰ鰽BD沿BD翻折到△A'BD的位置，使得A'C=2√2.空間四點(diǎn)A',B,C,D的外接球?yàn)榍?,過N點(diǎn)作球O的截面α,則α截球O所得截面面積的最小值為()【分析】根據(jù)給定條件，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用圓的截面性質(zhì)求出截面面積最小值.A'NDK【詳解】如圖，取BD的中點(diǎn)為0,O由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,得CD為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，將該四邊形沿對(duì)角線AC折成四面體B-ACD,在折起的過程中，四面體的外接球體積最小值為()【詳解】如圖，設(shè)三棱錐【詳解】如圖，設(shè)三棱錐B-ACD的外接球球心為0,取AC的中點(diǎn)E,連接EB,EDBoA.30πB.40πBBBBPPCMO?由題意知，∠ABC=60°,所以AC=2√3,AC⊥B0O外接圓的圓心，記為O?,∠APC=120°,PM=1,所以在△APC中，取AC的中點(diǎn)M,連接PM,則△APC的外心必在PM的延長(zhǎng)線上，記為0?,所以在△APC中，因?yàn)椤螦PO?=60°,O?P=O?A,所以設(shè)外接球半徑為R,則4πR2=20π,解得：R2=5,設(shè)0為三棱錐P-ABC的外接球球心，則0O?⊥面所以00?=O?M=1,O?M=00?=1,所以四邊形00?MO?為平行四邊形，所以001/O?M,又因?yàn)镺?M//BC,所以0O?//BC,又因?yàn)?0?⊥面APC,A題型8特殊幾何體：四棱錐型招(1):確定球心O的位置，取△BCD的外心O?,則A,0,0?三點(diǎn)共線；(2):算出小圓O?的半徑AO?=r,算出棱錐的高AO?=h(即圓錐的高);(3):勾股定理：R2=(h-R)2+r2,RPA=PB=PC=PD=√5,設(shè)該四棱錐的外接球球心與內(nèi)切球球心分別為0?,O?,則O?O?的長(zhǎng)為()由O?C2=OC2+002得，R2=2+(JPo?.D_CD_0所以,所以四棱錐表面積為S=4×2+22=12,長(zhǎng)為2的正三角形，則四棱錐V-ABCD外接球表面積的最小值為()的球心為0,設(shè)00?=x,過0作與平面VDB的垂線，垂足設(shè)為E,則E為△VBD的中心，設(shè)OE=y,外接且圓心為BD的中點(diǎn)設(shè)為0?,設(shè)外接球的球心為0,則00?⊥平面ABCD,設(shè)00?=x,過0作與平面VDB的垂線，垂足設(shè)為E,連接VO,OB,AE,FCB的外接球球心O到底面ABCD的距離為1,則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為()A.πB.2π又四棱錐P-ABCD的外接球球心O到底因?yàn)榈酌鍭BCD的中心為0?,所以00?⊥平面ABCD,且R=OD=OP=√5,故點(diǎn)P在垂直于00?且與球心O距離為2的平面與P-ABCD的外接球的交線上，P0【詳解】解：連接BD,交AC于點(diǎn)0,連接PO,則PO為正四棱錐P-ABCD的高，C連接PQ,∵P,Q不在平面ABCD的同一側(cè)，Q∴當(dāng)PQ通過球心時(shí)，點(diǎn)Q到平面ABC的距離最大，即三棱錐Q-ABC的體積最大，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由R2=(PO-R)2+OA2,求出正四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R,并由題意分析出當(dāng)PQ通過球心時(shí)，點(diǎn)Q到平面ABC的距離最大，即三棱錐Q-ABC的體積最大是本題解題的關(guān)鍵.題型9特殊幾何體：圓錐型類比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球。圓錐外接球模型圓錐求外接球，借助軸截面的對(duì)應(yīng)等腰三角形可求解1.1.(22-23高三上陜西西安階段練習(xí))已知兩個(gè)圓錐側(cè)面展開圖均為半圓，側(cè)面積分別記為S,S?,且對(duì)應(yīng)圓錐外接球體積分別為V?,V2,則【分析】利用圓錐的體積公式及側(cè)面積公式，及圓錐的外接球半徑求法，即可得解.【詳解】設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)分別為L(zhǎng),l?,高分別為h,h,底面圓的半徑分別為r?,r?,對(duì)應(yīng)圓錐的外接球半徑分別為R?,R?,又R2=r2+(h-R)2,化簡(jiǎn)得h2+r2=2Rh,2.(22-23高三上·廣東東莞·期末)圓錐SD(其中S為頂點(diǎn)，D為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是2:1,則圓錐SD與它外接球(即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為A.9:32B.8:27C.9:22【答案】【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計(jì)算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計(jì)算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長(zhǎng)為I,則側(cè)面積為πrl,側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=√2-r2=√3r,則圓錐的體積為設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=√3r-R,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即R2=r2+(√3r-R)2,展開整理得r,所以外接球的體積為S故所求體積比為故選ABD【點(diǎn)睛】本題考查圓錐與球的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題.Co3.(2024河南洛陽·模擬)設(shè)一圓錐的外接球與內(nèi)切球的球心位置相同，且外接球的半徑為2,則該圓錐的體積為A.πB.3π【詳解】由題意得圓錐的軸截面為正三角形，其外接圓半徑為2,所以圓錐底面半徑為√3,高為3,體積為4.(24-25高三·廣東清遠(yuǎn)·期末)如圖，底面半徑為2的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則該圓錐的外接球表面積為_【答案】【答案】π【分析】根據(jù)題意，以母線長(zhǎng)為半徑繞一圈可帶動(dòng)底面圓走三圈，推知母線長(zhǎng)后即可求解.【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)1,底面半徑為r,依題意，2πl(wèi)=3×2πr,即l=6,因此圓錐軸截面等腰三角形底角θ,此三角形外接圓半徑即為圓錐的外接球半徑此三角形外接圓半徑即為圓錐的外接球半徑所以該圓錐的外接球表面積為故答案為：題型10特殊幾何體：棱臺(tái)型解正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主。,其中r,r?,h分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高.基本規(guī)律：正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主1.(25-26高三上·廣東肇慶·開學(xué)考試)已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為√2、2√2,體積為則該四棱臺(tái)的外接球表面積為()【分析】如圖，根據(jù)正四棱臺(tái)及其外接球的性質(zhì)，可知球心0位于正四棱臺(tái)上、下底面對(duì)角線中點(diǎn)0,O?的連線上，O?O?垂直于上下底面，結(jié)合已知條件求出上下底面的面積及|OC|,|O?C|,根據(jù)已知條件結(jié)合體積公式得出正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)=|0?O?|=2,因?yàn)閨OC|=|oC|=R,設(shè)|00|=x,根據(jù)勾股定理構(gòu)造關(guān)于x的方程，求出x從而計(jì)算出R2值，根據(jù)S=4πR2求出外接球的表面積.如圖所示，正四棱臺(tái)AB?C?D?-ABCD的外接球半徑OC,設(shè)|oC|=R,根據(jù)正四棱臺(tái)及其外接球的性質(zhì)可知，球心0位于正四棱臺(tái)上、下底面對(duì)角線中點(diǎn)O,O2的連線上，00?0?垂直于上下底面，且上下底面均為正方形，則00?|=2-x,根據(jù)勾股定理所以外接球表面積S=4πR2=4π·正四棱臺(tái)的外接球表面積為()A.80πB.91πC.128π【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)找到其外接球的球心，然后設(shè)球心為0,點(diǎn)O距離下底面的高度為x.根據(jù)題意列出方程，求解即可.【詳解】由題意可知，正四棱臺(tái)外接球的球心在其上、下底面正方形的對(duì)角線的中點(diǎn)的連線上，如圖所示，設(shè)球心為0,點(diǎn)O距離下底面的高度為x.ID..oCA因?yàn)閔=4√6,AB=8,AB=4,又上、下底面均為正方形，所以AC=8√2,A,C,=4√2.設(shè)棱臺(tái)的外接球的半徑為R,根據(jù)勾股定理可得R2=(4√6-x)2+(2√2)2=x2+(4√2)2,解得.則,所以正四棱臺(tái)的外接球表面積為4πR2=182π.3.(2025·河南南陽·模擬預(yù)測(cè))已知正三棱臺(tái)ABC-A?B?C?的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,且體積不大于,若該棱臺(tái)的外接球球心0位于棱臺(tái)內(nèi)部(不含表面),則外接球表面積的取值范圍是【分析】根據(jù)給定條件，求出正三棱臺(tái)高的范圍，再利用球的截面性質(zhì)建立方程，求出球半徑的范圍即可.【詳解】如圖，令正三棱臺(tái)ABC-A?B?C?上下底面正三角形中心分別為0,0?,則sSAm=-3,設(shè)球O的半徑為R,顯然球心O在線段O?O?上(不含端點(diǎn))因此且時(shí)取等號(hào)，得當(dāng)且僅當(dāng)h=1且時(shí)取等號(hào)，得,解得故答案為：故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí)，性質(zhì)求解.4.(22-23高三上·浙江紹興·期末)如圖，正四棱臺(tái)ABCD-A?B?C?D?,上下底面分別是邊長(zhǎng)為4,6的正球的性質(zhì)，利用勾股定理可求出結(jié)果.因?yàn)閨AA|∈[√3,3√3],所以h∈[設(shè)正四棱臺(tái)的外接球半徑為R,球心到上下底面的距離分別為d?和d?,高當(dāng)球心在上下底面之間時(shí)，當(dāng)球心在上下底面之間時(shí)，d?+d?=h,當(dāng)球心不在上下底面之間時(shí)，d?-d?=h,所以d?±d?=h,又r2+d2=R2,r2+d2=R2,則d=√R2-2=√R2-8,d?=√R2-r22=√R2-18,所以因?yàn)閔∈[1,5],所以招1.(24-25高三下·貴州貴陽·階段練習(xí))已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4,母線長(zhǎng)為6,則此圓臺(tái)外接球與內(nèi)切球表面積之比為()【分析】利用軸截面圖形，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用解三角即可得解.ODLN解得則ACAAM先設(shè)MN的中點(diǎn)O'到AD的距離為d,E.0DkN再用等面積法可得：C【分析】根據(jù)相切結(jié)合勾股定理可得R2=4+9h2=36+h2,即可求解h=2,R=2√10,由圓臺(tái)和球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)O?O?的高為4h,外接球半徑為R,作出軸截面如圖：0?O?的上、下底面面積分別為4π,36π,則圓O,O?的半徑分別為2,6,故選：Bo心，則圓臺(tái)的體積與外接球的體積之比為()【分析】假設(shè)圓O的半徑，則圓O?的半徑可知，進(jìn)而通過勾股定理可求圓臺(tái)的高，分別利用圓臺(tái)和球的體積計(jì)算即可.【詳解】過O?O?作圓臺(tái)的軸截面，如圖所示4.(24-25高二上湖北·期中)已知圓臺(tái)上、下底面半徑分別為1和2,母線與底面所成角為45°,則圓臺(tái)的外接球體積與圓臺(tái)體積之比為.【分析】根據(jù)題意結(jié)合軸截面可知O?O?=1,即可得圓臺(tái)的體積，根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征列式求球的半徑和體積，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：上底面半徑r=1,下底面半徑r?=2,o由軸截面可知：∠ABC=45°,可知O?O?=1,設(shè)外接球的半徑為R,(假設(shè)球心在圓臺(tái)內(nèi)，則此時(shí)無解)D題型12特殊幾何體：不規(guī)則型1.(2023天津一模)如圖，幾何體Ω為一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個(gè)底面重合，圓錐的頂點(diǎn)為A,圓柱的上、下底面的圓心分別為B、C,若該幾何體Ω存在外接球(即圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上)已知BC=2AB=4,則該組合體的體積等于()【詳解】設(shè)該組合體外接球的球心為0,半徑為R,易知球心在BC中點(diǎn)，則R=AO=2+2=4.ABCD平面ABCD//平面EFGH,它們之間的距離為1,AB=2√6,AD=2√2,EH=√15,EF=√5,若六面體CA.12πA.12πB.24πC.36πD交點(diǎn)為0,0?,該六面體的外接球的為R,0O?=h,利用球的性質(zhì)結(jié)合條件可得天%則0,0,0?在一條直線上，00?⊥平面EFGH,0O?⊥ABCD,O?O?=1,連接O?E,O?A,OE,OA,又AB=2√6,AD=2√2,EH=√15,EF=√5,該六面體的外接球的體積為.故選：C.則下列錯(cuò)誤的是()交點(diǎn)為0,O?,平面0Bc【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】對(duì)A:底面中心S到各頂點(diǎn)的距離相等，故S為外接球球心，對(duì)D:連接AS,PS,則PS⊥底面ABCD,故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積故D錯(cuò)誤；對(duì)C:由題知，各側(cè)面均為邊長(zhǎng)為m的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積,故C正確；對(duì)B:底面中心S到各面頂點(diǎn)的距離相等，故S為內(nèi)切球球心，設(shè)該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑r,則所以SF(D)SF(A)F得到所有棱長(zhǎng)均為a的截角四面體，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：①二面角A-BC-D的余弦值為;②該截角四面體的體積為;③該截角四面體的外接球表面積為④該截角四面體的表面積為6√3a2,則其中正確命題的個(gè)數(shù)為()【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合球的表面積公式、棱錐的表面積公式和體積公式逐一判斷即可.【詳解】如下圖所示：設(shè)VABC的中心為O',△NPQ的中心為O”,取BC的中點(diǎn)為W,分別連接SW和OW,因?yàn)镾W⊥BC,OW⊥BC,所以所以所以二面角S-BC-A的余弦值為所以二面角A-BC-D的余弦值為故①正確因?yàn)槔忾L(zhǎng)為a的正四面體的高所以,故②正確；設(shè)外接球的球心為0,VABC的中心為O',△NPQ的中心為0”, 所以,所以所以,故③正確；由正四面體S-NPQ中，題中截角四面體由4個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形及4個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六邊形構(gòu)成，故故④錯(cuò)誤.題型13內(nèi)切球椎體的內(nèi)切球，多采用體積分割法求解?？勺鋈缦聦?duì)比理解一、三角形內(nèi)切圓二、類比：三棱錐DAC1.(24-25高三·福建福州·階段練習(xí))已知正四棱錐P-ABCD中，各棱長(zhǎng)均相等，球O?是該四棱錐的內(nèi)切球，球O?與球O?相切，且與該四棱錐的四個(gè)側(cè)面也相切，則球O?與球O?的表面積之比為()A.7+4√3B.9C.4+2√3【分析】過已知正四棱錐頂點(diǎn)及底面正方形一組對(duì)邊中點(diǎn)作截面，將問題轉(zhuǎn)化為三角形及內(nèi)部一系列圓相切問題求解作答.【詳解】在正四棱錐在正四棱錐P-ABCD中，令各棱長(zhǎng)為2,O為正方形ABCD的中心，M,Q分別為邊AB,CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)P,M,Q的平面截正四棱錐P-ABCD得等腰PMQ,截球O1,球O?,得對(duì)應(yīng)球的截面大圓，如PNKMLO依題意，OM=1,PM=√PA2-AM2=√4-1=√3,設(shè)球O?與球O?相切于點(diǎn)T,則PT=PO-2設(shè)球O?的半徑為R?,同理可得PT=(√3+1)R?,則R?=(2-√3)R,2.(24-25高三下·重慶北碚·階段練習(xí))正六棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別是2和6,且正六棱臺(tái)存在內(nèi)切球(與正六棱臺(tái)的各個(gè)面都相切),則它的側(cè)棱長(zhǎng)是()Q【分析】設(shè)所求為a,用a表示出正六棱臺(tái)的體積、表面積，設(shè)內(nèi)切球半徑為r,可用等體積法表示出r,另外一方面r等于正六棱臺(tái)的高，由此可構(gòu)建方程求解a.所以三角形O?C?D?是等邊三角形，所以O(shè)?D?=2,同理OD=6,所以00?=√a2-(6-2)2=√a2-16,由V>0,a>0→a>4,表面積為設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則由等體積法可得，,所以、又DEO?與球0?相切，且與該四棱錐的四個(gè)側(cè)面也相切；球O?與球O?相切，且與該四棱錐的四個(gè)側(cè)面也相切，【分析】過已知正四棱錐頂點(diǎn)及底面正方形一組對(duì)邊中點(diǎn)作截面，將問題轉(zhuǎn)化為三角形及內(nèi)部一系列圓相切問題求解作答.在正四棱錐P-ABCD中，令各棱長(zhǎng)為2,0為正方形ABCD的中心，M,Q分別為邊AB,CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)P,M,Q的平面截正圓，如圖：設(shè)球0?與球O?相切于點(diǎn)T,則PT=PO-2R?=(J3-1)R?,設(shè)球O?與球O?相切于點(diǎn)S,則PS=PT-2R?=(3√3-5)R?,4.(23-24高三·福建龍巖階段練習(xí))已知球O內(nèi)切于圓臺(tái)EF,其軸截面如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AB/ICD,且CD=2AB=6,則圓臺(tái)EF的體積為()A.【分析】根據(jù)題意，作出圖形，得到上下底面的半徑，進(jìn)而分析運(yùn)用勾股定理求出高即可.【詳解】根據(jù)圓和等腰梯形的對(duì)稱性知道，E,F分別為上下底的中點(diǎn).Ap連接EF,則EF⊥DC,過BG⊥DC于G.四邊形EBCG為矩形.DGCBEFo2√6,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則此正三棱錐的棱切球半徑為()A.√6-2【分析】由題意構(gòu)造直角三角形，列出關(guān)于高及R得方程組，即可求解出正三棱錐的棱切球半徑.【詳解】如圖三棱柱S-ABC為正三棱錐，且底面邊長(zhǎng)AB=BC=AC=2√6,側(cè)棱SA=SB=SC=3設(shè)正三棱錐的棱切球球心為0,半徑為R,則頂點(diǎn)S在底面的投影為N也為VABC的中心，取AB的中sHokBCA.[√2-1,√3-1]B因?yàn)锳CB?的外接圓是正方體外接球的一個(gè)小圓，M點(diǎn)在棱切球上運(yùn)動(dòng)，N點(diǎn)在外接球則IM=IN=IP=IQ=IS=IK=r,因?yàn)镮K⊥AC,IS⊥AD,IM⊥AB,設(shè)AK=AS=AM=x,因?yàn)锳B=AD=6,AC=CD=8,所以CK=CQ=CP=8-x,BM=BQ=BN所以CD=CP+DP=(8-x)+(6-x)=8,解得x=3,CKP所以BD=BN+DN=6,BC=BQ+CQ=8,且M為AB中點(diǎn)，QSSM所以，該四面體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為8的正三棱錐.設(shè)C在底面ABDNB的投影為H,則H是底面另一方面，由正三棱錐性質(zhì)可知，棱切球球心I在線段CH上，因?yàn)椤鰿KI∽△CHA,解得：所以整理得：解得：解得解得,即棱切球的半徑為故答案為：所以,即棱切球的半徑為故答案為：CKB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用切線長(zhǎng)公式求得BD=6,BC=8得到該四面體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為8的正三棱錐；此外，求解棱切球半徑時(shí)，一方面通過三角形相似求得對(duì)于線段長(zhǎng)度，建立方程求解，另一方面，還需要注意棱切球的半徑范圍.4.(23-24高三·黑龍江階段練習(xí))點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?的棱切球(切于正方體各條棱的球)上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是△ACD?的外接圓上一點(diǎn)，則線段MN長(zhǎng)度的取值范圍是.【分析】根據(jù)正方體棱切球的特點(diǎn)，求出球心到三角形外接圓周上的點(diǎn)的距離是一個(gè)定值，根據(jù)球的幾何特征即可求解.0K根據(jù)正方體的幾何特征，其棱切球的球心就是體對(duì)角線的中點(diǎn)0,且O到△ACD?所在平面距離為△ACD?的邊長(zhǎng)為2√2,根據(jù)正弦定理，其外接圓的半徑為所以球心到△ACD1的外接圓上任意一點(diǎn)的距離都為正方體棱長(zhǎng)為2,該棱切球的半徑為√2,【點(diǎn)睛】此題考查球面上的點(diǎn)到某點(diǎn)距離的最值問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為球要熟練掌握正方體的內(nèi)切球，外接球，棱切球的幾何關(guān)系.1.(24-25高二上·遼寧撫順期中)如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長(zhǎng)為1,體積為,則該正二十面體的內(nèi)切球的半徑為()A.【分析】由題意可得正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體十面體內(nèi)切求半徑，再由棱錐的體積公式計(jì)算即可；【詳解】由題意正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存所以正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑，設(shè)為r所以20創(chuàng)解得2.(2025·吉林·模擬預(yù)測(cè))設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為h(h>0),若該四棱錐的外接球與內(nèi)切球的球心重合，則外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為()【分析】結(jié)合正四棱錐的幾何特征分別計(jì)算內(nèi)切球及外接球半徑即可求解.【詳解】設(shè)R,r分別為該四棱錐外接球、內(nèi)切球半徑，由題可知球心O在高SH上，S所以h2=SN2-1=2+2√2,故選：D.3.(2023全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知空間四邊形ABCD,AB=BC=AC,DB⊥BC,且面OABC與面BCD夾角正弦值為1,則空間四邊形ABCD外接球與內(nèi)切球的表面積之比為()A.A.【分析】根據(jù)空間四邊形ABCD的線面關(guān)系可得DB⊥平面ABC,則空間四邊形ABCD可以內(nèi)接于圓柱中，根據(jù)圓柱的外接球半徑求得空間四邊形ABCD的外接球半徑R,又根據(jù)內(nèi)切球的幾何性質(zhì)用等體積法可求得空間四邊形ABCD的內(nèi)切球半徑r,即可得空間四邊形ABCD外接球與內(nèi)切球的表面積之比.【詳解】解：∵面ABC與面BCD夾角正弦值為1,二面ABC⊥面BCD,又面ABC∩面BCD=BC∵DB⊥BC,DBc面BCD,∴DB⊥平面ABC,則空間四邊形ABCD可以內(nèi)接于圓柱O?O?中，如下圖所示：DOBAC點(diǎn)D在上底面圓周上，VABC三個(gè)頂點(diǎn)在下底面圓周上，則圓柱O?O?的外接球即空間四邊形ABCD的外接取O?O?的中點(diǎn)為0,連接OA,則球心為0,半徑為R=OA,且O?O?=BD=6,O?A為正VABC的外接圓如下圖，設(shè)空間四邊形如下圖，設(shè)空間四邊形ABCD的內(nèi)切球球心為Q,連接QA,QB,QC,QD,設(shè)內(nèi)切球半徑為r,4.(24-25高三·吉林階段練習(xí))已知正四面體ABCD的棱切球T?(正四面體的中心與球心重合，六條棱與球面相切)的半徑為1,則該正四面體的內(nèi)切球T?的半徑為;若動(dòng)點(diǎn)M,N分別在T?與T?的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MN=xA