2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎科學中的數(shù)值逼近方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請將正確選項的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題3分，共30分）1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一致連續(xù)，則存在一個多項式P(x)使得||f(x)-P(x)||_[a,b]→0(其中||·||_[a,b]表示一致范數(shù))，這體現(xiàn)了（）。A.魏爾斯特拉斯逼近定理B.Weierstrass逼近定理的推廣C.泰勒級數(shù)逼近原理D.最小二乘逼近思想2.設函數(shù)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的(n+1)階導數(shù)，L(x)是f(x)的拉格朗日n次插值多項式，則f(x)-L(x)的誤差表達式為（）。A.f[n](ξ)/n!B.f[n+1](ξ)/(n+1)!C.(x-x₀(x-x₁)...(x-x_n))f[n+1](ξ)D.Σf(x_i)*l_i(x)(其中l(wèi)_i(x)是插值基函數(shù))3.在下列數(shù)值方法中，旨在使擬合函數(shù)在給定數(shù)據(jù)點上取值精確的是（）。A.最小二乘擬合B.樣條插值C.分段線性插值D.均勻逼近4.若數(shù)據(jù)點(x₀,y₀),(x₁,y₁)不在同一直線上，則它們確定的唯一一個次數(shù)不超過1的最小二乘擬合直線方程一定通過（）。A.點(x₀,y₀)B.點(x₁,y₁)C.點((x₀+x₁)/2,(y₀+y₁)/2)D.以上均不保證5.下面關于n次拉格朗日插值多項式L_n(x)的敘述，正確的是（）。A.L_n(x)在[a,b]上必然一致收斂于f(x)B.插值節(jié)點越多，L_n(x)的精度越高C.L_n(x)在[a,b]上至多有n-1個局部極值點D.L_n(x)的最高次項系數(shù)等于n!6.在構造三次樣條插值函數(shù)S(x)時，若給定節(jié)點處的二階導數(shù)值，則其約束條件數(shù)為（）。A.nB.n-1C.n+1D.2n7.若f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的二階導數(shù)，且f[a]=f[b]=0，則f(x)在[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)S(x)滿足（）。A.S[a]=S[b]=0B.S''(a)=S''(b)=0C.S(a)=S(b)且S''(a)=S''(b)D.S''(a)+S''(b)=08.已知{p_k(x)}_k=0^∞是區(qū)間[-1,1]上關于權函數(shù)ω(x)=1的正交多項式序列，且p₀(x)=1,p₁(x)=x,則p₂(x)滿足的微分方程是（）。A.(1-x2)p''(x)+xp'(x)-2p(x)=0B.(1-x2)p''(x)-xp'(x)+2p(x)=0C.xp''(x)+(1-x2)p'(x)-2p(x)=0D.xp''(x)-(1-x2)p'(x)+2p(x)=09.在最佳平方逼近問題中，若使用正交多項式{p_k(x)}_k=0ⁿ作為基函數(shù)集，則求解最佳平方逼近系數(shù){c_k}_k=0ⁿ的法方程是一個（）。A.非齊次線性方程組B.齊次線性方程組C.超定線性方程組D.線性規(guī)劃問題10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則一定存在唯一的一個多項式P(x)使得||f(x)-P(x)||₂→0(其中||·||₂表示均方范數(shù))，這體現(xiàn)了（）。A.魏爾斯特拉斯逼近定理B.最佳平方逼近原理C.狄利克雷收斂定理D.插值定理二、填空題（請將答案填在題后的橫線上。每小題4分，共20分）1.設f(x)=x2在[0,1]上的二次拉格朗日插值多項式為L₂(x)，則L₂(0.25)=______。2.若數(shù)據(jù)點(1,2),(2,3),(3,6)用于構造最小二乘擬合直線y=ax+b，則參數(shù)a和b的值分別為______和______。3.切比雪夫多項式T₃(x)在[-1,1]上的零點為______。4.對于給定的n+1個數(shù)據(jù)點(x_i,y_i)(i=0,1,...,n)，其中x₀<x₁<...<x_n，則存在唯一的次數(shù)不超過n的插值多項式P_n(x)，使得P_n(x_i)=y_i(i=0,1,...,n)。這個結論稱為______。5.若f(x)在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則存在一個三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(a)=y₀,S(b)=y_n,S''(a)=M₀,S''(b)=M_n，且S(x)在(a,b)內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，則稱S(x)是f(x)在[a,b]上的自然三次樣條插值函數(shù)。自然三次樣條插值函數(shù)的約束條件（邊界條件）是______。三、計算題（請寫出詳細的計算過程。每小題10分，共30分）1.已知函數(shù)f(x)在四個互異節(jié)點x₀=0,x₁=1,x₂=2,x₃=3處的函數(shù)值分別為f(0)=1,f(1)=3,f(2)=2,f(3)=4。構造f(x)的牛頓插值多項式N₃(x)，并用它計算f(1.5)的近似值（要求寫出均差表）。2.給定數(shù)據(jù)如下：|x|0|1|2|3||---|---|---|---|---||y|1|2|4|7|試用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的三次多項式y(tǒng)=a+bx+cx2+dx3。3.在區(qū)間[-1,1]上，利用切比雪夫多項式T₃(x)構造一個三次多項式P(x)，使其在點x=±1處與f(x)=x?相等，且在均方誤差意義下與f(x)最為接近。四、證明題（請給出完整的證明過程。每小題10分，共20分）1.證明：在次數(shù)不超過n的所有多項式中，拉格朗日插值多項式L_n(x)在插值節(jié)點處的值與被插值函數(shù)f(x)在這些節(jié)點處的值完全相同。2.證明：若{p_k(x)}_k=0ⁿ是區(qū)間[a,b]上關于權函數(shù)ω(x)>0的正交多項式序列，則對于任意的次數(shù)不超過n的多項式q(x)，有∫_a^bω(x)q(x)p_k(x)dx=0(k=0,1,...,n)。---試卷答案一、選擇題1.A2.C3.B4.B5.B6.C7.A8.A9.C10.B二、填空題1.0.56252.1,13.-1/2,0,1/24.插值定理（或拉格朗日插值存在唯一性定理）5.S''(a)=0且S''(b)=0三、計算題1.解：*均差表：|x|y|一階均差|二階均差|三階均差||-----|-----|-----------------|-----------------|-----------------||0|1|||||||2||||1|3||-1|||||1||2||2|2||1|||||2||||3|4||||*牛頓插值多項式：N₃(x)=f[0]+f[0,1](x-0)+f[0,1,2](x-0)(x-1)+f[0,1,2,3](x-0)(x-1)(x-2)N₃(x)=1+2(x-0)-1(x-0)(x-1)+2(x-0)(x-1)(x-2)N₃(x)=1+2x-(x2-x)+2(x3-3x2+2x)N₃(x)=1+2x-x2+x+2x3-6x2+4xN₃(x)=2x3-7x2+7x+1*計算f(1.5)：N₃(1.5)=2(1.5)3-7(1.5)2+7(1.5)+1N₃(1.5)=2(3.375)-7(2.25)+10.5+1N₃(1.5)=6.75-15.75+10.5+1N₃(1.5)=2.52.解：*設擬合多項式為y=a+bx+cx2+dx3。*數(shù)據(jù)點(x₀,y₀)=(0,1),(x₁,y₁)=(1,2),(x₂,y₂)=(2,4),(x₃,y₃)=(3,7)。*構造法方程：A?Aα=A?y，其中A=|1000|y=|1||1111||2||1248||4||13927||7|A?A=|461450|,A?y=|14||61030110||15||143090330||20||501103301188||42|*解線性方程組A?Aα=A?y：|461450||a||14||61030110||b|=|15||143090330||c||20||501103301188||d||42|(計算過程略，可用矩陣求逆或高斯消元法)解得α=(a,b,c,d)^T=(-1.75,2.5,-0.25,0.25)。*擬合多項式：y=-1.75+2.5x-0.25x2+0.25x33.解：*切比雪夫多項式T₃(x)=4x3-3x。*T₃(±1)=4(±1)3-3(±1)=±1。*構造P(x)=f(±1)T₃(x)=x?*(4x3-3x)=4x?-3x?。*P(x)是一個七次多項式。為了得到一個三次多項式，需要找到另一個三次多項式Q(x)，使得R(x)=P(x)-Q(x)在[-1,1]上與x?在均方誤差意義下最接近。*R(x)=4x?-3x?-Q(x)。*∫_-1¹ω(x)[R(x)]2dx=∫_-1¹[4x?-3x?-Q(x)]2dx最小。*令Q(x)=ax3+bx2+cx+d。Q(x)應該是f(x)=x?在均方誤差意義下的三次最佳逼近多項式。*計算Q(x)的系數(shù)：*Q(±1)=±1(要求)*Q'(±1)=±4a+2b±c(要求與x?在邊界的一階導數(shù)x3相同，即±4)*Q''(±1)=6a±2b(要求與x?在邊界的二階導數(shù)x2相同，即±2)*Q'''(±1)=0(要求)*由Q(±1)=±1得d=1。*由Q'(±1)=±4得4a+2b±c=±4。*由Q''(±1)=±2得6a±2b=±2。*解方程組：*4a+2b+c=4*4a+2b-c=-4*6a-2b=-2*6a+2b=2*從6a-2b=-2和6a+2b=2得12a=0,a=0。*代入6a±2b=±2得±2b=±2,b=1。*代入4a+2b±c=±4得2±c=±4,c=±2。*由于c=±2都滿足其他方程，故c可取±2。*選擇c=2(或c=-2，結果類似)。*最終三次多項式：Q(x)=0*x3+1*x2+2*x+1=x2+2x+1P(x)=4x?-3x?-Q(x)=4x?-3x?-x2-2x-1但P(x)不是三次多項式。這里需要修正思路，直接利用正交性。P(x)=Q(x)+R(x)，其中Q(x)是x?的三次最佳平方逼近多項式。令Q(x)=px3+qx2+rx+s。Q(x)滿足Q(±1)=±1,Q'(±1)=±4,Q''(±1)=±2。解得Q(x)=x2+2x+1。R(x)=4x?-3x?-(x2+2x+1)=4x?-3x?-x2-2x-1。R(x)是R(x)=P(x)-Q(x)在均方誤差意義下最接近x?的多項式。P(x)=Q(x)=x2+2x+1。四、證明題1.證明：*設L_n(x)是以x₀,x₁,...,x_n為插值節(jié)點的拉格朗日插值多項式。*L_n(x_i)=Σf(x_i)*l_i(x_i)(i=0,1,...,n)。*對于任意的i(0≤i≤n)，插值基函數(shù)l_i(x)滿足l_i(x_j)={1(j=i),0(j≠i)}。*因此，當x=x_i時，L_n(x_i)=f(x_i)*1=f(x_i)。*這表明拉格朗日插值多項式L_n(x)在插值節(jié)點x₀,x₁,...,x_n處的值與被插值函數(shù)f(x)在這些節(jié)點處的值完全相同。2.證明：*設{p_k(x)}_k=0ⁿ是區(qū)間[a,b]上關于權函數(shù)ω(x)>0的正交多項式序列，即對于任意的k=0,1,...,n和j≠k，有∫_a^bω(x)p_k(x)p_j(x)dx=0。*令q(x)是任意的次數(shù)不超過n的多項式。*考慮∫_a^bω(x)q(x)p_k(x)dx(其中k=0,1,...,n)。*由于p_k(x)是次數(shù)為k+1的多項式，q(x)是次數(shù)不超過n的多項式，所以q(x)p_k(x)的次數(shù)不超過n+k+1。*若k<n，則q(x)p_k(x)的次數(shù)不超過n+k+1，且包含p_k(x)這個因子。我們可以將q(x)p<sub>k</sub